1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

        Введите номер задачи из контрольной работы 1 "Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии" и нажмите кнопку "Решить".




        Аккуратно перепишите решение задач вместе с условиями в тетрадку и сдайте на проверку вашему преподавателю.
        Задачи выбираются в соответствии с вариантом. Контрольная работа 1 содержит следующие задачи:

        1-10. Даны векторы a(a1; a2; a3), b(b1; b2; b3), c(c1; c2; c3), и d(d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.

1. а(1;2;3), b(–1;3;2), c(7;–3;5). d(6;10;17).
2. а(4;7;8), b(9;1;3), c(2;–4;1). d(1;-13;-13).
3. а(8;2;3), b(4;6;10), c(3;–2;1). d(7;4;11).
4. а(10;3;1), b(1;4;2), c(3;9;2). d(19;30;7).
5. а(2;4;1), b(1;3;6), c(5;3;1). d(24;20;6).
6. а(1;7;3), b(3;4;2), c(4;8;5), d(7;32;14).
7. а(1;-2;3), b(4;7;2), c(6;4;2). d(14;18;6).
8. а(1;4;3), b(6;8;5), c(3;1;4). d(21;18;33).
9. а(2;7;3), b(3;1;8), c(2;-7;4), d(16;14;27).
10. а(7;2;1), b(4;3;5), c(3;4;-2), d(2;-5;-13).

        11-20. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и A1A4; 3) угол между ребром A1A2 и гранью A1A2A3; 4) площадь грани A1A2A3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой A1A2; 7) уравнение плоскости A1A2A3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3. Сделать чертеж.

11. A1(4;2;5), A2(0;7;2), A3(0;2;7), A4(1;5;0).
12. A1(4;4;10), A2(4;10;2), A3(2;8;4), A4(9;6;4).
13. A1(4;6;5), A2(6;9;4), A3(2;10;10), A4(7;5;9).
14. A1(3;5;4), A2(8;7;4), A3(5;10;4), A4(4;7;8).
15. A1(10;6;6), A2(-2;8;2), A3(6;8;9), A4(7;10;3).
16. A1(1;8;2), A2(5;2;6), A3(5;7;4), A4(4;10;9).
17. A1(6;6;5), A2(4;9;5), A3(4;6;11), A4(6;9;3).
18. A1(7;2;2), A2(5;7;7), A3(5;3;1), A4(2;3;7).
19. A1(8;6;4), A2(10;5;5), A3(5;6;8), A4(8;10;7).
20. A1(7;7;3), A2(6;5;8), A3(3;5;8), A4(8;4;1).

21. Уравнение одной из сторон квадрата x+3y–5=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р(–1;0) — точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.
22. Даны уравнения одной из сторон ромба х–3у+10=0 и одной из его диагоналей х+4у–4=0; диагонали ромба пересекаются в точке Р(0;1). Найти уравнения остальных сторон ромба.
23. Уравнения двух сторон параллелограмма х+2у+2=0 и х+у–4=0, а уравнение одной из его диагоналей х–2=0. Найти координаты вершин параллелограмма.
24. Даны две вершины А(–3;3) и В(5;–1) и точка D(4;3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
25. Даны вершины А(–3; –2), В(4; –1), С(1;3) трапеции ABCD (AD||BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертёж.
26. Даны уравнения двух сторон треугольника 5х–4у+15=0 и 4х+у–9=0. Его медианы пересекаются в точке Р(0;2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.
27. Даны две вершины А(2;–2) и В(3;–1) и точка Р(1;0) пересечения медиан треугольника АВС. Составить уравнение высоты треугольника, проведенного через третью вершину С. Сделать чертеж.
28. Даны уравнения двух высот треугольника x+y=4 и y=2x и одна из его вершин А(0;2). Составить уравнения сторон треугольника.
29. Даны уравнения двух медиан треугольника х–2у+1=0 и у–1=0 и одна из его вершин A(1;3). Составить уравнения его сторон. Сделать чертёж.
30. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x–2y–8=0 и 3x–2y–8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертёж.
31. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки А(5;0) относится как 2:1.
32. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(–1;0) вдвое меньше расстояния её от прямой х=–4.
33. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 5х+8=0 относятся как 5:4.
34. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4;0), чем от точки В(1;0).
35. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 2х+5=0 относятся как 4:5.
36. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(3;0) вдвое меньше расстояния от точки В(26;0).
37. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0;2) и от прямой у–4=0.
38. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности x2+y2=4x.
Замечание. Напомним, что за расстояние от точки А до фигуры Ф принимается наименьшее из расстояний между точкой А и точками фигуры Ф.

39. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(2;6) и от прямой у+2=0.
40. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки А(–4;0) втрое дальше, чем от начала координат.

        41-50. Линия задана уравнением r=r(φ) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от φ=0 до φ=2π и придавая φ значения через промежуток π/8;   2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

41. r=1/(1+cos φ).         42. r=1/(2+cos φ).
43. r=4/(2-3cos φ).        44. r=8/(3-cos φ).
45. r=1/(2+2cos φ).        46. r=5/(3-4cos φ).
47. r=10/(2+cos φ).        48. r=3/(1-2cos φ).
49. r=1/[2(1-cos φ)].        50. r=5/(6+3cos φ).

Теория по векторной алгебре и аналитической геометрии

Векторы. Базис. Длина вектора. Разложение вектора по базису

        Направленный отрезок, определяемый упорядоченной парой точек \(A\) и \(B\), называется вектором и обозначается \(\overrightarrow{AB}\). Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым и обозначается \(\vec0\).
        Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается \(|\overrightarrow{AB}|\). Длина нулевого вектора обозначается \(0\).
        Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.
        Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.
        Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Определение равных векторов позволяет обозначать вектор одной малой буквой с чертой \(\vec a\).
        Любой вектор \(\vec a\) трёхмерного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации трёх некомпланарных векторов $$ \vec a=x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3.$$         Коэффициенты \(x_1, x_2, x_3 \) называются координатами вектора \(\vec a\) по отношению к базису, определённому базисными векторами \(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3 \).
        Если базисная система задана, то векторы \(\vec a, \vec b, ...\) представляются упорядоченными тройками \( (x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3),...\) их координат; при этом векторы \(\vec a+\vec b\) и \(\lambda\vec a\) представляются соответственно тройками \( (x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3)\) и \((\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda x_3)\).
        Соотношения между векторами могут быть выражены через соответствующие системы соотношений между их координатами. Если известны координаты начала \(A(x_1, y_1, z_1)\) и конца \(B(x_2, y_2, z_2)\), то координаты вектора определяются как разности соответствующих координат $$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1).$$         Векторы, принадлежащие плоскости, представляются подобным образом упорядоченными парами координат.
        Если в пространстве задана прямоугольная система декартовых координат, то единичные векторы \(\vec i, \vec j, \vec k\) осей \(Ox, Oy\) и \(Oz\) соответственно образуют удобную систему базисных векторов. Координаты \(x, y, z\) вектора \(\vec a=x\vec i+y\vec j+z\vec k\) называются декартовыми прямоугольными координатами вектора \(\vec a\).
        Длина вектора \(\vec a\) выражается через его декартовы координаты равенством $$|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$         Задача 1. Написать разложение вектора \(\vec a=(10,3,3)\) по векторам \(\vec e_1=(2,3,1), \vec e_2=(3,7,2), \vec e_3=(5,4,3)\).

        Решение. Векторы \(\vec a, \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3\) заданы в одном базисе. Запишем разложение вектора \(\vec a\) по векторам \(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\): $$ \vec a=x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3.$$         Из равенства векторов следует равенство их одноимённых координат $$ \left. \begin{array}{l} 2x_1+3x_2+5x_3=10 \\ 3x_1+7x_2+4x_3=3 \\ x_1+2x_2+2x_3=3 \end{array} \right\}.$$
        Найдем решение системы по формулам Крамера. $$ \Delta=\begin{vmatrix} 2&3&5 \\ 3&7&4 \\ 1&2&2 \end{vmatrix}=2\cdot 7\cdot 3+3\cdot 4\cdot 1+3\cdot 2\cdot 5-1\cdot 7\cdot 5-2\cdot 4\cdot 2-3\cdot 2 \cdot 3=1\neq 0,$$ $$ \Delta_1=\begin{vmatrix} 10&3&5 \\ 3&7&4 \\ 3&2&2 \end{vmatrix}=10\cdot 7\cdot 3+3\cdot 4\cdot 3+3\cdot 2\cdot 5-3\cdot 7\cdot 5-10\cdot 4\cdot 2-3\cdot 2 \cdot 3=3,$$ $$ \Delta_2=\begin{vmatrix} 2&10&5 \\ 3&3&4 \\ 1&3&2 \end{vmatrix}=2\cdot 3\cdot 2+10\cdot 4\cdot 1+3\cdot 3\cdot 5-1\cdot 3\cdot 5-2\cdot 4\cdot 3-10\cdot 2 \cdot 3=-2,$$ $$ \Delta_3=\begin{vmatrix} 2&3&10 \\ 3&7&3 \\ 1&2&3 \end{vmatrix}=2\cdot 7\cdot 3+3\cdot 3\cdot 1+3\cdot 2\cdot 10-1\cdot 7\cdot 10-2\cdot 3\cdot 2-3\cdot 3 \cdot 3=2.$$
        Тогда по формулам Крамера $$ x_1={{\Delta_1}\over{\Delta}}=\frac31=3, \qquad x_2={{\Delta_2}\over{\Delta}}=\frac{-2}1=-2, \qquad x_3={{\Delta_3}\over{\Delta}}=\frac21=2.$$         Следовательно, \( \vec a=3\vec e_1-2 \vec e_2+2 \vec e_3. \)

Скалярное произведение векторов. Угол между векторами

        Скалярным произведением \((\vec a, \vec b)\) вектора \(\vec a\) на вектор \(\vec b \) называется число $$(\vec a, \vec b )=|\vec a|\cdot |\vec b| \cdot cos \gamma, $$ где \(\gamma \) — угол между векторами \(\vec a\) и \(\vec b\).

        Свойства скалярного произведения:$$(\vec a, \vec b)=(\vec b, \vec a); \qquad (\vec a, \vec b+\vec c)=(\vec a, \vec b)+(\vec a, \vec c); \qquad (\lambda \vec a, \vec b)=(\vec a, \lambda \vec b)=\lambda (\vec a, \vec b); $$$$(\vec a, \vec a)=|\vec a|^2; \qquad |(\vec a, \vec b)|=|\vec a|\cdot |\vec b|; \qquad cos \gamma ={{(\vec a, \vec b)}\over {|\vec a|\cdot |\vec b|}}. $$         В прямоугольных декартовых координатах скалярное произведение векторов выражается формулами: $$(\vec i, \vec i)= (\vec j, \vec j)= (\vec k, \vec k)= 1; \qquad (\vec i, \vec j)= (\vec j, \vec k)= (\vec k, \vec i)=0;$$$$(\vec a, \vec b)= (x_1\vec i+x_2\vec j+x_3\vec k, y_1\vec i+y_2\vec j+y_3\vec k )= x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2+x_3\cdot y_3;$$$$ x_1=(\vec a, \vec i); \qquad x_2=(\vec a, \vec j); \qquad x_3=(\vec a, \vec k).$$         Два ненулевых вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда \((\vec a, \vec b)=0\).

        Задача 2. Найти косинус угла между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AС}, \;\) где \(\, A(-2,4,-6),\, B(0,2,4),\, C(-6,8-10)\).

        Решение. Найдем координаты векторов как разности координат конца и координат начала $$ \overrightarrow{AB} =(0-(-2), 2-4, 4-(-6)=(2, -2, 10), \qquad \overrightarrow{AС} =(-6-(-2), 8-4, -10-(-6)=(-4, 4, -4).$$         Найдём длины векторов$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+10^2}=\sqrt{108}, \qquad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-4)^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{48}.$$         Скалярное произведение векторов$$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=2\cdot(-4)+(-2)\cdot 4+10\cdot(-4)=-56.$$         Используя свойства скалярного произведения найдём косинус угла между векторами$$cos \gamma ={{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AС})}\over {|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AС}|}}={{-56}\over{\sqrt{108}\cdot\sqrt{48}}}=-\frac79.$$



        Сборник заданий Арутюнова Ю. С. содержит следующие контрольные или разделы:

        1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
        2. Элементы линейной алгебры.
        3. Введение в математический анализ.
        4. Производная и её приложения.
        5. Приложения дифференциального исчисления.
        6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
        7. Неопределённый и определённый интегралы.
        8. Дифференциальные уравнения.
        9. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ
        10. Ряды.
        11. Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.
        12. Теория вероятностей и математическая статистика.