Решение задач по физике
|
|
представляет собой груз массы \(m \), подвешенный на длинной нити длины \(l\) (Рис. 1). Предполагается, что нить нерастяжимая, а размеры груза пренебрежимы по сравнению с длиной нити. Груз отклоняется от положения равновесия на небольшое расстояние и отпускается. Под влиянием силы тяжести и силы натяжения нити груз стремится вернуться в положение равновесия, но по инерции пролетает дальше и снова отклоняется уже в другую сторону. После максимального отклонения груз совершает обратное движение и всё повторяется. Так происходят , который ещё называют математическим маятником.
Рассмотрим с точки зрения второго закона Ньютона и найдём . На груз действует две силы: сила тяжести \(m \vec g \), направленная вниз, и сила натяжения нити \( \vec F \), направленная вдоль нити от груза. По второму закону Ньютона $$ \vec F + m \vec g = m \vec a . $$ Здесь \( \vec a =\vec a_{\tau} + \vec a_n \) — ускорение груза; \( \vec a_{\tau} \) — касательное (тангенциальное) ускорение груза, направленное по касательной к траектории; \( \vec a_n \) —
нормальное (центростремительное) ускорение груза, направленное к центру траектории, то есть вдоль нити.
Проведём оси координат так, как показано на рисунке 1. Тогда второй закон Ньютона в проекции на ось абсцисс: $$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -mg sin \varphi = m a_{\tau} . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1) $$Здесь \( \varphi \) — угол отклонения нити от вертикали. Положительным направлением угла отклонения считаем направление против часовой стрелки, то есть влево.
Рисунок 1.
В проекции на ось ординат второй закон Ньютона запишется: $$ F-mgcos \varphi = m a_n. $$
Касательное ускорение равно $$ a_{\tau}=\varepsilon l,$$где \( \varepsilon = \ddot \varphi \) — угловое ускорение, здесь двумя
точками обозначена вторая производная по времени. Подставим в (1) и получим $$ -mg sin \varphi = m l \ddot \varphi \, . $$
Полагая, что отклоняется на достаточно малые углы, примем \(sin \varphi \approx \varphi \), и, после сокращения на \( m \), перепишем последнее уравнение в виде: $$ \ddot \varphi + {g \over l} \varphi = 0 \, . $$
Обозначим \( \omega = \sqrt {g / l} \). Тогда последнее дифференциальное уравнение перепишется в виде: $$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ddot \varphi + \omega^2 \varphi = 0 \, . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2) $$
Как и в предыдущем случае, несложно убедиться, что функция $$ \varphi (t)=Bcos \omega t+C sin \omega t $$ является решением уравнения (1) при любых значения величин \(B\) и \(C\). Такое решение называется общим решением
дифференциального уравнения (2).
Для определения произвольных постоянных \(B \) и \(C\) воспользуемся условиями в начале колебаний — начальными условиями. В начальный момент времени, когда \( t=0 \) и когда только начались, отклонение было наибольшим, обозначим его \( \varphi_0 = \varphi_{max} \), при этом угловая скорость была равна нулю. Таким образом начальные условия $$ \varphi (0) =\varphi_0 \, , \qquad \qquad \dot \varphi (0) = 0 \, . $$
Подставим функцию \( \varphi (t) \) и её производную \( \dot \varphi (t) \) в эти условия. Получим \( B = \varphi_0 \, , C\omega =0 \). Тогда решение $$ \varphi (t) = \varphi_0 cos \omega t \, . $$
Мы видим, что колебания происходят по закону косинуса. Последнее уравнение называется уравнением колебаний . Колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. На рисунке 2 изображён график зависимости угла отклонения от времени.
Если провести оси координат из положения равновесия, то уравнение колебаний можно переписать в виде: $$ x (t) = x_0 cos \omega t \, . $$
Если в начальном положении груз не был отклонён, а ему толчком была придана начальная скорость v_0, уравнение колебаний запишется в виде: $$ x (t) = A sin \omega t \, . $$
Рисунок 2.
, точнее его груз, имеет скорость $$ v (t) = {{dx} \over{dt}} = \dot x = A \omega cos \omega t \, . $$ Максимальная скорость \( v_{max}=A \omega \, .\)
В начальный момент \( v(0)=v_0 \). Следовательно, \(A \omega cos 0 = A \omega = v_0 \) .
Максимальное отклонение от положения равновесия есть амплитуда колебаний. $$ x_{max} =A = {{v_0} \over \omega } \, . $$
, а точнее его груз, имеет ускорение $$ a(t) = {{dv(t)} \over{dt}} = \dot v =-A \omega^2 sin \omega t \, . $$ Максимальное ускорение \( a_{max} = A \omega^2 \, . \)
На рисунке 3 изображён график зависимости отклонения от времени при колебаниях, совершаемых по закону синуса.
Рисунок 3.
Величина \( \omega = \sqrt {g/l} \), как и ранее, называется циклической частотой колебаний. Как и в предыдущем случае \( \omega T = 2 \pi \). Тогда, равен \( T = 2 \pi / \omega \).
$$ T = 2 \pi \cdot \sqrt {g \over l} \, . $$
— число колебаний маятника за одну секунду — равна
$$ \nu = {1 \over T} = {{2 \pi} \over \omega } \, . $$ Отсюда \( \omega = 2 \pi \nu \).
Равнодействующая сил, приложенных к грузу маятника, называется восстанавливающей или возвращающей силой. По второму закону Ньютона восстанавливающая сила равна
$$ F = ma = -A m \omega^2 sin \omega t \, . $$
Максимальное значение возвращающей силы равно $$ F_{max} = A m \omega^2 = {{Amg} \over l } \, . $$
Кинетическая энергия груза маятника равна $$ E_к = {{mv^2} \over 2} = {{mA^2 \omega^2} \over 2}cos^2 \omega t \, . $$
Полная энергия колебаний маятника, по закону сохранения, равна максимальной кинетической энергии груза маятника
$$ E=E_{к \; max} = {{mA^2 \omega^2} \over 2} \, . $$
Потенциальная энергия маятника равна $$ E_п = E-E_{к \; max} = {{mA^2 \omega^2} \over 2} sin^2 \omega t \, . $$
|
|
|
