Решебник Арутюнова

Введите номер задачи из контрольной работы 9 "Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ" и нажмите кнопку "Решить".

Аккуратно перепишите решение задач вместе с условиями в тетрадку и сдайте на проверку вашему преподавателю.
Задачи выбираются в соответствии с вариантом. Контрольная работа 9 содержит следующие задачи:

371-380. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (\(а>0\)).

	371.
	372.
	373.
	374.
	375.
	376.
	377.
	378.
	379.
	380.

381-390. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость \(xОy\).

	381.
	382.
	383.
	384.
	385.
	386.
	387.
	388.
	389.
	390.

391. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль дуги \(L\) окружности \(x=5cost\), \(y=5sint\), обходя её против часовой стрелки от точки \(A(5; 0)\) до точки \(B(0; 5)\). Сделать чертёж.

392. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль ломаной \(L=OAB\), где \(O(0; 0)\), \(A(2; 0)\), \(B(4; 5)\). Сделать чертёж.

393. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль границы \(L\) треугольника \(ABC\), обходя её против хода часовой стрелки, если \(A(1; 0)\), \(B(1; 1)\), \(С(0; 1)\). Сделать чертёж.

394. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль дуги \(L\) параболы \(y=x^2\) от точки \(A(-1; 1)\) до точки \(B(1; 1)\). Сделать чертёж.

395. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль верхней половины \(L\) эллипса \(x=3cost\), \(y=2sint\) (\(0 \le t \le \pi\)). Сделать чертёж.

396. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль ломаной \(L=ABC\), где \(A(1; 2)\), \(B(1; 5)\), \(С(3; 5)\). Сделать чертёж.

397. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль дуги \(L\) кривой \(y=e^{-x}\) от точки \(A(0; 1)\) до точки \(B(-1; e)\). Сделать чертёж.

398. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль отрезка \(L=AB\) прямой от точки \(A(1; 2)\) до точки \(B(2; 4)\). Сделать чертёж.

399. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль дуги параболы \(y=2x^2\) от точки \(O(0; 0)\) до точки \(A(1; 2)\). Сделать чертёж.

400. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль дуги \(L\) кривой \(y=lnx\) от точки \(A(1; 0)\) до точки \(B(e; 1)\). Сделать чертёж.

401-410. Даны векторное поле \(\mathbf F=X\mathbf i+Y\mathbf j+Z\mathbf k\) и плоскость \(Ax+By+Cz+D=0\) (\(р\)), которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду \(V\). Пусть \(\sigma\) — основание пирамиды, принадлежащее плоскости (\(р\)); \(\lambda\) — контур, ограничивающий \(\sigma\); \(\mathbf n\) — нормаль к \(\sigma\), направленная вне пирамиды \(V\). Требуется вычислить.
1) поток векторного поля \(\mathbf F\) через поверхность \(\sigma\) в направлении нормали \(\mathbf n\);
2) циркуляцию векторного поля \(\mathbf F\) по замкнутому контуру \(\lambda\) непосредственно и применив теорему Стокса к контуру \(\lambda\) и ограниченной им поверхности \(\sigma\) с нормалью \(\mathbf n\);
3) поток векторного поля \(\mathbf F\) через полную поверхность пирамиды \(V\) в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

	401.		\(\mathbf F=(x+z)\mathbf i; \qquad x+y+z-2=0\).
	402.		\(\mathbf F=(y-x+z)\mathbf j; \qquad 2x-y+2z-2=0\).
	403.		\(\mathbf F=(x+7z)\mathbf k; \qquad 2x+y+z-4=0\).
	404.		\(\mathbf F=(x+2y-z)\mathbf i; \qquad -x+2y+2z-4=0\).
	405.		\(\mathbf F=(2x+3y-3z)\mathbf j; \qquad 2x-3y+2z-6=0\).
	406.		\(\mathbf F=(2x+4y+3z)\mathbf k; \qquad 3x+2y+3z-6=0\).
	407.		\(\mathbf F=(x-y+z)\mathbf i; \qquad -x+2y+z-4=0\).
	408.		\(\mathbf F=(3x+4y+2z)\mathbf j; \qquad x+y+2z-4=0\).
	409.		\(\mathbf F=(5x+2y+3z)\mathbf k; \qquad x+y+3z-3=0\).
	410.		\(\mathbf F=(x-2y+6z)\mathbf i; \qquad -x+y+2z-4=0\).

411-420. Проверить является ли векторное поле \(\mathbf F=X\mathbf i+Y\mathbf j+Z\mathbf k\) потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля \(\mathbf F\) найти его потенциал.

	411.		\(\mathbf F=(6x+7yz)\mathbf i+(6y+7xz)\mathbf j+(6z+7xy)\mathbf k\).
	412.		\(\mathbf F=(8x-5yz)\mathbf i+(8y-5xz)\mathbf j+(8z-5xy)\mathbf k\).
	413.		\(\mathbf F=(10x-3yz)\mathbf i+(10y-3xz)\mathbf j+(10z-3xy)\mathbf k\).
	414.		\(\mathbf F=(12x+yz)\mathbf i+(12y+xz)\mathbf j+(12+zxy)\mathbf k\).
	415.		\(\mathbf F=(4x-7yz)\mathbf i+(4y-7xz)\mathbf j+(4z-7xy)\mathbf k\).
	416.		\(\mathbf F=(x+2yz)\mathbf i+(y+2xz)\mathbf j+(z+2xy)\mathbf k\).
	417.		\(\mathbf F=(5x+4yz)\mathbf i+(5y+4xz)\mathbf j+(5z+4xy)\mathbf k\).
	418.		\(\mathbf F=(7x-2yz)\mathbf i+(7y-2xz)\mathbf j+(7z-2xy)\mathbf k\).
	419.		\(\mathbf F=(3x-yz)\mathbf i+(3y-xz)\mathbf j+(3z-xy)\mathbf k\).
	420.		\(\mathbf F=(9x+5yz)\mathbf i+(9y+5xz)\mathbf j+(9z+5xy)\mathbf k\).

Сборник заданий Арутюнова Ю. С. содержит следующие контрольные или разделы:

1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
2. Элементы линейной алгебры.
3. Введение в математический анализ.
4. Производная и её приложения.
5. Приложения дифференциального исчисления.
6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
7. Неопределённый и определённый интегралы.
8. Дифференциальные уравнения.
9. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ
10. Ряды.
11. Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.
12. Теория вероятностей и математическая статистика.