Электростатика. Постоянный электрический ток

Контрольная работа 3.
ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Введите номер задачи и нажмите кнопку "Решение", или решите задачу на основании нижепредставленных формул.

Основные формулы по курсу "Электростатика" и "Постоянный электрический ток"

Закон Кулона $$ F={{Q_1Q_2} \over {4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2}}, $$ где $F$ — сила взаимодействия точечных зарядов $Q_1$ и $Q_2$; $r$ — расстояние между зарядами; $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость; $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная $ \left( \varepsilon_0 = 8,85\cdot 10^{-12} \frac Ф м \right) $.

Напряжённость электрического поля и потенциал $$ \vec E = {\vec F \over Q}, \qquad \qquad \varphi = {\Pi \over Q}, $$ где $\Pi$ — потенциальная энергия точечного положительного заряда $Q$, находящегося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия заряда, удалённого в бесконечность, равна нулю).

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда $$ \vec F = Q \vec E, \qquad \qquad \Pi=Q \varphi.$$ Напряжённость и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции электрических полей), $$ \vec E=\sum_{i=1}^N \vec E_i, \qquad \qquad \varphi=\sum_{i=1}^N \varphi_i,$$где $\vec E_i, \varphi_i$ — напряжённость и потенциал в данной точке поля, создаваемого $i$-м зарядом.

Напряжённость и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом, $$ E={Q \over {4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2}}, \qquad \qquad \varphi={Q \over {4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r}},$$ где $r$ — расстояние от заряда $Q$ до точки, в которой определяются напряжённость и потенциал.

Напряжённость и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой радиусом $R$ на расстоянии $r$ от центра сферы:
а) $ E=0; \qquad \varphi = { Q \over {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon R}}$ (при $r < R$ ) ;

б) $E= {Q \over {4\pi \varepsilon_0 \varepsilon R^2}}; \qquad \varphi = {Q \over {4\pi \varepsilon_0 \varepsilon R}} \qquad $ (при $r=R$);

в) $E= {Q \over {4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2}}; \qquad \varphi = {Q \over {4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r}} \qquad $ (при $r>R$),
где $Q$ — заряд сферы.

Линейная плотность заряда $ \qquad \qquad \tau = Q/l. $

Поверхностная плотность заряда $ \qquad \qquad \sigma = Q/S.$

Напряжённость и потенциал поля, создаваемого распределёнными зарядами. Если заряд равномерно распределён вдоль линии с линейной плотностью $ \tau$, то на линии выделяется малый участок длиной $dl$ с зарядом $dQ=\tau dl$. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять формулы $$ d \vec E = {{ \tau dl} \over {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2}} \cdot {{\vec r} \over r}; \qquad \varphi = {{\tau dl} \over {4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r}}, $$где $\vec r$ — радиус-вектор, направленный от выделенного элемента к точке, в которой вычисляется напряжённость.

Используя принцип суперпозиции электрических полей, находим интегрированием напряжённость $ \vec E$ и потенциал $\varphi$ поля, создаваемого распределённым зарядом:$$ E = {{\tau} \over {4\pi \varepsilon_0 \varepsilon}} \cdot \int_l {{dl} \over r^2}\cdot {{\vec r}\over r}; \qquad \qquad \varphi = {{\tau } \over {4\pi \varepsilon_0 \varepsilon}}\int_l {{dl} \over r^2}.$$

Интегрирование ведётся вдоль всей длины $l$ заряженной линии.

Напряжённость поля, создаваемого бесконечной прямой равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром, $$E={{\tau} \over {2\pi \varepsilon_0 \varepsilon r}}.$$где $r$ — расстояние от нити или оси цилиндра до точки, напряжённость поля в которой определяется.

Напряжённость поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, $$E={\sigma \over {2\varepsilon_0 \varepsilon}},$$где $\sigma$ — поверхностная плотность заряда, распределённого по плоскости.

Связь потенциала с напряжённостью:

а) $\vec E=-grad \varphi, \qquad или \qquad \vec E =-\left(\vec i {{\partial \varphi}\over{\partial x}}+\vec j {{\partial \varphi}\over{\partial y}}+\vec k {{\partial \varphi}\over{\partial z}}\right) \qquad $ в общем случае;

б) $E=\left(\varphi_1-\varphi_2\right)/d$ в случае однородного поля;

в) $E=-{{d\varphi}\over{dr}}$ в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией.

Электрический момент диполя $\qquad \vec p =|Q|\vec l, \qquad $, где $Q$ — заряд; $\vec l$ — плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положительному и численно равная расстоянию между зарядами).

Работа сил поля по перемещению заряда $Q$ из точки поля с потенциалом $\varphi_1$ в точку с потенциалом $\varphi_2$ $$A_{12}=Q \left( \varphi_1-\varphi_2 \right) .$$

Электроёмкость $$С=\frac Q \varphi, \qquad или \qquad С=\frac QU,$$где $\varphi$ — потенциал проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю); $U$ — разность потенциалов пластин конденсатора.

Электроёмкость плоского конденсатора$$С={{\varepsilon_0 \varepsilon S}\over d}$$где $S$ — площадь пластины (одной) конденсатора; $d$ — расстояние между пластинами.

Электроёмкость батареи конденсаторов:$$ \qquad а) \quad \frac1C=\sum_{i=1}^N {1 \over {C_i}} \qquad при \, последовательном \, соединении;$$ $$ б) \quad C=\sum_{i=1}^N C_i \qquad при \, параллельном \, соединении,$$где $N$ — число конденсаторов в батарее.

Энергия заряженного конденсатора:$$W={{QU}\over 2}, \qquad \qquad W={{CU^2}\over 2}, \qquad \qquad W={{Q^2}\over {2C}}. $$ Сила постоянного тока $ \quad I=Q/l, \quad $ где $Q$ — заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время $ t$.

Плотность тока $ \quad j=I/S, \quad $ где $Q$ — площадь поперечного сечения проводника.

Связь плотности тока со средней скоростью $ < v > $ направленного движения заряженных частиц $$ j=Qn < v > ,$$где $Q$ — заряд частицы; $n$ — концентрация заряженных частиц.

Закон Ома:

а) $ \quad I={{\varphi_1-\varphi_2} \over R} = \frac UR \quad $ для участка цепи, не содержащего ЭДС, где $\varphi_1-\varphi_2=U $ — разность потенциалов (напряжение) на концах участка; $R$ — сопротивление участка;

б) $ \quad I={{\left( \varphi_1-\varphi_2 \right) + \mathscr E }\over R} \quad $ для участка цепи, содержащего ЭДС, где $\mathscr E $ — ЭДС источника тока; $R$ — полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротсвлений);

в) $ \quad I={{\mathscr E }\over {R+R_i}} \quad $ для замкнутой (полной) цепи, содержащей ЭДС, где $R $ — внешнее сопротивление цепи; $R_i$ — внутреннее сопротивление цепи.

Законы Киргофа:

а) $ \quad \sum I_i$ — первый закон;

б) $ \quad \sum I_iR_i=\sum \mathscr E_i$ — второй закон,

где $\sum I_i $ — алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; $\sum I_iR_i$ — алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления участков; $ \sum \mathscr E_i$ — алгебраическая сумма ЭДС.

Сопротивление $R$ и проводимость $G$ проводника $$ R={{\rho l}\over S}, \qquad G={{\gamma S}\over l}, $$где $\rho$ — удельное сопротивление; $\gamma$ — удельная проводимость; $l$ — длина проводника; $S$ — площадь поперечного сечения проводника.

Сопротивление системы проводников:

а) $\quad R=\sum R_i \quad$ при последовательном соединении; б) $\quad \frac1R=\sum \frac1R_i \quad$ при параллельном соединении, где $R_i$ — сопротивление $i$-го проводника.

В случае двух проводников: при последовательном соединении общее сопротивление равно $R=R_1+R_2$; при параллельном соединении общее сопротвление равно$$R={{R_1R_2}\over{R_1+R_2}}.$$

Работа тока: $$ A=UIt, \qquad A=I^2Rt, \qquad A={{U^2t}\over R}. $$ Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение $U$, последние две — для участка, не содержащего ЭДС.

Закон Джоуля – Ленца: В проводнике сопротивлением $R$, по которому течёт ток $I$, за время $t$ выделяется тепло $$ Q=I^2Rt.$$

Закон Ома в дифференциальной форме $$ \vec j =\gamma \vec E, $$где $\gamma$ — удельная проводимость; $E$ — напряжённость электрического поля; $\vec j$ — плотность тока.

Связь удельной проводимости $ \gamma $ с подвижностью $b$ — заряженных частиц (ионов) $$\gamma=Qn\left(b_++b_-\right),$$где $Q$ — заряд ионов; $n$ — концентрация ионов; $b_+$ и $b_-$ — подвижности положительных и отрицательных ионов.

К. Р. 2 В начало К. Р. 4