ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИЗ АРУТЮНОВА Ю. С.

        Найти частное решение дифференциального уравнения \(y"-4y'+8y=e^{2x}\), удовлетворяющее начальным условиям \(y(0)=2\), \(y'(0)=-1\).

РЕШЕНИЕ

        Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и какого либо частного решения исходного уравнения. То есть$$y(x)=y_1(x)+y_2(x).$$ Здесь \(y(x)\) — общее решение исходного уравнения; \(y_1(x)\) — общее решение соответствующего однородного уравнения; \(y_2(x)\) — некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
        Решим сначала соответствующее однородное уравнение $$y"-4y'+8y=0.$$ Для этого решим сначала характеристическое уравнение $$k^2-4k+8=0.$$ Дискриминант $$D=(-4)^2-4\cdot1\cdot8=16-32=-16.$$         Корни комплексные сопряжённые $$k_1={{4-\sqrt{-16}}\over 2}=2-2i, \qquad k_2={{4+\sqrt{-16}}\over 2}=2+2i.$$         Следовательно, общее решение однородного уравнения $$y_1(x)=e^{2x}(C_1cos2x+C_2sin2x).$$         В правой части исходного уравнения стоит функция \(f(x)=e^{2x}\), которую можно представить в виде \(f(x)=P_0(x)e^{\alpha x}\).
Здесь \(P_0(x)=1\) — многочлен нулевой степени (то есть попросту говоря число), \(\alpha =2\) — не является корнем характеристического уравнения.         Поэтому, частное решение исходного уравнения будем искать в виде $$y_2(x)=Q_0(x)e^{\alpha x}=Ae^{2x}.$$         Найдём первую и вторую производные от этого решения и подставим в исходное уравнение. Первая производная \(y'_2(x)=2Ae^{2x}\), вторая производная \(y''_2(x)=4Ae^{2x}\).
        Подставляя в исходное уравнение, получим $$y''_2(x)-4y'_2(x)+8y_2(x)=4Ae^{2x}-8Ae^{2x}+8Ae^{2x}=e^{2x}.$$        Отсюда \(4Ae^{2x}=e^{2x}\) и \(A=0,25\). Тогда частное решение исходного уравнения будет иметь вид \(y_2(x)=0,25e^{2x}.\)
        Следовательно, общее решение исходного уравнения будет иметь вид $$y(x)=y_1(x)+y_2(x)=e^{2x}(0,25+C_1cos2x+C_2sin2x).$$         Найдём производную от общего решения $$y'(x)=2e^{2x}(0,25+C_1cos2x+C_2sin2x)+e^{2x}(-2C_1cos2x+2C_2sin2x)=$$ $$=2e^{2x}(0,25+(C_1+C_2)cos2x+(C_2-C_1)sin2x).$$         Для определения произвольных постоянных воспользуемся начальными условиями $$y(0)=e^0(0,25+C_1cos0+C_2sin0)=2,$$ $$y'(0)=2e^0(0,25+(C_1+C_2)cos0+(C_2-C_1)sin0)=-1.$$         Отсюда \(C_1=1,75\)  и   \(C_2=-2,5\).         Тогда частное решение, удовлетворяющее начальным условиям имеет вид $$y(x)=e^{2x}(0,25+1,75cos2x-2,5sin2x).$$
        Ответ: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям $$y(x)=e^{2x}(0,25+1,75cos2x-2,5sin2x).$$

Эта задача из сборника задач Арутюнова была незначительно изменена.

        Сборник заданий Арутюнова Ю. С. содержит следующие контрольные или разделы:

        1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
        2. Элементы линейной алгебры.
        3. Введение в математический анализ.
        4. Производная и её приложения.
        5. Приложения дифференциального исчисления.
        6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
        7. Неопределённый и определённый интегралы.
        8. Дифференциальные уравнения.
        9. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ
        10. Ряды.
        11. Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.
        12. Теория вероятностей и математическая статистика.