Рисунок 1.

        На груз массы \( m \) действует сила тяжести \( m \vec g \), направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры \( \vec N \), направленная перпендикулярно к поверхности сферы, то есть к центру полусферы радиуса \(R\). По второму закону Ньютона$$m \vec g + \vec N = m \vec a .$$
        Проведём оси координат так, как показано на рисунке 1.

        Запишем второй закон Ньютона в проекции на оси координат, пренебрегая центростремительным ускорением. В проекции на ось абсцисс получим: $$-N sin \varphi = ma cos \varphi.$$В проекции на ось ординат:$$N cos \varphi -mg = - ma sin \varphi .$$Здесь \( \varphi \) — угол, образованный нормалью к поверхности в точке расположения груза с вертикалью.

        Перепишем последние два уравнения в виде:$$N sin \varphi =- ma cos \varphi , $$ $$ N cos \varphi = mg - ma sin \varphi .$$Разделим первое из этих уравнений на второе$$tg \varphi = {{a cos \varphi} \over {a sin \varphi -g}} .$$        С учётом малости углов \( \varphi \) перепишем последнее уравнение в виде$$sin \varphi = - {{a cos \varphi} \over g}.$$        С другой стороны, проекция ускорения на ось абсцисс равна производной от проекции скорости по времени или второй производной от координаты \( x \)по времени, то есть \( a cos \varphi = \ddot x \). Из треугольника \(OAC\) находим \( sin \varphi =x/R\). С учётом этого последнее уравнение перепишем в виде$$\ddot x + {g \over R}x =0 .$$
        Обозначим \( \omega = \sqrt {g/R } \). Тогда последнее дифференциальное уравнение перепишется в виде:$$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ddot x + \omega^2 x =0 . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$$
        Несложно убедиться, что функция$$x(t) = B cos \omega t + C sin \omega t$$является решением уравнения (1) при любых значения величин \( B \) и \(C\).

        В начальный момент координата грузика равна нулю. То есть \(x(0)=0\), или \(x(0)=Bcos0+Csin0=0\). Отсюда \(B=0\) и уравнение колебаний запишется$$x(t) = C sin \omega t.$$        Такие колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.

       Дифференциальное уравнение (1) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

        Так как максимальное значение синуса равно единице, то максимальное отклонение, называемое амплитудой, равно \( x_{max} = C\).

        Синус является периодической функцией с периодом \(2 \pi \), так как \( sin ( \alpha +2\pi )=sin (\alpha)\).

        Функция \(f(t)\) называется периодичной с периодом \(T\), если для любого значения аргумента \(t\) справедливо равенство \(f(t+T) = f(t)\).

        Применим данное определение для полученного уравнения колебаний$$x(t+T)=Csin(\omega(t+T))=x(T)=Csin(\omega t).$$Отсюда$$sin(\omega t + \omega T))=sin(\omega t).$$Так как период синуса равен \(2 \pi \), то из последнего равенства получаем$$\omega T = 2 \pi ,$$ или $$T = {{2 \pi} \over \omega }.$$         Величина \( \omega \), найденная ранее называется при этом циклической частотой. Таким образом, циклическая частота равна$$\omega = {{2 \pi} \over T} = \sqrt { g \over R } \, .$$Отсюда находим период колебаний маятника$$T = 2 \pi \cdot \sqrt {R \over g}.$$
        Период колебания — это время, за которое совершается одно полное колебание, при котором груз возвращается в исходное положение.

Решение задач по физике