Алгебра и аналитическая геометрия


Решение задач по алгебре и геометрии предполагает изучение теоретического материала по следующим темам: Скалярные и векторные физические величины. Сила, перемещение, скорость, угловая скорость, момент.

Вектор

как направленный отрезок прямой. Коллинеарные и компланарные векторы. Нулевой вектор. Длина вектора. Равенство векторов. Элементарные операции над векторами: сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства элементарных операций над векторами. Векторное пространство.
Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Базис на прямой,

базис на плоскости и базис в пространстве. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат. Радиус вектор. Координаты точки. Столбец координат. Изоморфизм пространства радиус-векторов и векторов-столбцов их координат. Векторы размерности n. Арифметическое пространство.

Скалярное произведение векторов

Задачи по геометрии на свойства скалярного произведения. Проекция вектора. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
Правая и левая тройки векторов.

Векторное произведение векторов

Свойства векторного произведения. Площадь параллелограмма.

Смешанное произведение векторов

Свойства смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда. Двойное векторное произведение.

Определитель

второго и третьего порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

Уравнение прямой на плоскости и в пространстве.

Уравнение плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
Необходимо решить задачу по алгебре с использованием системы линейных уравнений. Правило Крамера.

Матрицы,

линейное пространство матриц порядка m?n. Квадратные матрицы. Нулевая и единичная матрицы. Перемножение матриц.
Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).

Ранг матрицы.

Невырожденная квадратная матрица. Понятие обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Матричная запись решения системы n уравнений с n неизвестными.
Система m линейных уравнений с n неизвестными.

Метод Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли о существовании решения системы n уравнений с m неизвестными.

Система линейных уравнений.

Пространство решений. Размерность пространства решений. Общее решение однородной системы линейных уравнений.
Неоднородная система линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
Линейный оператор над векторным пространством и его матрица.

Собственные векторы

и собственные значения линейных операторов.
Преобразование поворота декартовой прямоугольной системы координат. Понятие вектора как инвариантного объекта.
Мнимая единица.

Комплексные числа.

Решение квадратных уравнений. Комплексные числа как пространство пар действительных чисел и как двумерное векторное пространство. Изображение комплексных чисел и линейные действия с ними. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи.
Перемножение комплексных чисел. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Деление комплексных чисел, извлечение корней. Действительное подпространство комплексных чисел.
Многочлен. Корень многочлена. Теорема Безу. Наличие действительного корня у многочлена с действительными коэффициентами нечетной степени. Сопряженные комплексные корни и разложение на линейные и квадратичные множители.

Основная теорема алгебры.

Деление многочленов. Дробная рациональная функция. Правильные и неправильные дроби. Выделение целой части из неправильной дроби. Простейшие дроби. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
Эллипс, гипербола, парабола. Определение и геометрические свойства. Канонические и параметрические уравнения этих кривых. Траектории планет.
Поверхность вращения. Цилиндрические и конические поверхности. Канонические уравнения поверхностей второго порядка – сферы, эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов, седловая точка. Конусы и цилиндры.

Полярная система координат на плоскости

.

Связь между координатами точки в полярной и декартовой системе координат.
Цилиндрическая и сферическая система координат в пространстве. Формулы связи между координатами.


Чтобы решить задачи необходимо иметь навыки по следующим темам:
  1. Векторы. Длина вектора. Координаты вектора. Направляющие косинусы. Сложение векторов и умножение вектора на число. Коллинеарные и компланарные векторы. Орт вектора.
  2. Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Разложение вектора по базису.
  3. Линейное пространство. Базис и размерность линейного пространства.
  4. Определители второго и третьего порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей.
  5. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Вычисление площади параллелограмма. Условие коллинеарности. Смешанное произведение векторов. Вычисление объёма параллелепипеда. Условие компланарности векторов.
  6. Уравнение прямой на плоскости.
  7. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
  8. Система линейных уравнений. Правило Крамера.
  9. Матрицы. Действия над матрицами. Умножение матриц. Транспонирование матриц. Ранг матрицы. Способы отыскания ранга матрицы.
  10. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).
  11. Обратная матрица. Матричные уравнения. Решение систем линейных уравнений матричным методом.
  12. Условие совместности системы. Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
  13. Общее решение однородной системы n уравнений с m неизвестными. Общее решение неоднородной системы n уравнений с m неизвестными.
  14. Линейный оператор и его матрица в данном базисе. Собственные векторы линейного оператора.
  15. Комплексные числа. Действия над комплексными числами. Решение квадратных уравнений. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы записи. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Формула Муавра.
  16. Многочлен. Корень многочлена. Теорема Безу. Наличие действительного корня у многочлена с действительными коэффициентами нечетной степени. Сопряженные комплексные корни и разложение на линейные и квадратичные множители. Основная теорема алгебры.


  17. Вопросы к экзамену по математике в III семестре


    1. Числовой ряд.
    2. Сходимость и сумма ряда.
    3. Необходимое условие сходимости ряда.
    4. Гармонический ряд.
    5. Достаточные признаки сходимости рядов.
    6. Признаки сравнения рядов.
    7. Признаки ДАламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.
    8. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.
    9. Абсолютная и условная сходимость.
    10. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
    11. Теорема Лейбница.
    12. Степенные ряды
    13. Функциональный ряд.
    14. Область сходимости.
    15. Равномерная сходимость.
    16. Степенной ряд. Теорема Абеля.
    17. Ряды Тейлора и Маклорена.
    18. Биноминальный ряд.
    19. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.
    20. Применение рядов в приближённых вычислениях.
    21. Комплексные числа и действия над ними.
    22. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
    23. Формула Эйлера.
    24. Алгебраическая форма комплексного числа.
    25. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
    26. Формула Муавра.
    27. Расширенная комплексная плоскость.
    28. Множества точек на плоскость.
    29. Функция комплексного переменного.
    30. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного.
    31. Ряды с комплексными членами.
    32. Представление функций при помощи рядов.
    33. Показательная и логарифмическая функции.
    34. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции.
    35. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
    36. Дифференцируемость функции комплексного переменного.
    37. Производная.
    38. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.
    39. Первообразная и неопределённый интеграл.
    40. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге.
    41. Теорема Коши для односвязной области.
    42. Теорема Коши для многосвязной области.
    43. Интегральная формула Коши.
    44. Ряд Лорана.
    45. Кольцо сходимости.
    46. Свойства ряда Лорана.
    47. Изолированные особые точки.
    48. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.
    49. Вычет функции.
    50. Теорема о вычетах.
    51. Вычисление вычетов.
    52. Применение вычетов к вычислению интегралов.
    53. Логарифмический вычет.
    54. Принцип аргумента.
    55. Теорема Руше.
    56. Основная теорема алгебры.
    57. Преобразование Лапласа и его свойства.
    58. Оригинал и изображение.
    59. Дифференцирование и интегрирование изображения.
    60. Функция Хевисайда.
    61. Теорема смещения.
    62. Теорема запаздывания.
    63. Теорема подобия.
    64. Свёртка функций.
    65. Изображение основных элементарных функций.
    66. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.
    67. Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом 2пи.
    68. Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом 2l.
    69. Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций.
    70. Разложение непериодической функции в ряд Фурье.
    71. Ряд Фурье в комплексной форме.
    72. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций.
    73. Интеграл Фурье.
    74. Преобразования Фурье.
    75. Интеграл Фурье в комплексной форме.
    76. Множества
    77. Основные операции над множествами.
    78. Отношения и функции.
    79. Мощность множества.
    80. Конечные и бесконечные множества.
    81. Бинарные отношения.
    82. Матрица бинарного отношения.
    83. Отношение эквивалентности.
    84. Отношение порядка.
    85. Натуральные числа.
    86. Принцип математической индукции.
    87. Системы счисления.
    88. Элементы теории графов.
    89. Ориентированные и неориентированные графы.
    90. Матрицы, порождаемые графом.
    91. Матрица смежности.
    92. Матрица инцидентности.
    93. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
    94. Некоторые задачи теории графов.
    95. Алгебра логики.
    96. Логика высказываний. Алгебра логики.
    97. Формулы алгебры логики.
    98. Высказывания.
    99. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность.
    100. Функции алгебры логики.
    101. Эквивалентность формул.
    102. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы.
    103. Совершенные нормальные формы.
    104. Минимизация булевых функций.
    105. Карты Карно.
    106. Полные системы булевых функций.






Ссылки                   Контакты