Период колебаний груза в полусфере
Рассмотрим простой пример колеблющейся системы в виде гладкой полусферы, в которую кладётся грузик (Рисунок 1) и найдём период колебаний маятника. В начальный момент грузик лежит в самой нижней точке сферы. Из этого положения его легонько толкают, придавая начальную скорость v0. Грузик снова соскальзывает, стремясь занять наиболее низкое первоначальное положение, но под действием сил инерции проскальзывает и поднимается вновь с другой стороны полусферы. Затем всё повторяется в обратном направлении. Грузик в полусфере превращается в своеобразный маятник. Возникают колебания маятника.
Рисунок 1.
На груз массы m действует сила тяжести m→g, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры →N, направленная перпендикулярно к поверхности сферы, то есть к центру полусферы радиуса R. По второму закону Ньютонаm→g+→N=m→a.
Проведём оси координат так, как показано на рисунке 1.
Запишем второй закон Ньютона в проекции на оси координат, пренебрегая центростремительным ускорением. В проекции на ось абсцисс получим:
−Nsinφ=macosφ.В проекции на ось ординат:Ncosφ−mg=−masinφ.Здесь φ — угол, образованный нормалью к поверхности в точке расположения груза с вертикалью.
Перепишем последние два уравнения в виде:Nsinφ=−macosφ, Ncosφ=mg−masinφ.Разделим первое из этих уравнений на второеtgφ=acosφasinφ−g. С учётом малости углов φ перепишем последнее уравнение в видеsinφ=−acosφg. С другой стороны, проекция ускорения на ось абсцисс равна производной от проекции скорости по времени или второй производной от координаты xпо времени, то есть acosφ=¨x. Из треугольника OAC находим sinφ=x/R. С учётом этого последнее уравнение перепишем в виде¨x+gRx=0.
Обозначим ω=√g/R. Тогда последнее дифференциальное уравнение перепишется в виде:¨x+ω2x=0.(1)
Несложно убедиться, что функцияx(t)=Bcosωt+Csinωtявляется решением уравнения (1) при любых значения величин B и C.
В начальный момент координата грузика равна нулю. То есть x(0)=0, или
Дифференциальное уравнение (1) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.
Так как максимальное значение синуса равно единице, то максимальное отклонение, называемое амплитудой, равно xmax=C.
Синус является периодической функцией с периодом 2π, так как sin(α+2π)=sin(α).
Функция f(t) называется периодичной с периодом T, если для любого значения аргумента t справедливо равенство f(t+T)=f(t).
Применим данное определение для полученного уравнения колебанийx(t+T)=Csin(ω(t+T))=x(T)=Csin(ωt).Отсюдаsin(ωt+ωT))=sin(ωt).Так как период синуса равен 2π, то из последнего равенства получаемωT=2π, или
T=2πω. Величина ω, найденная ранее называется при этом циклической частотой. Таким образом, циклическая частота равнаω=2πT=√gR.Отсюда находим период колебаний маятникаT=2π⋅√Rg.
Период колебания — это время, за которое совершается одно полное колебание, при котором груз возвращается в исходное положение.
Математический маятник | Физический маятник | Пружинный маятник | Крутильный маятник |
Колебания груза в полусфере | Колебания стержня на цилиндре | Колебания буя на воде |