ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
(С ПРОГРАММОЙ)

для студентов-заочников
инженерно-технических специальностей
высших учебных заведений

ПОД РЕДАКЦИЕЙ Ю. С. АРУТЮНОВА

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

        1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

        1-10. Даны векторы a(a₁; a₂; a₃), b(b₁; b₂; b₃), c(c₁; c₂; c₃), и d(d₁; d₂; d₃) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.

        1. а(1;2;3), b(–1;3;2), c(7;–3;5). d(6;10;17).
        2. а(4;7;8), b(9;1;3), c(2;–4;1). d(1;-13;-13).
        3. а(8;2;3), b(4;6;10), c(3;–2;1). d(7;4;11).
        4. а(10;3;1), b(1;4;2), c(3;9;2). d(19;30;7).
        5. а(2;4;1), b(1;3;6), c(5;3;1). d(24;20;6).
        6. а(1;7;3), b(3;4;2), c(4;8;5), d(7;32;14).
        7. а(1;-2;3), b(4;7;2), c(6;4;2). d(14;18;6).
        8. а(1;4;3), b(6;8;5), c(3;1;4). d(21;18;33).
        9. а(2;7;3), b(3;1;8), c(2;-7;4), d(16;14;27).
        10. а(7;2;1), b(4;3;5), c(3;4;-2), d(2;-5;-13).

        11-20. Даны координаты вершин пирамиды A₁A₂A₃A₄. Найти: 1) длину ребра A₁A₂; 2) угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₄; 3) угол между ребром A₁A₂ и гранью A₁A₂A₃; 4) площадь грани A₁A₂A₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой A₁A₂; 7) уравнение плоскости A₁A₂A₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃. Сделать чертеж.

        11. A₁(4;2;5), A₂(0;7;2), A₃(0;2;7), A₄(1;5;0).
        12. A₁(4;4;10), A₂(4;10;2), A₃(2;8;4), A₄(9;6;4).
        13. A₁(4;6;5), A₂(6;9;4), A₃(2;10;10), A₄(7;5;9).
        14. A₁(3;5;4), A₂(8;7;4), A₃(5;10;4), A₄(4;7;8).
        15. A₁(10;6;6), A₂(-2;8;2), A₃(6;8;9), A₄(7;10;3).
        16. A₁(1;8;2), A₂(5;2;6), A₃(5;7;4), A₄(4;10;9).
        17. A₁(6;6;5), A₂(4;9;5), A₃(4;6;11), A₄(6;9;3).
        18. A₁(7;2;2), A₂(5;7;7), A₃(5;3;1), A₄(2;3;7).
        19. A₁(8;6;4), A₂(10;5;5), A₃(5;6;8), A₄(8;10;7).
        20. A₁(7;7;3), A₂(6;5;8), A₃(3;5;8), A₄(8;4;1).

        21. Уравнение одной из сторон квадрата x+3y–5=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р(–1;0) — точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.
        22. Даны уравнения одной из сторон ромба х–3у+10=0 и одной из его диагоналей х+4у–4=0; диагонали ромба пересекаются в точке Р(0;1). Найти уравнения остальных сторон ромба.
        23. Уравнения двух сторон параллелограмма х+2у+2=0 и х+у–4=0, а уравнение одной из его диагоналей х–2=0. Найти координаты вершин параллелограмма.
        24. Даны две вершины А(–3;3) и В(5;–1) и точка D(4;3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
        25. Даны вершины А(–3; –2), В(4; –1), С(1;3) трапеции ABCD (AD||BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертёж.
        26. Даны уравнения двух сторон треугольника 5х–4у+15=0 и 4х+у–9=0. Его медианы пересекаются в точке Р(0;2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.
        27. Даны две вершины А(2;–2) и В(3;–1) и точка Р(1;0) пересечения медиан треугольника АВС. Составить уравнение высоты треугольника, проведенного через третью вершину С. Сделать чертеж.
        28. Даны уравнения двух высот треугольника x+y=4 и y=2x и одна из его вершин А(0;2). Составить уравнения сторон треугольника.
        29. Даны уравнения двух медиан треугольника х–2у+1=0 и у–1=0 и одна из его вершин A(1;3). Составить уравнения его сторон. Сделать чертёж.
        30. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x–2y–8=0 и 3x–2y–8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертёж.
        31. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки А(5;0) относится как 2:1.
        32. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(–1;0) вдвое меньше расстояния её от прямой х=–4.
        33. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 5х+8=0 относятся как 5:4.
        34. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4;0), чем от точки В(1;0).
        35. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 2х+5=0 относятся как 4:5.
        36. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(3;0) вдвое меньше расстояния от точки В(26;0).
        37. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0;2) и от прямой у–4=0.
        38. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности x²+y²=4x.
Замечание. Напомним, что за расстояние от точки А до фигуры Ф принимается наименьшее из расстояний между точкой А и точками фигуры Ф.
        39. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(2;6) и от прямой у+2=0.
        40. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки А(–4;0) втрое дальше, чем от начала координат.

        41-50. Линия задана уравнением r=r(φ) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от φ=0 до φ=2π и придавая φ значения через промежуток π/8;   2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

        41. r=1/(1+cos φ).                 42. r=1/(2+cos φ).
        43. r=4/(2-3cos φ).                44. r=8/(3-cos φ).
        45. r=1/(2+2cos φ).                46. r=5/(3-4cos φ).
        47. r=10/(2+cos φ).                48. r=3/(1-2cos φ).
        49. r=1/[2(1-cos φ)].                50. r=5/(6+3cos φ).

        2. Элементы линейной алгебры

        51-60. Дана система линейных уравнений

Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

	51.			52.
	53.			54.
	55.			56.
	57.			58.
	59.			60.

        61-70. Даны два линейных преобразования

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее         через        .

	61.
	62.
	63.
	64.
	65.
	66.
	67.
	68.
	69.
	70.

        71-80. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей \(А\).

	71.			72.
	73.			74.
	75.			76.
	77.			78.
	79.			80.

        81-90. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.

	81.
	82.
	83.
	84.
	85.
	86.
	87.
	88.
	89.
	90.

        91-100. Дано комплексное число \(z\). Требуется: 1) записать число \(z\) в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения \(w^3+z=0\).

	91.			92.
	93.			94.
	95.			96.
	97.			98.
	99.			100.

        3. Введение в математический анализ

        101-105. Построить график функции \(y=Asin(ax+b)\) преобразованием графика \(y=sinx\).

	101.			102.
	103.			104.
	105.

        106-110. Построить график функции \(y=Acos(ax+b)\) преобразованием графика \(y=cosx\).

	106.			107.
	108.			109.
	110.

        111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

	111.
	112.
	113.
	114.
	115.
	116.
	117.
	118.
	119.
	120.

        121-130. Задана функция \(y=f(x)\) и два значения аргумента \(x_1\) и \(x_2\). Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

	121.
	122.
	123.
	124.
	125.
	126.
	127.
	128.
	129.
	130.

        131-140. Задана функция \(y=f(x)\). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

	131.
	132.
	133.
	134.
	135.
	136.
	137.
	138.
	139.
	140.

        4. Производная и её приложения

        141-150. Найти производные \({{dy}\over{dx}}\) данных функций.

	141.
	142.
	143.
	144.
	145.
	146.
	147.
	148.
	149.
	150.

        151-160. Найти \({{dy}\over{dx}}\) и \({{d^2y}\over{dx^2}}\) для заданных функций: a) \(y=f(x)\); б) \(x=\varphi (t), y=\psi(t).\)

	151.
	152.
	153.
	154.
	155.
	156.
	157.
	158.
	159.
	160.

        161-170. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции \(f(x)=e^x\) вычислить значения \(e^a\) с точностью до \(0,001\).

	161.    \(a=0,49\).		162.    \(a=0,33\).		163.    \(a=0,75\).
	164.    \(a=0,63\).		165.    \(a=0,21\).		166.    \(a=0,55\).
	167.    \(a=0,37\).		168.    \(a=0,83\).		169.    \(a=0,13\).
	170.    \(a=0,59\).

        171-180. Найти наименьшее и наибольшее значение функции \(y=f(x)\) на отрезке\([a; b]\).

	171.
	172.
	173.
	174.
	175.
	176.
	177.
	178.
	179.
	180.

        181. Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема V цилиндрической формы. Каковы должны быть высота и радиус его основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала?
        182. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиусом R, вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?
        183. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2а и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
        184. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.
        185. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом R.
        186. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?
        187. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?
        188. В точках А и В находятся источники света силы соответственно F₁ и F₂. Расстояние между точками равно а. На отрезке АВ найти наименее освещенную точку М.
З а м е ч а н и е . Освещенность точки источником света силы F обратно пропорциональна квадрату расстояния r её от источника света: E = kF/r², k=const.
        189. Из круглого бревна диаметром d требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?
З а м е ч а н и е. Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины х её поперечного сечения на квадрат его высоты y: Q = kxy², k=const.
        190. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равно р₁ руб., а стенок — р₂ руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?

        5. Приложения дифференциального исчисления

        191-210. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию \(y=f(x)\) и, используя результаты исследования, построить её график.

	191.			192.
	193.			194.
	195.			196.
	197.			198.
	199.			200.
	201.			202.
	203.			204.
	205.			206.
	207.			208.
	209.			210.

        211-220. Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии \(r=r(t)\) в точке \(t_0\).

	211.
	212.
	213.
	214.
	215.
	216.
	217.
	218.
	219.
	220.

        221-230. Определить количество действительных корней уравнения \(x^3+ax+b=0\), отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью \(0,01\).

         

        6. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

        231-240. Дана функция \(z=f(x,y)\). Показать, что $$ F \left( x;y;z; {{\partial z} \over {\partial x}};{{\partial z} \over {\partial y}};{{\partial^2 z} \over {\partial x^2}};{{\partial^2 z} \over {\partial y^2}};{{\partial^2 z} \over {\partial x \partial y}}\right)=0.$$

	231.
	232.
	233.
	234.
	235.
	236.
	237.
	238.
	239.
	240.

        241-250. Дана функция \(z=f(x,y)\) и две точки \(A(x_0; y_0)\) и \(B(x_1; y_1)\). Требуется: 1) вычислить значение \(z_1\) в точке \(B\); 2) вычислить приближенное значение \(\bar z_1\) функции в точке \(B\), исходя из значения \(z_0\) в точке \(A\) и заменив приращение функции при переходе от точки \(A\) к точке \(B\) дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности \(z=f(x,y)\) в точке \(C(x_0; y_0; z_0)\).

	241.
	242.
	243.
	244.
	245.
	246.
	247.
	248.
	249.
	250.

        251-260. Найти наименьшее и наибольшее значения функции \(z=f(x,y)\) в замкнутой области \(D\), заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

	251.
	252.
	253.
	254.
	255.
	256.
	257.
	258.
	259.
	260.

        261-270. Даны функции \(z=f(x,y)\), точка \(A(x_0; y_0)\) и вектор \(\mathbf a (a_1; a_2)\). Найти: 1) \(grad z\) в точке \(A\); 2) производную в точке \(A\) по направлению вектора \( \mathbf a\).

	261.
	262.
	263.
	264.
	265.
	266.
	267.
	268.
	269.
	270.

        271-280. Экспериментально получены пять значений искомой функции \(y=f(x)\) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице:

        Методом наименьших квадратов найти функцию вида \(Y=aX+b\), выражающую приближённо (аппроксимирующую) функцию \(y=f(x)\). Сделать чертёж, на котором в декартовой системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксиимирующей функции \(Y=aX+b\).

       

        7. Неопределённый и определённый интегралы

        281-290. Найти неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.

	281.
	282.
	283.
	284.
	285.
	286.
	287.
	288.
	289.
	290.

        291-300. Вычислить приближенное значение определенного интеграла \(\int_a^b f(x)dx\) с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

	291.				292.
	293.				294.
	295.				296.
	297.				298.
	299.				300.

        301-310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

	301.				302.
	303.				304.
	305.				306.
	307.				308.
	309.				310.

        311. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой \(y=3x^2+1\) и прямой \(y=3x+7\).
        312. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды \(x=a(t-sint), \; y=a(1-cost) \, (0\le t \le 2\pi )\) и осью \(Ox\).
        313. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой \(r=3(1+cos\varphi)\).
        314. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырёхлепестковой розой \(r=4sin 2 \varphi)\).
        315. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси \(Ox\) фигуры, ограниченной параболами \(y=x^2\) и \(y=\sqrt x\).
        316. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси \(Ox\) фигуры, ограниченной полуэллипсом \(y=3\sqrt{1-x^2}\), параболой \(x=\sqrt{1-y}\)   и осью \(Oy\).
        317. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси \(Oy\) фигуры, ограниченной кривыми \(y=2/(1+x^2)\) и \(y=x^2\).
        318. Вычислить длину дуги полукубической параболы \(y=\sqrt{(x-2)^3}\) от точки \(A(2; 0)\) до точки \(B(6; 8)\).
        319. Вычислить длину кардиоиды \(r=3(1-cos\varphi )\).
        320. Вычислить длину одной арки циклоиды \(x=a(t-sint), \; y=a(1-cost) \, (0\le t \le 2\pi )\).

        8. Дифференциальные уравнения

        321-340. Найти общее решение дифференциального уравнения.

	321.				322.
	323.				324.
	325.				326.
	327.				328.
	329.				330.
	331.				332.
	333.				334.
	335.				336.
	337.				338.
	339.				340.

        341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения \(y''+py'+qy=f(x)\), удовлетворяющее начальным условиям \(y(0)=y_0\), \(y'(0)=y'_0\).

	341.
	342.
	343.
	344.
	345.
	346.
	347.
	348.
	349.
	350.

        351-360. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме данную систему и её решение.

	351.				352.
	353.				354.
	355.				356.
	357.				358.
	359.				360.

        361.  Материальная точка массы \(m=2 г\) без начальной скорости медленно погружается в жидкость. Сопротивление жидкости пропорционально скорости погружения с коэффициентом пропорциональности \(k=2 г/с.\) Найти скорость точки через \(1 с\) после начала погружения.
        362.  Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью v₀=12 км/ч. На полном ходу её мотор был выключен, и через 10 с скорость лодки уменьшилась до v₁= 6 км/ч. Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. Найти скорость лодки через 1 мин после остановки мотора.
        363.  Пуля, двигаясь со скоростью v₀=400 м/с, входит в достаточно толстую стену. Сопротивление стены сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное квадрату её скорости с коэффициентом пропорциональности k= 7 м^-1. Найти скорость пули через 0,001 с после вхождения в стену.
        364.  Материальная точка массой m=1 г движется прямолинейно. На неё действует сила в направлении движения, пропорциональная времени с коэффициентом пропорциональности k₁=2 г·см/с³, и сила сопротивление среды, пропорциональная скорости с коэффициентом пропорциональности k₂=3 г/с. Найти скорость точки через 3 с после начала движения, если начальная скорость точки равна нулю.
        365.  В сосуде 100 л водного раствора соли. В сосуд втекает чистая вода со скоростью q=5 л/мин, а смесь вытекает с той же скоростью, причем перемешивание обеспечивает равномерную концентрацию раствора. В начальный момент в растворе содержалось m₀= 10 кг соли. Сколько соли будет содержаться в сосуде через 20 мин после начала процесса?
        366.  Кривая проходит через точку A(2; –1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой её точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности k=3. Найти уравнение кривой.
        367.  Кривая проходит через точку A(1; 2) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой её точке на сумму координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. Найти уравнение кривой.
        368.  Кривая проходит через точку A(1; 2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой её точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности k=3. найти уравнение кривой.
        369.  Кривая проходит через точку A(1; 5) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой.
        370.  Кривая проходит через точку A(2; 4) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой.

        9. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ

        371-380. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (\(а>0\)).

	371.
	372.
	373.
	374.
	375.
	376.
	377.
	378.
	379.
	380.

        381-390. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость \(xОy\).

	381.
	382.
	383.
	384.
	385.
	386.
	387.
	388.
	389.
	390.

        391.  Вычислить криволинейный интеграл

вдоль дуги \(L\) окружности \(x=5cost\), \(y=5sint\), обходя её против часовой стрелки от точки \(A(5; 0)\) до точки \(B(0; 5)\). Сделать чертёж.

        392.  Вычислить криволинейный интеграл

вдоль ломаной \(L=OAB\), где \(O(0; 0)\), \(A(2; 0)\), \(B(4; 5)\). Сделать чертёж.

        393.  Вычислить криволинейный интеграл

вдоль границы \(L\) треугольника \(ABC\), обходя её против хода часовой стрелки, если \(A(1; 0)\), \(B(1; 1)\), \(С(0; 1)\). Сделать чертёж.

        394.  Вычислить криволинейный интеграл

вдоль дуги \(L\) параболы \(y=x^2\) от точки \(A(-1; 1)\) до точки \(B(1; 1)\). Сделать чертёж.

        395.  Вычислить криволинейный интеграл

вдоль верхней половины \(L\) эллипса \(x=3cost\), \(y=2sint\) (\(0 \le t \le \pi\)). Сделать чертёж.

        396.  Вычислить криволинейный интеграл

вдоль ломаной \(L=ABC\), где \(A(1; 2)\), \(B(1; 5)\), \(С(3; 5)\). Сделать чертёж.

        397.  Вычислить криволинейный интеграл

вдоль дуги \(L\) кривой \(y=e^{-x}\) от точки \(A(0; 1)\) до точки \(B(-1; e)\). Сделать чертёж.

        398.  Вычислить криволинейный интеграл

вдоль отрезка \(L=AB\) прямой от точки \(A(1; 2)\) до точки \(B(2; 4)\). Сделать чертёж.

        399.  Вычислить криволинейный интеграл

вдоль дуги параболы \(y=2x^2\) от точки \(O(0; 0)\) до точки \(A(1; 2)\). Сделать чертёж.

        400.  Вычислить криволинейный интеграл

вдоль дуги \(L\) кривой \(y=lnx\) от точки \(A(1; 0)\) до точки \(B(e; 1)\). Сделать чертёж.

        401-410. Даны векторное поле \(\mathbf F=X\mathbf i+Y\mathbf j+Z\mathbf k\) и плоскость \(Ax+By+Cz+D=0\) (\(р\)), которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду \(V\). Пусть \(\sigma\) — основание пирамиды, принадлежащее плоскости (\(р\)); \(\lambda\) — контур, ограничивающий \(\sigma\); \(\mathbf n\) — нормаль к \(\sigma\), направленная вне пирамиды \(V\). Требуется вычислить.
        1) поток векторного поля \(\mathbf F\) через поверхность \(\sigma\) в направлении нормали \(\mathbf n\);
        2) циркуляцию векторного поля \(\mathbf F\) по замкнутому контуру \(\lambda\) непосредственно и применив теорему Стокса к контуру \(\lambda\) и ограниченной им поверхности \(\sigma\) с нормалью \(\mathbf n\);
        3) поток векторного поля \(\mathbf F\) через полную поверхность пирамиды \(V\) в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

	401.		\(\mathbf F=(x+z)\mathbf i; \qquad x+y+z-2=0\).
	402.		\(\mathbf F=(y-x+z)\mathbf j; \qquad 2x-y+2z-2=0\).
	403.		\(\mathbf F=(x+7z)\mathbf k; \qquad 2x+y+z-4=0\).
	404.		\(\mathbf F=(x+2y-z)\mathbf i; \qquad -x+2y+2z-4=0\).
	405.		\(\mathbf F=(2x+3y-3z)\mathbf j; \qquad 2x-3y+2z-6=0\).
	406.		\(\mathbf F=(2x+4y+3z)\mathbf k; \qquad 3x+2y+3z-6=0\).
	407.		\(\mathbf F=(x-y+z)\mathbf i; \qquad -x+2y+z-4=0\).
	408.		\(\mathbf F=(3x+4y+2z)\mathbf j; \qquad x+y+2z-4=0\).
	409.		\(\mathbf F=(5x+2y+3z)\mathbf k; \qquad x+y+3z-3=0\).
	410.		\(\mathbf F=(x-2y+6z)\mathbf i; \qquad -x+y+2z-4=0\).

        411-420. Проверить является ли векторное поле \(\mathbf F=X\mathbf i+Y\mathbf j+Z\mathbf k\) потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля \(\mathbf F\) найти его потенциал.

	411.		\(\mathbf F=(6x+7yz)\mathbf i+(6y+7xz)\mathbf j+(6z+7xy)\mathbf k\).
	412.		\(\mathbf F=(8x-5yz)\mathbf i+(8y-5xz)\mathbf j+(8z-5xy)\mathbf k\).
	413.		\(\mathbf F=(10x-3yz)\mathbf i+(10y-3xz)\mathbf j+(10z-3xy)\mathbf k\).
	414.		\(\mathbf F=(12x+yz)\mathbf i+(12y+xz)\mathbf j+(12+zxy)\mathbf k\).
	415.		\(\mathbf F=(4x-7yz)\mathbf i+(4y-7xz)\mathbf j+(4z-7xy)\mathbf k\).
	416.		\(\mathbf F=(x+2yz)\mathbf i+(y+2xz)\mathbf j+(z+2xy)\mathbf k\).
	417.		\(\mathbf F=(5x+4yz)\mathbf i+(5y+4xz)\mathbf j+(5z+4xy)\mathbf k\).
	418.		\(\mathbf F=(7x-2yz)\mathbf i+(7y-2xz)\mathbf j+(7z-2xy)\mathbf k\).
	419.		\(\mathbf F=(3x-yz)\mathbf i+(3y-xz)\mathbf j+(3z-xy)\mathbf k\).
	420.		\(\mathbf F=(9x+5yz)\mathbf i+(9y+5xz)\mathbf j+(9z+5xy)\mathbf k\).

        10. Ряды

        421-430. Исследовать сходимость ряда \(\sum_{n=1}^\infty u_n\).

	421.				422.
	423.				424.
	425.				426.
	427.				428.
	429.				430.

        431-440. Найти интервал сходимости степенного ряда \(\sum_{n=1}^\infty a_nx^n\).

	431.				432.
	433.				434.
	435.				436.
	437.				438.
	439.				440.

        441-450. Вычислить определенный интеграл \(\int_0^b f(x)dx\) с точностью до \(0,001\), разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

	441.				442.
	443.				444.
	445.				446.
	447.				448.
	449.				450.

        451-460. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения \(y=y(x)\) дифференциального уравнения \(y'=f(x; y)\), удовлетворяющего начальному условию \(y(0)=y_0\).

	451.				452.
	453.				454.
	455.				456.
	457.				458.
	459.				460.

        461-470. Разложить данную функцию \(f(x)\) в ряд Фурье в интервале \((a; b)\).

	461.		\(f(x)=x+1\)		в интервале \((-\pi; \pi)\).
	462.		\(f(x)=x^2+1\)		в интервале \((-2; 2)\).
	463.		\(f(x)={{\pi-x}\over 2}\)		в интервале \((-\pi; \pi)\).
	464.		\(f(x)=1+|x|\)		в интервале \((-1; 1)\).
	465.		\(f(x)=\begin{cases} 0, \qquad -\pi \lt x \lt 0,\\x, \qquad 0 \le x\lt \pi \end{cases}\)		в интервале \((-\pi; \pi)\).
	466.		\(f(x)=|1-x|\)		в интервале \((-2; 2)\).
	467.		\(f(x)=|x|\)		в интервале \((-\pi; \pi)\).
	468.		\(f(x)=x-1\)		в интервале \((-1; 1)\).
	469.		\(f(x)=x^2\)		в интервале \((0; 2\pi)\).
	470.		\(f(x)=\begin{cases} 2, \qquad -\pi \lt x \lt 0,\\1, \qquad 0 \le x\lt \pi \end{cases}\)		в интервале \((-\pi; \pi)\).

        11. Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление

        471-480. Методом Даламбера найти уравнение \(u=u(x;t)\) формы однородной бесконечной струны, определяемой волновым уравнением \({{\partial^2u}\over{\partial t^2}}=a^2{{\partial^2u}\over{\partial x^2}}\), если в начальный момент \(t_0\) форма струны и скорость точки струны с абсциссой \(х\) определяется соответственно заданными функциями

	471.				472.
	473.				474.
	475.				476.
	477.				478.
	479.				480.

        481-490. Представить заданную функцию \(w=f(z)\), где \(z=x+iy\), в виде \(w=u(x,y)+iv(x,y)\); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение её производной в заданной точке \(z_0\).

	481.				482.
	483.				484.
	485.				486.
	487.				488.
	489.				490.

        491-500. Разложить функцию \(f(z)\) в ряд Лорана в окрестности точки \(z_0\) и определить область сходимости ряда.

	491.				492.
	493.				494.
	495.				496.
	497.				498.
	499.				500.

        501-510. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

	501.				502.
	503.				504.
	505.				506.
	507.				508.
	509.				510.

        511-520. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

	511.
	512.
	513.
	514.
	515.
	516.
	517.
	518.
	519.
	520.

        12. Теория вероятностей и математическая статистика

        521. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета.
        522. В каждой из двух урн находится 5 белых и 10 чёрных шаров. Из первой урны переложили во вторую на удачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется чёрным.
        523. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим –0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попал в цель; б) только два стрелка попали в цель; в) все три стрелка попали в цель.
        524. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 900 раз.
        525. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство равна 0,9, второе - 0,95, третье - 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.
        526. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.
        527. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, ровно три окажутся дефектными.
        528. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.
        529. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготавливаются детали одного наименования. На первом станке изготавливают 10%, на втором – 30%, и на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 –если на втором станке, и 0,9 – если на третьем. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.
        530. Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеется по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены кождой команды вынимают наудачу по одному билету из определённой урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.

        531-540. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х₁ меньше x₂. Известны вероятность р₁ возможного значения х₁, математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.

       

        541-540. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

	541.
	542.
	543.
	544.
	545.
	546.
	547.
	548.
	549.
	550.

        551-560. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины x. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α, β)

       

        561-570. Задана матрица Р₁ вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу Р₂ перехода из состояния i в состояние j за два шага

	561.
	562.
	563.
	564.
	565.
	566.
	567.
	568.
	569.
	570.

        571-580. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю    , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

       

        Сборник заданий Арутюнова Ю. С. содержит следующие контрольные или разделы:

        1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
        2. Элементы линейной алгебры.
        3. Введение в математический анализ.
        4. Производная и её приложения.
        5. Приложения дифференциального исчисления.
        6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
        7. Неопределённый и определённый интегралы.
        8. Дифференциальные уравнения.
        9. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ
        10. Ряды.
        11. Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.
        12. Теория вероятностей и математическая статистика.