Программа по Высшей математике в техническом ВУЗе.

Программа по Теории Функции Комплексного Переменного.

Высшая математика в задачах.

Математический анализ и вопросы интегрирования.


Математика заочникам: нужна ли она.



Программа по Высшей математике в техническом ВУЗе.








Содержание учебной дисциплины “Высшая математика



I семестр

Вводная лекция.

Математика в инженерных задачах.

Математическое моделирование физических явлений и химических процессов. Примеры.
Элементы линейной алгебры.

Матрицы.

Основные операции над матрицами. Определители матриц n-го порядка и их свойства.
Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Теория Кронекера-Капелли. Решение и исследование СЛАУ методом Гаусса. Однородные системы.
Векторная алгебра.

Векторы.

Линейное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Базис в . Теорема разложения. Евклидово пространство. Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный и ортонормированный базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Элементы линейной аналитической геометрии. Соответствие между геометрическими образами и уравнениями. Плоскость. Прямая и плоскость в пространстве. Различные виды уравнений. Основные задачи на прямую и плоскость. Плоскость и прямая в .
Кривые и поверхности 2-го порядка. Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Преобразование систем координат. Приведение уравнений к каноническому виду. Поверхность 2-го порядка в трехмерном пространстве. Исследование формы методом параллельных сечений. Полярная и цилиндрическая системы координат.


Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Взаимно-однозначное соответсвие. Числовые множества. Теорема Кантора.
Комплексные числа.

Алгебраическая и тригонометрическая форма.

Формула Муавра. Показательная форма.
Предел числовой последовательности и предел функции одной переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых функций. Теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые. Односторонние пределы. Непрерывность функции.
Точки разрыва, их классификация. Теоремы о функциях, непрерывных в точке и на отрезке.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная функции. Производные элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференциал функции.
Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке.
Необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость кривой в точке и на отрезке.
Асимптоты кривой. Общая схема построения графика. Формула Тейлора. Представление важнейших элементарных функций с помощью формулы Тейлора. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Открытые и замкнутые множества. Метрическое пространство. Сходимость в метрическом пространстве. Предел и непрерывность функции. Частные производные и производная по направлению. Градиент скалярного поля. Дифференцируемая функция.
Дифференциал функции. Касательная и нормаль к поверхности. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения функций в области. Условный экстремум.
Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность. Дифференцирование функции. Условия Коши-Римана.
Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница.

II семестр
Неопределенные интегралы. Свойства неопределенных интегралов. Методы замены переменной и интегрирования по частям. Интегрирование рациональных дробей, алгебраических рациональностей, тригонометрических функций.
Определенный интеграл и его приложения. Химические задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям.
Несобственные интегралы, их свойства и вычисление. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда. Приложения определенных интегралов (вычисление площади, объемов, длины дуги, площади поверхности вращения, центра тяжести, моментов инерции). Приближенные методы интегрирования.
Функциональные ряды. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора. Ряды Фурье по ортогональной системе функций. Тригонометрические ряды Фурье.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Задача Коши. Химическая задача с дифференциальными уравнениями. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающих понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теоремы о структуре общего решения ЛОДУ и ЛНДУ. Метод вариации постоянных. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Системы дифференциальных уравнений. Методы интегрирования.
Линейная однородная и неоднородная системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.
Кратные и криволинейные интегралы. Интегральная сумма и определенный интеграл по фигуре. Основные свойства. Геометрический смысл. Вычисление криволинейных интегралов по дуге. Двойной интеграл в декартовой и полярной системах координат. Тройной интеграл.
Вычисление поверхностных интегралов. Формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса.
Векторный анализ и теория поля. Скалярное и векторное поля. Скалярные и векторные поля могут использоваться при решении задачи по физике. Поток вектора через ориентированную поверхность. Дивергенция векторного поля. Солиноидальные поля. Теорема Остроградского Гаусса в векторной записи. Циркуляция. Потенциальное векторное поле. Потенциал. Ротор векторного поля. Теорема Стокса в векторной записи. Потенциальное несжимаемое векторное поле. Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Гамильтона. Задача Дирихле для круга.

III семестр
Системы множеств и элементы комбинаторики. Операции над множествами. Кольцо множеств. Алгебра множеств. -алгебры. Основной принцип комбинаторики. Сочетания, перестановка, размещения.
Случайные события в теории вероятностей. Стохастический эксперимент, пространство элементарных событий. Операции над событиями. Относительна частота события. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство. Статистический и геометрический методы определения вероятности. Условные вероятности. Формула умнолжения. Теорема о полной вероятности. Формула Байеса. Независимые случайные события. Последовательные испытания. Схема Бернули. Предельные теоремы в схеме Бернули.
Случайные величины и функции распределения. Функция распределения и ее свойства. Дискретные случайные величины и формы задания их распределений. Непрерывные с.в. Плотность распределения и ее свойства. Числовые характеристики с.в. Примеры стандартных моделей распределения дискретных и непрерывных с.в. Нормальное распределение. Совместное распределение с.в. Функция и плотность распределения двумерной случайной величины. Теорема о независимости. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева. Теорема Бернули. Случайные процессы. Понятие о задании случайного процесса. Математическое ожидание и корреляционная функция случайного процесса. Процесс Пуассона. Понятие о процессах Маркова.
Элементы математической статистики. Выборочный метод исследования случайной величины. Генеральная и выборочная совокупность. Статистический закон распределения и его графическое представление. Числовые оценки параметров распределения. Метод моментов. Классификация точечных оценок. Принцип максимального правдоподобия. Проверка статистических гипотез. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона.
Элементы дискретной математики. Введение в математическую логику. Логика высказываний. Алгебра логики. Булевы функции. Исчисление высказываний. Алгебраические структуры. Группы, кольца и поля. Элементы теории кодирования. Основные понятия теории графов. Деревья и циклы. Численные характеристики графов. Матрицы, порождаемые графом.






Ссылки                   Контакты