Processing math: 100%








Математический маятник


        Математический маятник представляет собой груз массы m, подвешенный на длинной нити длины l (Рис. 1). Предполагается, что нить нерастяжимая, а размеры груза пренебрежимы по сравнению с длиной нити. Груз отклоняется от положения равновесия на небольшое расстояние и отпускается. Под влиянием силы тяжести и силы натяжения нити груз стремится вернуться в положение равновесия, но по инерции пролетает дальше и снова отклоняется уже в другую сторону. После максимального отклонения груз совершает обратное движение и всё повторяется. Так происходят колебания нитяного маятника, который ещё называют математическим маятником.

        Рассмотрим колебания маятника с точки зрения второго закона Ньютона и найдём период колебаний математического маятника. На груз действует две силы: сила тяжести mg, направленная вниз, и сила натяжения нити F, направленная вдоль нити от груза. По второму закону НьютонаF+mg=ma. Здесь a=aτ+an — ускорение груза; aτ — касательное (тангенциальное) ускорение груза, направленное по касательной к траектории; an — нормальное (центростремительное) ускорение груза, направленное к центру траектории, то есть вдоль нити.

        Проведём оси координат так, как показано на рисунке 1. Тогда второй закон Ньютона в проекции на ось абсцисс:mgsinφ=maτ.(1)Здесь φ — угол отклонения нити от вертикали. Положительным направлением угла отклонения считаем направление против часовой стрелки, то есть влево.


Рисунок 1.



        В проекции на ось ординат второй закон Ньютона запишется:Fmgcosφ=man.
        Касательное ускорение равноaτ=εl,где ε=¨φ — угловое ускорение, здесь двумя точками обозначена вторая производная по времени. Подставим в (1) и получимmgsinφ=ml¨φ.
        Полагая, что маятник отклоняется на достаточно малые углы, примем sinφφ, и, после сокращения на m, перепишем последнее уравнение в виде:¨φ+glφ=0.
        Обозначим ω=g/l. Тогда последнее дифференциальное уравнение перепишется в виде:¨φ+ω2φ=0.(2)
        Как и в предыдущем случае, несложно убедиться, что функцияφ(t)=Bcosωt+Csinωt является решением уравнения (1) при любых значения величин B и C. Такое решение называется общим решением дифференциального уравнения (2).

        Для определения произвольных постоянных B и C воспользуемся условиями в начале колебаний — начальными условиями. В начальный момент времени, когда t=0 и когда колебания маятника только начались, отклонение было наибольшим, обозначим его φ0=φmax, при этом угловая скорость была равна нулю. Таким образом начальные условияφ(0)=φ0,˙φ(0)=0.
        Подставим функцию φ(t) и её производную ˙φ(t) в эти условия. Получим B=φ0,Cω=0. Тогда решениеφ(t)=φ0cosωt.
        Мы видим, что колебания происходят по закону косинуса. Последнее уравнение называется уравнением колебаний математического маятника. Колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. На рисунке 2 изображён график зависимости угла отклонения от времени.

        Если провести оси координат из положения равновесия, то уравнение колебаний можно переписать в виде:x(t)=x0cosωt.
        Если в начальном положении груз не был отклонён, а ему толчком была придана начальная скорость v_0, уравнение колебаний запишется в виде:x(t)=Asinωt.


Рисунок 2.



        Маятник, точнее его груз, имеет скоростьv(t)=dxdt=˙x=Aωcosωt. Максимальная скорость vmax=Aω.

        В начальный момент v(0)=v0. Следовательно, Aωcos0=Aω=v0 .

        Максимальное отклонение от положения равновесия есть амплитуда колебаний.xmax=A=v0ω.
        Математический маятник, а точнее его груз, имеет ускорениеa(t)=dv(t)dt=˙v=Aω2sinωt. Максимальное ускорение amax=Aω2.

        На рисунке 3 изображён график зависимости отклонения от времени при колебаниях, совершаемых по закону синуса.


Рисунок 3.



        Величина ω=g/l, как и ранее, называется циклической частотой колебаний. Как и в предыдущем случае ωT=2π. Тогда, период колебаний маятника равен T=2π/ω.

        Период колебаний математического маятникаT=2πgl.

        Частота колебаний маятника — число колебаний маятника за одну секунду — равна ν=1T=2πω. Отсюда ω=2πν.

        Равнодействующая сил, приложенных к грузу маятника, называется восстанавливающей или возвращающей силой. По второму закону Ньютона восстанавливающая сила равна F=ma=Amω2sinωt. Максимальное значение возвращающей силы равноFmax=Amω2=Amgl.
        Кинетическая энергия груза маятника равнаEк=mv22=mA2ω22cos2ωt.
        Полная энергия колебаний маятника, по закону сохранения, равна максимальной кинетической энергии груза маятника E=Eкmax=mA2ω22.
        Потенциальная энергия маятника равнаEп=EEкmax=mA2ω22sin2ωt.


Решение задач по физике



Математический маятник Физический маятник Пружинный маятник Крутильный маятник


Колебания груза в полусфере Колебания стержня на цилиндре Колебания буя на воде