Решебник Арутюнова

Введите номер задачи из контрольной работы 1 "Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии" и нажмите кнопку "Решить".

Аккуратно перепишите решение задач вместе с условиями в тетрадку и сдайте на проверку вашему преподавателю.
Задачи выбираются в соответствии с вариантом. Контрольная работа 1 содержит следующие задачи:

Теория по векторной алгебре и аналитической геометрии

Векторы. Базис. Длина вектора. Разложение вектора по базису

Направленный отрезок, определяемый упорядоченной парой точек $A$ и $B$, называется вектором и обозначается $\overrightarrow{AB}$. Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым и обозначается $\vec0$.
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается $|\overrightarrow{AB}|$. Длина нулевого вектора обозначается $0$.
Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.
Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Определение равных векторов позволяет обозначать вектор одной малой буквой с чертой $\vec a$.
Любой вектор $\vec a$ трёхмерного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации трёх некомпланарных векторов $$ \vec a=x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3.$$ Коэффициенты $x_1, x_2, x_3 $ называются координатами вектора $\vec a$ по отношению к базису, определённому базисными векторами $\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3 $.
Если базисная система задана, то векторы $\vec a, \vec b, ...$ представляются упорядоченными тройками $ (x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3),...$ их координат; при этом векторы $\vec a+\vec b$ и $\lambda\vec a$ представляются соответственно тройками $ (x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3)$ и $(\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda x_3)$.
Соотношения между векторами могут быть выражены через соответствующие системы соотношений между их координатами. Если известны координаты начала $A(x_1, y_1, z_1)$ и конца $B(x_2, y_2, z_2)$, то координаты вектора определяются как разности соответствующих координат $$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1).$$ Векторы, принадлежащие плоскости, представляются подобным образом упорядоченными парами координат.
Если в пространстве задана прямоугольная система декартовых координат, то единичные векторы $\vec i, \vec j, \vec k$ осей $Ox, Oy$ и $Oz$ соответственно образуют удобную систему базисных векторов. Координаты $x, y, z$ вектора $\vec a=x\vec i+y\vec j+z\vec k$ называются декартовыми прямоугольными координатами вектора $\vec a$.
Длина вектора $\vec a$ выражается через его декартовы координаты равенством $$|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$ Задача 1. Написать разложение вектора $\vec a=(10,3,3)$ по векторам $\vec e_1=(2,3,1), \vec e_2=(3,7,2), \vec e_3=(5,4,3)$.

Решение. Векторы $\vec a, \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3$ заданы в одном базисе. Запишем разложение вектора $\vec a$ по векторам $\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$: $$ \vec a=x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3.$$ Из равенства векторов следует равенство их одноимённых координат $$ \left. \begin{array}{l} 2x_1+3x_2+5x_3=10 \\ 3x_1+7x_2+4x_3=3 \\ x_1+2x_2+2x_3=3 \end{array} \right\}.$$
Найдем решение системы по формулам Крамера. $$ \Delta=\begin{vmatrix} 2&3&5 \\ 3&7&4 \\ 1&2&2 \end{vmatrix}=2\cdot 7\cdot 3+3\cdot 4\cdot 1+3\cdot 2\cdot 5-1\cdot 7\cdot 5-2\cdot 4\cdot 2-3\cdot 2 \cdot 3=1\neq 0,$$ $$ \Delta_1=\begin{vmatrix} 10&3&5 \\ 3&7&4 \\ 3&2&2 \end{vmatrix}=10\cdot 7\cdot 3+3\cdot 4\cdot 3+3\cdot 2\cdot 5-3\cdot 7\cdot 5-10\cdot 4\cdot 2-3\cdot 2 \cdot 3=3,$$ $$ \Delta_2=\begin{vmatrix} 2&10&5 \\ 3&3&4 \\ 1&3&2 \end{vmatrix}=2\cdot 3\cdot 2+10\cdot 4\cdot 1+3\cdot 3\cdot 5-1\cdot 3\cdot 5-2\cdot 4\cdot 3-10\cdot 2 \cdot 3=-2,$$ $$ \Delta_3=\begin{vmatrix} 2&3&10 \\ 3&7&3 \\ 1&2&3 \end{vmatrix}=2\cdot 7\cdot 3+3\cdot 3\cdot 1+3\cdot 2\cdot 10-1\cdot 7\cdot 10-2\cdot 3\cdot 2-3\cdot 3 \cdot 3=2.$$
Тогда по формулам Крамера $$ x_1={{\Delta_1}\over{\Delta}}=\frac31=3, \qquad x_2={{\Delta_2}\over{\Delta}}=\frac{-2}1=-2, \qquad x_3={{\Delta_3}\over{\Delta}}=\frac21=2.$$ Следовательно, $ \vec a=3\vec e_1-2 \vec e_2+2 \vec e_3. $

Скалярное произведение векторов. Угол между векторами

Скалярным произведением $(\vec a, \vec b)$ вектора $\vec a$ на вектор $\vec b $ называется число $$(\vec a, \vec b )=|\vec a|\cdot |\vec b| \cdot cos \gamma, $$ где $\gamma $ — угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$.

Свойства скалярного произведения:$$(\vec a, \vec b)=(\vec b, \vec a); \qquad (\vec a, \vec b+\vec c)=(\vec a, \vec b)+(\vec a, \vec c); \qquad (\lambda \vec a, \vec b)=(\vec a, \lambda \vec b)=\lambda (\vec a, \vec b); $$$$(\vec a, \vec a)=|\vec a|^2; \qquad |(\vec a, \vec b)|=|\vec a|\cdot |\vec b|; \qquad cos \gamma ={{(\vec a, \vec b)}\over {|\vec a|\cdot |\vec b|}}. $$ В прямоугольных декартовых координатах скалярное произведение векторов выражается формулами: $$(\vec i, \vec i)= (\vec j, \vec j)= (\vec k, \vec k)= 1; \qquad (\vec i, \vec j)= (\vec j, \vec k)= (\vec k, \vec i)=0;$$$$(\vec a, \vec b)= (x_1\vec i+x_2\vec j+x_3\vec k, y_1\vec i+y_2\vec j+y_3\vec k )= x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2+x_3\cdot y_3;$$$$ x_1=(\vec a, \vec i); \qquad x_2=(\vec a, \vec j); \qquad x_3=(\vec a, \vec k).$$ Два ненулевых вектора $\vec a$ и $\vec b$ взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда $(\vec a, \vec b)=0$.

Задача 2. Найти косинус угла между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AС}, \;$ где $\, A(-2,4,-6),\, B(0,2,4),\, C(-6,8-10)$.

Решение. Найдем координаты векторов как разности координат конца и координат начала $$ \overrightarrow{AB} =(0-(-2), 2-4, 4-(-6)=(2, -2, 10), \qquad \overrightarrow{AС} =(-6-(-2), 8-4, -10-(-6)=(-4, 4, -4).$$ Найдём длины векторов$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+10^2}=\sqrt{108}, \qquad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-4)^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{48}.$$ Скалярное произведение векторов$$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=2\cdot(-4)+(-2)\cdot 4+10\cdot(-4)=-56.$$ Используя свойства скалярного произведения найдём косинус угла между векторами$$cos \gamma ={{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AС})}\over {|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AС}|}}={{-56}\over{\sqrt{108}\cdot\sqrt{48}}}=-\frac79.$$

Сборник заданий Арутюнова Ю. С. содержит следующие контрольные или разделы:

1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
2. Элементы линейной алгебры.
3. Введение в математический анализ.
4. Производная и её приложения.
5. Приложения дифференциального исчисления.
6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
7. Неопределённый и определённый интегралы.
8. Дифференциальные уравнения.
9. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ
10. Ряды.
11. Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.
12. Теория вероятностей и математическая статистика.