Пружинный маятник

        В пружинном маятнике груз массы $m$ крепится к пружине жёсткости $k$, другой конец которой закреплён неподвижно. Отклонение груза приведёт к деформации пружины. Возникающая при этом сила упругости стремится вернуть груз в исходное положение, но по инерции груз пролетает положение равновесия и отклоняется в другую сторону. Пружинный маятник начинает колебаться. Пружинный маятник колеблется из стороны в сторону. При этом максимальное отклонение, которого достигает пружинный маятник, называется амплитудой колебаний.

        Время за которое пружинный маятник совершает одно полное колебание, то есть время, за которое груз маятника проходит от одного крайнего положения до другого и обратно, называется периодом колебаний пружинного маятника. Для того чтобы найти период колебаний пружинного маятника составим уравнение колебаний пружинного маятника.

        На груз маятника действует сила упругости, которая по закону Роберта Гука равна $$F = - kx \, ,$$ где $x$ — удлинение пружины.

        По второму закону Исаака Ньютона $$F = ma \, ,$$ где $a = d^2x/dt^2 = \ddot x \,$ — ускорение груза.

        Приравнивая выражения для силы, полученные по закону Гука и закону Ньютона, получим $$m \ddot x = - kx \, .$$ Перенося в одну сторону и разделив на массу, перепишем уравнение в виде $$\ddot x + {k \over m }x =0 \, ,$$ или в виде $$\ddot x + \omega^2 x =0 \, ,$$ где $\omega =\sqrt {k/m}$ — величина, называемая, циклической частотой колебаний.

        Дифференциальное уравнение колебаний $\ddot x + \omega^2 x =0 \,$ имеет общее решение $$x (t)=Bcos \omega t+C sin \omega t \, .$$ Для определения произвольных постоянных $B$ и $C$ используются начальные условия.

        Например, если в начальный момент времени $t=0$ груз находился в положении равновесия $x=0$ и ему придали скорость $v=\dot x = v_0$, то $$x (0)=Bcos 0+C sin 0 =0 ,$$ и $$\dot x (0)=- B \omega sin 0+C \omega cos 0 = v_0 .$$ Отсюда получаем $B=0, \; C=v_0/\omega \, .$ Тогда уравнение колебаний пружинного маятника запишется $$x (t)= {{v_0}\over \omega } sin \omega t \, .$$
        Из последнего уравнение находим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с максимальным отклонением или амплитудой, равными $x_{max}=A= v_0 / \omega$. Период синуса равен $2 \pi$. Следовательно, период колебаний пружинного маятника равен $$T = {{2\pi} \over \omega } \, .$$ или с учётом выражения для циклической частоты $\omega$ запишем период колебаний маятника в виде $$T = 2\pi \cdot \sqrt {k \over m } \, .$$
        Сила упругости — восстанавливающая сила — равна $$F=-kx=-kAsin \omega t \, .$$
        Потенциальная энергия пружины $$E_п ={{kx^2} \over 2}={{kA^2} \over 2 } sin^2 \omega t \, .$$
        Полная энергия пружинного маятника равна сумме потенциальной энергии пружины и кинетической энергии груза. В момент, когда отклонение максимально, а скорость равна нулю, кинетическая энергия груза тоже равна нулю. Поэтому полная энергия пружинного маятника равна максимальной потенциальной энергии пружины $$E=E_{п \, max} ={{kA^2} \over 2}={{mA^2\omega^2} \over 2 } \, .$$
        Кинетическая энергия груза маятника равна $$E_к =E-E_п ={{kA^2} \over 2 } cos^2 \omega t \, .$$

Решение задач по физике