Математический маятник представляет собой груз массы m, подвешенный на длинной нити длины l
Рассмотрим колебания маятника с точки зрения второго закона Ньютона и найдём период колебаний математического маятника. На груз действует две силы: сила тяжести m→g, направленная вниз, и сила натяжения нити →F, направленная вдоль нити от груза. По второму закону Ньютона→F+m→g=m→a. Здесь →a=→aτ+→an — ускорение груза; →aτ — касательное (тангенциальное) ускорение груза, направленное по касательной к траектории; →an —
нормальное (центростремительное) ускорение груза, направленное к центру траектории, то есть вдоль нити.
Проведём оси координат так, как показано на рисунке 1. Тогда второй закон Ньютона в проекции на ось абсцисс:−mgsinφ=maτ.(1)Здесь φ — угол отклонения нити от вертикали. Положительным направлением угла отклонения считаем направление против часовой стрелки, то есть влево.
Рисунок 1.
В проекции на ось ординат второй закон Ньютона запишется:F−mgcosφ=man.
Касательное ускорение равноaτ=εl,где ε=¨φ — угловое ускорение, здесь двумя
точками обозначена вторая производная по времени. Подставим в (1) и получим−mgsinφ=ml¨φ.
Полагая, что маятник отклоняется на достаточно малые углы, примем
Обозначим ω=√g/l. Тогда последнее дифференциальное уравнение перепишется в виде:¨φ+ω2φ=0.(2)
Как и в предыдущем случае, несложно убедиться, что функцияφ(t)=Bcosωt+Csinωt является решением уравнения (1) при любых значения величин B и C. Такое решение называется общим решением
дифференциального уравнения (2).
Для определения произвольных постоянных B и C воспользуемся условиями в начале колебаний — начальными условиями. В начальный момент времени, когда
Подставим функцию φ(t) и её производную ˙φ(t) в эти условия. Получим B=φ0,Cω=0. Тогда решениеφ(t)=φ0cosωt.
Мы видим, что колебания происходят по закону косинуса. Последнее уравнение называется уравнением колебаний математического маятника. Колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. На рисунке 2 изображён график зависимости угла отклонения от времени.
Если провести оси координат из положения равновесия, то уравнение колебаний можно переписать в виде:x(t)=x0cosωt.
Если в начальном положении груз не был отклонён, а ему толчком была придана начальная скорость v_0, уравнение колебаний запишется в виде:x(t)=Asinωt.
Рисунок 2.
Маятник, точнее его груз, имеет скоростьv(t)=dxdt=˙x=Aωcosωt. Максимальная скорость vmax=Aω.
В начальный момент v(0)=v0. Следовательно,
Максимальное отклонение от положения равновесия есть амплитуда колебаний.xmax=A=v0ω.
Математический маятник, а точнее его груз, имеет ускорениеa(t)=dv(t)dt=˙v=−Aω2sinωt. Максимальное ускорение amax=Aω2.
На рисунке 3 изображён график зависимости отклонения от времени при колебаниях, совершаемых по закону синуса.
Рисунок 3.
Величина ω=√g/l, как и ранее, называется циклической частотой колебаний. Как и в предыдущем случае
Период колебаний математического маятникаT=2π⋅√gl.
Частота колебаний маятника — число колебаний маятника за одну секунду — равна
ν=1T=2πω. Отсюда
Равнодействующая сил, приложенных к грузу маятника, называется восстанавливающей или возвращающей силой. По второму закону Ньютона восстанавливающая сила равна
F=ma=−Amω2sinωt.
Максимальное значение возвращающей силы равноFmax=Amω2=Amgl.
Кинетическая энергия груза маятника равнаEк=mv22=mA2ω22cos2ωt.
Полная энергия колебаний маятника, по закону сохранения, равна максимальной кинетической энергии груза маятника
E=Eкmax=mA2ω22.
Потенциальная энергия маятника равнаEп=E−Eкmax=mA2ω22sin2ωt.
Математический маятник | Физический маятник | Пружинный маятник | Крутильный маятник |
Колебания груза в полусфере | Колебания стержня на цилиндре | Колебания буя на воде |