Аналитическая геометрия. Смешанное произведение векторов

Задача. Найти смешанное произведение векторов $\mathbf a, \mathbf b$ и $\mathbf c$?

Для решения задачи введите координаты векторов в окошки ниже и нажмите Найти.

a={, , }, b={, , }, c={, , }.

Что такое смешанное произведение векторов?

Пусть даны три вектора $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$, и пусть найден вектор, который является векторным произведением двух из них $[\mathbf b, \mathbf c]$. Тогда скалярное произведение третьего вектора $\mathbf a$ на этот вектор $[\mathbf b, \mathbf c]$ является числом (скаляром), которое называется смешанное произведение векторов $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ и обозначается $\mathbf a\cdot \mathbf b\cdot \mathbf c$ или $(\mathbf a \mathbf b \mathbf c)$

Другими словами смешанное произведение векторов — это скалярное произведение одного вектора на векторное произведение двух других. \[\mathbf a \mathbf b \mathbf c=(\mathbf a\cdot[ \mathbf b, \mathbf c]).\]
Легко убедиться, что \[(\mathbf a\cdot[ \mathbf b, \mathbf c])=([\mathbf a, \mathbf b]\cdot \mathbf c).\]
Смешанное произведение обладает следующими свойствами.

1. Смешанное произведение векторов равно определителю, составленному из координат этих векторов. Если \[\mathbf a\{x_a; y_a; z_a\}, \mathbf b\{x_b; y_b; z_b\}, \mathbf c\{x_c; y_c; z_c\},\] то смешанное произведение векторов равно $$\mathbf a\cdot \mathbf b\cdot \mathbf c=\begin{vmatrix} x_a & y_a & z_a \\ x_b & y_b & z_b \\x_c & y_c & z_c \\ \end{vmatrix}.$$
2. Еесли $\mathbf a\cdot \mathbf b\cdot \mathbf c=0$, то векторы $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ есть компланарные векторы. Если векторы $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ компланарные, то их смешанное произведение равно нулю.
3.Если смешанное произведение трёх векторов не равно нулю, то есть $\mathbf a\cdot \mathbf b\cdot \mathbf c \neq 0$, то векторы $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ есть некомпланарные векторы. Если векторы $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ некомпланарные, то их смешанное произведение не равно нулю.
4. Смешанное произведение линейно по отношению к любому из своих сомножителей. \[\mathbf a\cdot \mathbf b\cdot (\mathbf c + \mathbf d)= \mathbf a\cdot \mathbf b\cdot \mathbf c + \mathbf a\cdot \mathbf b\cdot \mathbf d,\]\[\mathbf a\cdot k\mathbf b\cdot \mathbf c = k\cdot \mathbf a\cdot \mathbf b\cdot \mathbf c.\] 5. Для правых троек векторов и для левых троек векторов смешанное произведение имеет разные знаки. Если тройка векторов правая, то смешанное произведение положительное, а если тройка векторов левая, то смешанное впроизведение векторов отрицательное.
6. При перестановке сомножителей смешанное произведение меняет знак. \[\mathbf a\cdot \mathbf b\cdot \mathbf c = \mathbf b\cdot \mathbf c\cdot \mathbf a =\mathbf c\cdot \mathbf a\cdot \mathbf b =\]\[=-\mathbf b\cdot \mathbf a\cdot \mathbf c = -\mathbf a\cdot \mathbf c\cdot \mathbf b = - \mathbf c \cdot \mathbf b \cdot \mathbf a.\] 7. Смешанное произведение $\mathbf a\cdot \mathbf b\cdot \mathbf c$ равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c,$ взятому со знаком плюс, если тройка векторов — правая, со знаком минус, если тройка левая. Если же $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ компланарны, то $\mathbf a\cdot \mathbf b\cdot \mathbf c = 0.$

Решебники по математике:

Арутюнов Ю.С.
Кузнецов Л.А.

Решебники по физике:

Чертов А.Г.
Иродов И.Е.
Волькенштейн В.С.
Трофимова Т.И., Павлова З.Г.

Решение на заказ:

Как это работает
Вопросы и ответы
Способы оплаты и реквизиты
Расценки
Сделать заказ
Онлайн экзамен