1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Введите номер задачи из контрольной работы 1 "Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии" и нажмите кнопку "Решить".
Аккуратно перепишите решение задач вместе с условиями в тетрадку и сдайте на проверку вашему преподавателю.
Задачи выбираются в соответствии с вариантом. Контрольная работа 1 содержит следующие задачи:
1-10. Даны векторы
1. а(1;2;3), b(–1;3;2), c(7;–3;5). d(6;10;17).
2. а(4;7;8), b(9;1;3), c(2;–4;1). d(1;-13;-13).
3. а(8;2;3), b(4;6;10), c(3;–2;1). d(7;4;11).
4. а(10;3;1), b(1;4;2), c(3;9;2). d(19;30;7).
5. а(2;4;1), b(1;3;6), c(5;3;1). d(24;20;6).
6. а(1;7;3), b(3;4;2), c(4;8;5), d(7;32;14).
7. а(1;-2;3), b(4;7;2), c(6;4;2). d(14;18;6).
8. а(1;4;3), b(6;8;5), c(3;1;4). d(21;18;33).
9. а(2;7;3), b(3;1;8), c(2;-7;4), d(16;14;27).
10. а(7;2;1), b(4;3;5), c(3;4;-2), d(2;-5;-13).
11-20. Даны координаты вершин пирамиды
11. A1(4;2;5), A2(0;7;2), A3(0;2;7), A4(1;5;0).
12. A1(4;4;10), A2(4;10;2), A3(2;8;4), A4(9;6;4).
13. A1(4;6;5), A2(6;9;4), A3(2;10;10), A4(7;5;9).
14. A1(3;5;4), A2(8;7;4), A3(5;10;4), A4(4;7;8).
15. A1(10;6;6), A2(-2;8;2), A3(6;8;9), A4(7;10;3).
16. A1(1;8;2), A2(5;2;6), A3(5;7;4), A4(4;10;9).
17. A1(6;6;5), A2(4;9;5), A3(4;6;11), A4(6;9;3).
18. A1(7;2;2), A2(5;7;7), A3(5;3;1), A4(2;3;7).
19. A1(8;6;4), A2(10;5;5), A3(5;6;8), A4(8;10;7).
20. A1(7;7;3), A2(6;5;8), A3(3;5;8), A4(8;4;1).
21. Уравнение одной из сторон квадрата
22. Даны уравнения одной из сторон ромба
23. Уравнения двух сторон параллелограмма
24. Даны две вершины
25. Даны вершины
26. Даны уравнения двух сторон треугольника
27. Даны две вершины
28. Даны уравнения двух высот треугольника
29. Даны уравнения двух медиан треугольника
30. Две стороны треугольника заданы уравнениями
31. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки
32. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки
33. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки
34. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки
35. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки
36. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки
37. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки
38. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности
Замечание. Напомним, что за расстояние от точки А до фигуры Ф принимается наименьшее из расстояний между точкой А и точками фигуры Ф.
39. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки
40. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки
41-50. Линия задана уравнением
41. r=1/(1+cos φ).
42. r=1/(2+cos φ).
43. r=4/(2-3cos φ).
44. r=8/(3-cos φ).
45. r=1/(2+2cos φ).
46. r=5/(3-4cos φ).
47. r=10/(2+cos φ).
48. r=3/(1-2cos φ).
49. r=1/[2(1-cos φ)].
50. r=5/(6+3cos φ).
Теория по векторной алгебре и аналитической геометрии
Векторы. Базис. Длина вектора. Разложение вектора по базису
Направленный отрезок, определяемый упорядоченной парой точек \(A\) и \(B\), называется вектором и обозначается \(\overrightarrow{AB}\). Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым и обозначается \(\vec0\).
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается \(|\overrightarrow{AB}|\). Длина нулевого вектора обозначается \(0\).
Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.
Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Определение равных векторов позволяет обозначать вектор одной малой буквой с чертой \(\vec a\).
Любой вектор \(\vec a\) трёхмерного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации трёх некомпланарных векторов $$ \vec a=x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3.$$ Коэффициенты \(x_1, x_2, x_3 \) называются координатами вектора \(\vec a\) по отношению к базису, определённому базисными векторами \(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3 \).
Если базисная система задана, то векторы \(\vec a, \vec b, ...\) представляются упорядоченными тройками \( (x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3),...\) их координат; при этом векторы \(\vec a+\vec b\) и \(\lambda\vec a\) представляются соответственно тройками \( (x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3)\) и \((\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda x_3)\).
Соотношения между векторами могут быть выражены через соответствующие системы соотношений между их координатами. Если известны координаты начала \(A(x_1, y_1, z_1)\) и конца \(B(x_2, y_2, z_2)\), то координаты вектора определяются как разности соответствующих координат $$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1).$$ Векторы, принадлежащие плоскости, представляются подобным образом упорядоченными парами координат.
Если в пространстве задана прямоугольная система декартовых координат, то единичные векторы \(\vec i, \vec j, \vec k\) осей \(Ox, Oy\) и \(Oz\) соответственно образуют удобную систему базисных векторов. Координаты \(x, y, z\) вектора \(\vec a=x\vec i+y\vec j+z\vec k\) называются декартовыми прямоугольными координатами вектора \(\vec a\).
Длина вектора \(\vec a\) выражается через его декартовы координаты равенством $$|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$ Задача 1. Написать разложение вектора \(\vec a=(10,3,3)\) по векторам \(\vec e_1=(2,3,1), \vec e_2=(3,7,2), \vec e_3=(5,4,3)\).
Решение. Векторы \(\vec a, \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3\) заданы в одном базисе. Запишем разложение вектора \(\vec a\) по векторам \(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\): $$ \vec a=x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3.$$ Из равенства векторов следует равенство их одноимённых координат $$ \left. \begin{array}{l} 2x_1+3x_2+5x_3=10 \\ 3x_1+7x_2+4x_3=3 \\ x_1+2x_2+2x_3=3 \end{array} \right\}.$$
Найдем решение системы по формулам Крамера.
$$ \Delta=\begin{vmatrix} 2&3&5 \\ 3&7&4 \\ 1&2&2 \end{vmatrix}=2\cdot 7\cdot 3+3\cdot 4\cdot 1+3\cdot 2\cdot 5-1\cdot 7\cdot 5-2\cdot 4\cdot 2-3\cdot 2 \cdot 3=1\neq 0,$$ $$ \Delta_1=\begin{vmatrix} 10&3&5 \\ 3&7&4 \\ 3&2&2 \end{vmatrix}=10\cdot 7\cdot 3+3\cdot 4\cdot 3+3\cdot 2\cdot 5-3\cdot 7\cdot 5-10\cdot 4\cdot 2-3\cdot 2 \cdot 3=3,$$ $$ \Delta_2=\begin{vmatrix} 2&10&5 \\ 3&3&4 \\ 1&3&2 \end{vmatrix}=2\cdot 3\cdot 2+10\cdot 4\cdot 1+3\cdot 3\cdot 5-1\cdot 3\cdot 5-2\cdot 4\cdot 3-10\cdot 2 \cdot 3=-2,$$ $$ \Delta_3=\begin{vmatrix} 2&3&10 \\ 3&7&3 \\ 1&2&3 \end{vmatrix}=2\cdot 7\cdot 3+3\cdot 3\cdot 1+3\cdot 2\cdot 10-1\cdot 7\cdot 10-2\cdot 3\cdot 2-3\cdot 3 \cdot 3=2.$$
Тогда по формулам Крамера $$ x_1={{\Delta_1}\over{\Delta}}=\frac31=3, \qquad x_2={{\Delta_2}\over{\Delta}}=\frac{-2}1=-2, \qquad x_3={{\Delta_3}\over{\Delta}}=\frac21=2.$$ Следовательно, \( \vec a=3\vec e_1-2 \vec e_2+2 \vec e_3. \)
Скалярное произведение векторов. Угол между векторами
Скалярным произведением \((\vec a, \vec b)\) вектора \(\vec a\) на вектор \(\vec b \) называется число $$(\vec a, \vec b )=|\vec a|\cdot |\vec b| \cdot cos \gamma, $$ где \(\gamma \) — угол между векторами \(\vec a\) и \(\vec b\).
Свойства скалярного произведения:$$(\vec a, \vec b)=(\vec b, \vec a); \qquad (\vec a, \vec b+\vec c)=(\vec a, \vec b)+(\vec a, \vec c); \qquad (\lambda \vec a, \vec b)=(\vec a, \lambda \vec b)=\lambda (\vec a, \vec b); $$$$(\vec a, \vec a)=|\vec a|^2; \qquad |(\vec a, \vec b)|=|\vec a|\cdot |\vec b|; \qquad cos \gamma ={{(\vec a, \vec b)}\over {|\vec a|\cdot |\vec b|}}. $$ В прямоугольных декартовых координатах скалярное произведение векторов выражается формулами: $$(\vec i, \vec i)= (\vec j, \vec j)= (\vec k, \vec k)= 1; \qquad (\vec i, \vec j)= (\vec j, \vec k)= (\vec k, \vec i)=0;$$$$(\vec a, \vec b)= (x_1\vec i+x_2\vec j+x_3\vec k, y_1\vec i+y_2\vec j+y_3\vec k )= x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2+x_3\cdot y_3;$$$$ x_1=(\vec a, \vec i); \qquad x_2=(\vec a, \vec j); \qquad x_3=(\vec a, \vec k).$$ Два ненулевых вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда \((\vec a, \vec b)=0\).
Задача 2. Найти косинус угла между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AС}, \;\) где \(\, A(-2,4,-6),\, B(0,2,4),\, C(-6,8-10)\).
Решение. Найдем координаты векторов как разности координат конца и координат начала $$ \overrightarrow{AB} =(0-(-2), 2-4, 4-(-6)=(2, -2, 10), \qquad \overrightarrow{AС} =(-6-(-2), 8-4, -10-(-6)=(-4, 4, -4).$$ Найдём длины векторов$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+10^2}=\sqrt{108}, \qquad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-4)^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{48}.$$ Скалярное произведение векторов$$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=2\cdot(-4)+(-2)\cdot 4+10\cdot(-4)=-56.$$ Используя свойства скалярного произведения найдём косинус угла между векторами$$cos \gamma ={{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AС})}\over {|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AС}|}}={{-56}\over{\sqrt{108}\cdot\sqrt{48}}}=-\frac79.$$
Сборник заданий Арутюнова Ю. С. содержит следующие контрольные или разделы:
1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
2. Элементы линейной алгебры.
3. Введение в математический анализ.
4. Производная и её приложения.
5. Приложения дифференциального исчисления.
6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
7. Неопределённый и определённый интегралы.
8. Дифференциальные уравнения.
9. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ
10. Ряды.
11. Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.
12. Теория вероятностей и математическая статистика.