Метод интегрирования дифференцированием

Программа по Высшей математике в техническом ВУЗе.

Высшая математика в задачах.


Математика заочникам: нужна ли она.











Ответы к вопросам по курсу

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

*************************************************************************************************************************

1.Ар-ое m мерное пространство. Осн понятия.

Пусть R вещественная прямая (Стоит заметить, что высшая математика изучает множество вещественных чисел, но не только это множество, а и многие другие).

Опр. 1. Упорядочная система m вещественных чисел (x1,x2,…xm ) наз. m-ка, а множество таких m-к наз. m-мерным арифметическим пространством или m-той декартовой степенью множества m и обозначается Rm , или R*R*….R---m наз. декартовым произведением.

Подражая известной из аналитической геометрии формуле в пространстве   Rm, введём понятие расстояние. Обозначая при этом элементы этого пространства следующим образом M(x1,x2,…xm) то есть последнее будет наз. точкой этого пространства, а M-ку (x1,x2,…xm)- координатой этой точки.

Пусть M1=M1(x1,x2,…xm), M2=M2(y1,y2,…ym), M3=M3(z1,z2,…zm).

Опр. 2. Расстоянием между точками M1и M2 наз. выражение ρ(M1, M2) =√∑                                   1.1

В пространстве выполняется неравенство треугольников, то есть: ρ(M1, M2)« ρ(M1, M3)+ ρ(M2, M3).

Пусть (α1, α2,…. α m) набор некоторых вещественных чисел одновременно неравных 0, пусть также (x1,x2,…xm) некоторый набор вещественных чисел.

Опр. 3. Множество точек (x1,x2,…xm) принад. Rm удовлетворяющих уравнениям x1-x2/ α1= x2-x2/ α2= xm-xm/ αm    1.2   наз. прямой в пространстве Rm, проходящей через точку M0=M0(x1,x2,…xm) и имеющий направляющий вектор  (α1, α2,…. α m).

Если обозначить в  1.2 отношение через Т, то в виду того, что координаты Xi ,I=I,m принимают любые вещественные значения, мы приходим к системе уравнений:x1= x1+ α1t; x2= x2+ α2t;--------; xm= xm+ αmt   1.3  -∞<t< M0(x1,x2,…xm) +∞  является параметрическим уравнением прямой Rm .

Опр. 4. Множество точек M (x1,x2,…xm) координаты которых независимо одно от другой удовлетворяют неравенствам: а1<х1<b1, а2<х2<b2, …………, аm<хm1<bm   1.4   наз. m мерным прямоугольным параллепипедом и обозначается так: а1b1;а2b2;……; аmbm  1.5  Где а1а2,….. аm ; b1b2,….. bm  некоторые фиксированные вещественные числа.

Если в 1.4 исключить равенство то мы получим m мерное тело называемым параллепипедом.

Опр. 5. Разности b1-а1, b2-а2, …..., bm-аm наз. измерениями как открытого так и замкнутого параллепипеда, а точка (а1+b1/2, а2+b2/2,……, аm+bm/2)-наз. их центром.

 Опр. 6. Множество точек M (x1,x2,…xm) удовлетворяющих неравенству  (x1-x2)2+(x2-x2)2+…..+(xm-xm)2≤r2   1.6   наз. М-ой сферой с центром  (x1,x2,…xm) и радиусом r>0.

При этом 1.6 наз. замкнутой сферой, а если в 1.6 строгое неравенство, то это множество наз. открытой сферой.

Опр. 7. Окрестностью точки M0(x1,x2,…xm) наз. любой открытый параллепипед (х1-φ1, х1+φ1; х2-φ2, х2+φ2;…..; хm-φm, хm+φm ) а также открытая любая сфера с центром в этой точке.

 

Одно из фундаментальнейших понятий высшей математики является понятие области.

2. Открытая и замкнутая область в Rm .

Опр. 1. Пусть D некоторое подмножество Rm . Точка M (x1,x2,…xm) принад.D наз внутренний точкой множества D, если существует некоторая окрестность этой точки, полностью принад. этому множеству.

У открытой пара и сферы каждая точка является внутренней.

Опр. 2. Множество, целиком состоящее из Rm наз открытой областью или открытым множеством. Таким образом окры. пар. и сфера служит примером откр. области Rm.

Опр3. Точка M0 наз точкой сгущения множества D, если в каждой ее окрестности содержится хотя бы точка множ D отличная от 0.

Опр4. Точка сгущения открытой области  D, не пренадлежащяя  ей наз пограничной точкой области  D, а множество E всех пограничных точек наз границей области D.

Опр5. Открытая область  D вместе с ее границей Е наз замкнутой областью и обозначается символом D=DﺏЕ, таким образом замк пар и зам сфера дают примеры замкнутых областей.

 

3.Функции многих переменных. Поверхности и линии уровня. Предел функции в точке.

Опр1. Вещественная переменная y, наз функцией многих переменных (x1,x2,…xm) в области D, если каждому набору (x1,x2,…xm) их значений из D по некоторому правилу, ставится в соответствии одно определённое значение у.

Вещественная функция у=f(x1,x2,…xm) от М вещественных переменных от (x1,x2,…xm), определим следующим образом.

Опр2. Однозначное отображение f:А→В множества А на множество В, наз действительной функцией М-действительных переменных. Множество А наз областью переменных функций и обозначается А=D(f), областью В наз областью значений функций f и обозначается В=w(f).

Опр3. Множество точек трёхмерного пространства R3((P=P(x,y,z) таких что (x,y)€ D(f), z=f(x,y,z)) наз графиком функции z=f(x,y).

Опр 4. Пусть С € области значений w(f). Множество точек Р=Р(x1,x2,…xm) € Rm таких что f(P)= f(x1,x2,…xm)=C    3.1 наз поверхностью уровня f. Таким образом поверхность уровня есть прообраз значения С=f(P) то есть f-1(C).

В случаи М=2 поверхность уровня 3.1, то есть  f-1(C) наз. линией уровня.

Пусть дано некоторое множество D из Rm, пусть D открытая область D€ Rm, пусть Р0= Р0(а1,а2,…аm) точка сгущения для D. Тогда из D можно извлечь сходящеюся к точке Р0 последовательность точек отличных от Р0.

Опр5. Говорят что функция f(P)= f(x1,x2,…xm) имеет предел число А при стремлении Р<Р0, если для любой последовательности (Р1,Р2,…Рm) 3.2  сходящееся в точке Р0 соответствующая последовательность значения функций  f(P1), f(P2),…., f(Pm)… 3.3  является сходящееся числовой последовательности к пределу А. Обозначают этот факт так: lim f(x1,x2,…xm)=А.

Определение предела высшая математика даёт на языке эпсилон-дельта.

Опр6. Пусть функция f определена в некоторой окрестности Р0= Р0(а1,а2,…аm), за иключением самой Р0. Если для любого ε>0 существует γ>0 такое что для любых Р€U(P0,γ) имеет место 1 f(P)-А1<ε, где 

U(P0,γ)-дельта окрестность точки  P0, то говорят что функция f имеет в точке Р0 предел А.

 

Решение задач по высшей математике не обходится без непрерывных функций.

4. Непрерывные функции многих переменных и их свойства полное приращений функций.

Опр1. Функция f наз непрерывна в точке P0, где Р0€D(f), если для ε>0 существует φ>0 такое что Р€U(P0,γ), такое что  f(P)- f(P 0)<ε   т.е. если f непрерывна в точке P0, то для любого ε окрестность в точке U(F(P0, ε) существует L окрестность в  Р0, такая что ее образ содержится в ε окрестности в φ окрестности в Р0.

Т 1. Функция f определена в окрестности точки Р0 непрерывна в Р0, тогда и только тогда когда f имеет в Р0 предел равный значению функций в этой точке, то есть когда lim f(P)= f(P0)

                                                                                                                             P→P0      

Так как    lim P(P→P0)  = P0 то в последнем равенстве заменяя Р0 пределом получим.               

     lim f(P)(P→P0)= f lim Р(P→P0) последнее означает что для непрерывной Р0 точке знаки lim и самой функции можно менять местами.

Определения и теоремы для непрерывных функций одного переменного можно перенести и для функции многих переменных.

Опр 2. Функция f наз непрерывной на множестве Е из Rm, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Опр3. Функция f наз  равномерно непрерывной на множестве Е, если для любого ε>0 существует φ>0 такое что f(P)- f(P 0)<φ влечет  f(P1)- f(P 2)<ε для любых Р1 Р2€ Е.

Т 2. Имеют место следующие утверждения:

1.Если f и g непрерывны в точке Р0,то f±g, f*g,f/g,(g≠0), непрерывны в точке Р0.

2.Если f непрерывно в Р0 и f(P0)>0 (f(P0)<0) то существует дельта окрестность  U(P0,γ), такая что для любого U(P0,γ) из этой окрестности имеет место следующие утверждения f(P0)>0 (f(P0)<0).

3.Если f непрерывна на ограниченном замкнутом множестве Е,то: а) f ограниченное на Е (аналог 1-ой теоремы Вейерштрасса) б)f достигает мах и мин значения на Е в)f равномерно непрерывно на Е

4. Если f непрерывно на множестве Е и f(P1)= а, f(P1)= в причем а<в, то для любого С€(а,в) существует Р€Е, такая что f(Р)=С (аналог теоремы Больцано-Коши).

Опр4. Получим приращение в точке Р0 наз функция ▲у= f(P)- f(P 0)

Если Р0= Р0(а1,а2,…аm), Р=Р(x1,x2,…xm) то обозначив через ▲Xi= Xi-аi (I=I,m) запишем ▲у=f(a1+▲X1, a2+▲X2,……, am+▲Xm)-f(а1,а2,…аm) полное преращение.

Опр5. Функция у=f(P) наз басконечно малой функцией в точке Р0, если предел   lim f(P)(P→P0)= 0

Т3. Функция у= f(P) непрерывна в точке P0, тогда и только тогда, когда ее полное приращение в этой точке есть бесконечно малая функция при P→P0. То есть lim ▲у (P→P0)= 0

 

5. Частные производные. Понятие деференцируемости функций.

Пусть в некоторой открытой области D определена функция U=f(x,y,z) и пусть есть точка Р0=Р0 (x0,y0,z0).

Если переменным y и z  принимаем постоянные значения y=y0, z=z0, а переменную х будет изменять, то функция U=(x0,y0,z0) будет является функцией от одной переменной х в окрестности х.

Эта задача по высшей математике предполагает, что мы придадим значению х0 приращение ▲х. Тогда мы получим частное приращение функции U то есть: ▲хU= f(x0+▲х,y0,z0)-f(x0,y0,z0)-наз частным приращением ОХ.

Опр1. Предел lim  ▲хU/ ▲х (▲х→0) если существует наз частной производной функции  U=(x0,y0,z0) по переменной Х в точке (x0,y0,z0). И обозначается U′x.

  Понятие деференцируемости функций. Пусть функция U=f(Р), определена в некоторой окрестности фиксированной точки  Р(x,y,z).

Опр1. Функция  U=f(Р) наз деференцируемой в точке Р, если ее полное приращение ▲U=f(x1+▲X1, y2+▲y2,z+▲z)-f(x,y,z) в точке Р может быть представлена в виде ▲U=А▲X+ В▲У+ С▲Z+α(▲X, ▲Y,▲Z) ▲х+ β(▲X, ▲Y,▲Z) ▲y+γ (▲X, ▲Y,▲Z)-    2.1  ▲z-где А,В,С- некоторые независящие от▲X, ▲Y,▲Z-постоянные α, β, γ-бесконечно малые функции при  x,y,z→0.

Т.1. Если фун.U=f(Р), деф в точке Р то она имеет в этой точке частные производные f′x, f′y, f′z, причем  f′x=а, f′y=в, f′z=с.

Доказательство: По условию теор имеет место равенство1 пологая в этом равенстве ▲Y=▲Z=0 получим равенство: ▲U= А▲X+ α(▲X, 0,0) ▲х. Разобьем обе части этого равенства на ▲х, и перейдем к пределу в левой части и правой частях  х →0. Получим lim U\ ▲х(▲х→0)=A+α(▲X, 0,0)=A(▲х→0). Однако левая часть есть частная производная по f′x=А. Аналогично док и f′y, f′z.

Т.2. Если функция  U=f(Р) деференцируема в точке Р, то она непрерывна в этой точке.

Док: В силу условия теоремы имеет место равенство 1. Устремляя ▲X, ▲Y,▲Z к 0 из этого равенства получим ΔU→0 при  x,y,z→0 в силу теор1 предшедшей главы, функция U=f(Р) является непрерывной в точке Р.

Замечание: Данные 2-е теор являются необходимыми условиями диференциала функции.

 

 

6. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции. Дифференциал.

Т 2.3. Если  U=f(Р) имеет частные производные в некоторой дельта окрестности Р, и если эти производные непрерывны в самой точки Р, то функция  U деференцируема в точке Р, то есть полное ее приращение Р, представлено в виде 2.1.

Из теор 2.2 и 2.3 следует теор 2.4.

Т 2.4. Если  U=f(Р) имеет частные производные в некоторой дельта окрестности U(Р,δ) и эти производные непрерывны в самой точки Р, то функция непрерывна в точке Р.

Опр. 2. Дифференциалом  дифференцируемости в точке Р функции  U=f(Р) наз линейная относитель приращений ▲X, ▲Y,▲Z- часть полного приращений  ΔU функции в точке Р. И обозначается du. То есть    du= А▲X+ В▲У+ С▲Z       2.2

Пусть U=x, тогда ▲Y=▲Z=0. Частная производная U΄x=x΄=1. По теор U΄x=а следовательно А=1. С учетом всего сказанного из равенства 2.2 получим: du≡dx=1▲X, следовательно  ▲X= dx,   ▲у= dу, ▲z= dz. С утверждением и Теор. 2.1 полученным равенством 2.2 получим следующие: du=du\dx*dx+ du\dy*dy+ du\dz*dz.          2.3  

Из равенства 2.2 и 2.1 следует что разность ΔU-du есть бесконечно малая функция при x,y,z→0 следует значение диффиренциала функции U в точке Р может быть использовано значения полного приращения ΔU функции  U=f(Р) в точке Р.

 

 

7. Касательная плоскость и нормаль поверхности. Геометрический смысл диффиринциала. Определение производной по направлению.

Пусть в области D из R2 определина функция  z=f(x,y).

Опр1. Плоскость проходящая через точку N0 поверхности заданным уравнением z= f(x,y) наз касательной к плоскости к поверхности этой точки N0, если угол между прямой проходящей через точку N0 и любую точку N поверхностей и проекцией этой прямой на плоскость стремится к 0, при N→ N0.

Пусть в точке P0=P(x0,y0) функция z=f(x,y) деференцируема. Тогда в силу теор 2.1 существуют частные производные f′x= f′x(x0,y0),  f′y= f′y(x0,y0).

Можно показать что касательная плоскость поверхности в точке N0= N0(X0,Y0,Z0), где Z0=f(X0,Y0) касательная плоскость поверхности определяется уравнением: f′x(x0,y0)*(х-х0)+ f′y(x0,y0)*(у-у0)-(z-z0)=0    3.1

Сравнивая данные уравнение с общим уравнением плоскости мы приходим к выводу, что вектор n={ f′x, f′y,-1}-есть нормальный вектор плоскости (касательной)3.1. Он называется также нормалью поверхности z=f(x,y) в точке  N0.

Пусть х-х0=∆x, y-y0=∆y, z-z0=∆z тогда из 3.1 получим равенство  ∆z=А∆x+В∆y с одной стороны ∆z есть приращение аппликаты к плоскости в точке  N0, с другой стороны последнее равенство для ∆z это диффиринциал функции двух переменных в некоторой точке  P0 геометрически представляет аппликаты касательной к плоскости в точке  P0.

 

8. Вычисление производной по направлению. Градиент.

Пусть в некоторой окрестности точки Р определена функция z=f(x,y), а также заданы единичный вектор n={cosά, cosβ). Пусть L проходит через точку Р, так что вектор n лежит на этой прямой.

Придадим точки Р по х и у соответсвенно приращение ▲X и▲Y получим некоторую точку Р1(х+х0, у+у0) при этом Р1€L. Пусть ▲n=\ Р1Р/ или  ▲n=-\ Р1Р/

Опр1. lim ▲z/▲n(▲n→0), где  ▲z=f(P1)-f(P) если существует наз производной функцией z=f(x,y) в точке Р(х,у) по направлению вектора  n={cosά, cosβ) и обозначается символом ∂z/∂n.

Т 4.1. Если функция  z=f(x,y) дифференцируема в точке Р(х,у) и ели единичный вектор n={cosά,cosβ) то производная функции z по направлению вектора n вычисляется по формуле: ∂z/∂n=∂z/∂х cosα+∂z/∂y cosβ

Док: Так как z деференцируема  Р(х,у), то ее полное превращение представляется в виде: ▲z=Z’x∆X+ Z’y∆y+α(∆x+∆y) ∆x+β(∆x+∆y) ∆y    4.2 Где  α(∆x+∆y), β(∆x+∆y) являются бесконечно малой функцией   ∆X→0, ∆у→0. Разделим обе части 4.2 на n:  ▲z\∆n=Z’x∆X\∆n+ Z’y∆y\∆n+α∆x\∆n +β∆x\∆n   4.3 Видно что ∆X=∆n*cos α, ∆y=∆n*cos β подставляя эти выражения в 4.3 и перейдя к пределу по ∆n→0, получим следующее предельное равенство: lim ▲z/▲n(▲n→0)= Z’x* cos α+ Z’у* cos β но левая часть этого равенства есть ∂z/∂n, тоесть получается 4.1. 

Зам: Из формулы 4.1 в частности можно получить следующие равенства:

1.Пусть   ά=0, β=П\2, тогда n={1,0}=i ; ∂z/∂n=∂z/∂х cos0+∂z/∂y cos П\2 тоесть частная производная z'x есть производная функции по направлению вектора.

2. Пусть ά= П\2, β=0 тогда  n={1,0}=i  тогда ∂z/∂n=∂z/∂i= z'y

Опр2. Вектор { z'x, z'y}имеющий своими координатами частными производными функции z в точке Р(х,у) наз градиентом этой функции в точке Р(х,у) и обозначается символом grad z= { z'x, z'y}

Аналогично определяется производная по направлению вектора n={cosά, cosβ, cosγ} где ά=(Ох^,n), β=(Оy^,n), γ=(Оz^,n) функции U=f(x,y,z) в точке Р(x,y,z) и доказывается что эта производная ∂u/∂n вычитается по формуле ∂u/∂n=∂u/∂х cosα+∂u/∂y cosβ+∂u/∂y cos γ   4.4

Опр3. Вектор {∂u/∂х; ∂u/∂y ;∂u/∂y} наз градиентом функции U=f(x,y,z) в точке Р(x,y,z) и обозначается grad u так образуется V= grad u.

Формулы 4.1 и 4.2 можно представить в виде скалярного произведения векторов:

1.      ∂z/∂n=( grad z,n) где z=f(x,y), n={cosά, cosβ}

2.   ∂u/∂n=( grad u,n) где u=f(x,y,z), а n={cosά, cosβ, cosγ}

 

 

9.Производные сложной функции.

Пусть z=f(x,y), х=х(t),y=y(t)-функции независимой переменной t. Тогда функция z=f((x(t),y(t))- явл сложной функцией независимой t.

Т-1.Если функции  х=х(t),y=y(t) являются деференцируемыми в точке Р, а функция z=f(x) является деференцируемой (х(t), y(t)), то сложная функция z= f((x(t),y(t)) является деференцируема в точке t. И при этом имеет место равенство z=z′x*x′t+ z′y*x′t –1

Док: Придадим t приращение Δt ,тогда переменные x,y как функции от t получат приращение Δх Δy, а функция  z=f(x,y) получат приращение Δz=f(x+Δx, y+Δy)-f(x,y) т.к. функция z=f(x,y) деференцируема в точке Р0(x,y) то ее полное приращение в этой точке может написаться в виде: Δz= z′x*Δx+ z′y*Δy+α(Δx, Δy)* Δx+β(Δx, Δy)* Δy –2 где α и  β-б.м.ф. при Δх→0, Δy→0.

Многие задачи высшей математики используют диффернцирование и производные сложной функции.

Так как  х=х(t),y=y(t)- дифференцируемы в точке t то они непрерывны в этой точке t то есть Δt→0, то соответствующее  превращение Δх→0, Δy→0 при Δt→0, α→0, β→0.

Разделив обе части 2 на Δt с учетом последнего Δt→0, α→0, β→0 получим равенство lim(Δt→0) Δz/ Δt= z′xlim(Δt→0) Δx/ Δt+ z′ylim(Δt→0) Δy/ Δt.Это есть 1.

Если z=f(x,y), y=δ(x) то принимая за параметр t переменную х в силу 1 получим равенство dz/dx= dz/dx* dx/dx+ dz/dy* dy/dx  черта dz/dx= dz/dx + dz/dy* dy/dx

Если z=f(x,y) а сами переменные х=х(u,ν), у=у(u,ν) где u и ν-независимые переменные, то фиксируя одну из этих переменных с помощью формулы 1 можно вычислить частную производную функции 2 по другой переменной. Имеем dz/du=dzdx*dx/du+dz/du обединение dz/dν=dz/dx* dx/dν+ dz/dy* dy/dν -3

 

 

10. Инвариатность формы полного дифференциала.

Когда рассматривались ф-и одной переменной y=f(x), то была установлена инвариантность  (неизменность), формы дифференциалы ф-и y= f(x) , т.е. было показано, что дифференциал dy=y’xdx в данной форме будет иметь место всегда, независимо от того, будет ли x –независ. переменной или завис. от другой переменной.

Таким же св-вом обладают дифференциалы многих переменных. Покажем это на примере ф-и двух переменных.

Пусть z=f(x.y)  и переменная x и y –  независимые и в p(x,y) данная ф-я дифф-ма, тогда в данной т. сущ. частная производная и полный диф-ал этой ф-и равняется dz=z’xdx+z’ydy—1-

Пусть x и y – завис. переменные, x=x(u,v), y=y(u,v) где u и v – независ. переменные, сущ. x’u, x’v, y’u, y’v. По отношению к этой переменной полный диф-ал ф-и z=f(x,y) запишется так: dz=z’udu+z’vdv—2-

Однако в силу формул 5.3 частные производные z’u и z’v можно выразить в виде соотв-но 1-го и 2-го рав-в 5.3. Т.е. имеем след-е: 6.2 равно (z’xx’u+z’uy’u)du+ (z’xx’v+z’yy’v)dv=z’x(x’udu+x’vdv)+z’y(y’udu+y’vdv)= z’xdx+z’ydy—3-

Мы вновь пришли к форме 1 диф-ла ф-и z, однако смысл символов в 3 другой, чем в 1.

 

 

11.Неявные функции их производные.

Пункт 1.

Неявная функция от одной переменной.

Пусть 2-е переменные величины х и у связаны между собой уравнением  F(x,y)=0-1,где z=f(x,y)-фун 2-х переменных х и у определенные в некотором множ ДсR2 .

Опр 1. Если для каждого значения х из некоторого промежутка х сущ одно или несколько значений у которые совместно с х удовлетворяют 1, то говорят что по средствам Ур. 1 на промежутке Х задается неявная функция  y=f(x) x принадлежит Х.

Зам1: из данного опр следует что переменная у есть фун переменной х. Х2/а2+ у2/в2=1-2 , у=в/а*√а2-х2-3 х=(-а,а) тоесть Х2/а2+ 1/в2(+-в/а*√а2-х2)2=1

Опр2. Если для всех точек х,у удовлетворяющих ур 1 переменную у можно аналитически выразить через переменную х, тоесть найти выражение f(x), такое что точка (х, f(x)) будет при любом х из Х, удов ур 1 , то фун y=f(x) наз явной функцией и так фун 3 является явной двухзначной фун от х. Следовательно теор устанавливает условие относящейся к фун z=f(x,y) определенной в области Д из R2 которую обеспечивает так сущ однозначной неявной фун y=f(x), опр ур 1 так и непрерывность и дифирен этой фун  y=f(x).

Т 1. Пусть фун z=f(x,y):

1. Определена и непрерывна вместе со своими частными произ f′x, F′y в некоторой окрестности U(P0,δ) в точке P0 (х0, у0).

2. F (х0, у0)=0 однако производная по у отклоняется от 0.  F’у (х0, у0)не=0 тогда: а)В указанной окрестности U(P0,δ) в точке P0 уравнение 1 определяет переменною у, как однозначную функцию от х:у= f(x) такую что f(x0)=y0;  б)В промежутке (x0- δ, x0+ δ) фун f(x)- непрерывна.

Зам 2: При док последнего пункта следует формула  f′(х)=- F′х(х,у)/ F′у(х,у) –4

Зам 3: Геометрической трактовкой фун 1 явл ур 1 F(х,у)=0 задаем некоторую кривую на плоскости R2  если в некоторой точке  P(х,у) этой кривой производная F′yне=0, то в некоторой окрестности U(P0,δ), этой точки Р, данная кривая может быть выражена явным уравнением у=f(x,y). Если в рассматриваемой точке F′y=0 но F′хне=0, или F′yне=0 но F′хне=0, то кривая может быть определена другой явной функции х=g(y).

В единственном случии когда точка P(х,у) явл особой точкой, тоесть если одновременно в этой точке F′y=0 и f′x=0 то 1 ненаходит преложенной и в частности в особой точке фор 4 не имеет место.

Пункт 2:

Неявная функция от нескольких переменных.

Высшая математика изучает не только функции одной переменной но и функции нескольких переменных.

Пусть ур с тремя переменными F(x,y,z).-5  При известных условиях этим уравнением переменная z определяется как неявная фун от переменной х,у,z= f(x,y) которая будет многозначной, если подставить в ур 5 вместо z ее выражение f(x,y), то будем иметь F(x,y,f(x,y))=0 уже тождество относительно х,у.

В данном случии имеет место теор, аналогичная т.1 и при этом для неявных фун z=f(x,y) определяемых ур 5 имеют место равенство аналогичное равенству 4 то есть z’x=- F′х/ F′z, z’у=- F′у/ F′z, F′zне=0 –6

 

 

12.Частные производные и деференциалы высших порядков. Условие равенства смешенных производных.

Опр1. Если существуют част производные фун z= f(x,y) в точке P(х,у) и если по переменным х,у сущ част производные фун f′x,и F′y в точке Р, то они наз част произ второго порядка функ z= f(x,y) в этой точке Р. И обозначаются символом d2z/dx2, d2z/dу2, d2z/dxdy, d2z/dydx.

Пусть фун u= f(х,у,z)- фун от трех переменных здесь также аналогично фун 2-х переменных вводится понятие производных второго порядка и используется также обозначение d3u/dx2dy.

Опр 2. Частная производная высшего порядка 2-го,3-го,взятая по различным переменным наз смешенной  частной производной. Напр: Для фун u= f(х,у,z)-записанная производная явл смешанной ее можно записать так  d3u/dxdxdy для М переменных.

Т 1. Пусть фун u=f(x1,x2…xm) определяется в открытой области D€Rm имеет в D всевозможные частные производные до (n-1)-порядка, и непрерывные смешенные производные n порядка. Тогда значение любой n смешенной производной не зависит от того порядка в котором производится последовательное деференцирование.

Пусть для функций u= f(х,у,z) выполняется условие т 1, тогда в частности существуют смешенные частные производные d3u/dxdydx и d3u/dydxdx и они равны друг другу. Поэтому они записываются так d3u/dx2dy.

 

 

13. Дифференциалы высших порядков. Символическая запись n-го дифференциала.

Пусть u= f(х,у,z) определена в открытой области D€R3 и имеет в этой области непрерывные частные производные U′x, U′у, U′z . Тогда сущ. полный диф. этой функцияdu= U′xdx+ U′ydy+ U′zdz-1-это сам является фун от х,у,z и если он непрерывен как функция х,у,z и имеет непрерывные частные производные ,по этим переменным тоесть (du)′x, (du)′y, (du)′z то тогда сущ диф этого диф тоесть диф функций du, который вычисляется по формуле d(du)′xdx+ (du)′ydy+(du)′zdz-2 он обозначается символом d2u и наз диференциалои 2-го порядка или вторым диф фун u.

Если u= f(х,у,z) если и удов т 1 то смешанные част произв. не зависят от порядка дифференцирования. Имеем формулу d2u=U″x2dx2+ U″y2dy2+ U″z2dz2+2u″xydxdy+2u″xzdxdz+2u″yzdydz –3 можно кратко записать d2u=(d/dx+ d/dy+ d/dz)2f(x,y,z)-4

Если для функции U= f(х,у,z) сущ. непрерывные част производные всех порядков до n-порядка включительно то этим обеспечивается сущ. n порядка, Который можно вычислить по формуле 4 следующий символической формулой d2u=(d/dx+ d/dy+ d/dz)n f(x,y,z)-5

 

 

14.Формула Тейлора для 2-х аргументов.

Как известно фор f(x)=f(x0)+f′( x0) /1! *(x- x0)+ f″( x0) /2! *(x- x0)2+…..+ f′(n) (x0) /n! *(x- x0)n+ f′(n+1) (ζ) /n! *(x- x0)n+1 –1 наз фор Тейлора с дополнительным членом фор Лагранжа.

Если в 1 перенести f(x) в лево и положить х-х0=∆х=dx, то из за того что f′(x0)dx=df(x0), f″(x0)dx2=d2 f(x0)…. fn ( x0)dxn=d2 f(x0)

fn+1 (ζ)dxn+1=dn+1 f(ζ)

Разложение 1 можно представить в виде получим след фор ∆f(x0)=f(x)- ∆f(x0)= df(x0)+1\2! d2 f(x0)+….1/n!* dnf(x0)+1/(n+1)!*dn+1f(ζ)-2 ζ=x0+θ∆x, 0< θ<1

Как известно 2 получена в предложении (n+1)раз в деференцируемости фун f(x) в некоторой окрестности в точке x0 и она наз диф-ой формулой фор Тейлора функции f(x).

Запишем для фун 2-х переменных z= f(x,у).

Т1 (т Тейлора). Пусть фун 2-х переменных z= f(x,у) определена в окрестности u(Р0δ), Р0(x0,у0) имеет в этой окрестности непрерывные производные всех порядков до (n+1) включительно. Тогда в окрестности этой точки сущ некоторая точка ζ=Р(х0+θ∆х, у0+θ∆у)прин u(Р0δ) такая что имеет место след равенство, где 0< θ<1- правильная дробь ∆f(x0,у0)= f(x0+∆х, y0+∆y)- f(x0,у0)= df(x0,y0)+1/2!*d2f(x0,у0)+….  1/n!*dnf(x0,у0)+ 1/(n+1)!*dn+1(ζ) где ζ=( х0+θ∆х, у0+θ∆у), 0< θ<1-3

Опр 1.  Форм 3 наз деференц форм форм Теэлора для функции f(x,y).

 

 

15.Экстремумы ф-и нескольких переменных.Общяя теорема Ферма.

Рассмотрим решение задачи высшей математики на отыскание экстремума функции, которая является одной из основных задач курса "ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА"

Пусть ф-я u=f(x1, x2, … ,xm) (10.1) определены в некот. открытой области DÌRm и точке Р0(а1,а2, … , аm) явл. внутренней точкой области  D.

Опр. 10.1. Говорят, что ф-я  10.1. в точке Р0 имеет максимум  (минимум) если её можно окружить такой окрестностью u(P0,d), чтобы для всех точек P(x1, x2, … , xm) этой окрестности выполнялось неравенство: f(P)£f(P0) (f(P)³f(P0)), если для любого Р из этой окр-ти u(P0,d) такое, что Р¹Р0 последние неравенства явл. строгими, то говорят, что ф-я f имеет собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) наз. несобственным.

Т1. (Обобщённая теорема ферма) Если в некот. точке P0(a1,a2, … ,am) ф-я1 имеет экстремум и конечные частные производные 1-го порядка f’x1,f’x2,…f’xm, то в этой точке Р0 все они равны 0.

Док: Положим x2=a2, x3=a3, … , xm=am сохраняя при этом переменную х1 и обозначая эту переменную х1ºх, тогда ф-я-1 становится ф-й u=f(x, a2,a3, … ,am)- (2) одной переменной х. Т.к. точка по условию явл. экстремальной, пусть для определённости f(P0)-max в рассматриваемой окрестности.

u(a1,d) в точке (a1-d,a1+d) необходимо должно выполняться неравенство f(x,a2,a3,…,am)£f(a1,a2,…,am) так, что ф-я 10.2 в точке х=а будет иметь максимум, а отсюда по известной теореме Ферма, f’x1(a1,a2,…,am)º f’x(a1,a2,…,am)=0, таким же образом показывается, что остальные частные производные (f’x2,f’x3,…,f’xm)=0.

 

 

16.Теорема об экстремуме функции.

Опр.2. Точка, в которой все частные производные первого порядка равны 0 наз. точкой возможного  экстремума (стационарной точкой).

Как и в случае ф-и одной переменной в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума.

Достаточные условия для существования или осутствий условий :

Т 2: Пусть фун  z=f(x,y) определена непрерывно и имеет непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядков в некоторой окрестности  u(P0δ), где P0 является стационарной точкой для данной фун тоесть выполняются равенство f′x( x0,y0)=0,  f′y( x0,y0)=0 –3

Пусть далее а11= f″x( x0,y0), а12= f″ху( x0,y0), а22= f″у( x0,y0), тогда утверждения:(вывод)

1) Если а11*а22-а212>0, то в точке Р0( x0,y0) функ  z=f(x,y) имеет экстремум именно max при а11<0, min при а11>0. 2) Если а11*а22-а212<0 то в точках Р0( x0,y0) экст нет. (Бес док.) Тоесть при а11>0 в Р0 фун z=f(x,y) имеет min, а при а11<0 в Р0 фун z=f(x,y) имеет max.

Зам: Если а11*а22-а212=0 то вопрос об экстре фун в Р0 остается открытым.

 

 

18.Условные экстремумы и нахождение точек подозрительных на условный экстремум метод неопределенных множителей Лагранжа.

Пусть в некоторой области определена функция U=f(x,y,z,t), F(x,y,z,t), G(x,y,z,t). Пусть К прин D,

множество всех решений сист ур F(x,y,z,t)=0 и G(x,y,z,t)=0 –1.

Опр 1. Точка Р0(x0,y0,z0,t0) € К наз условного экстремума функция U=f(x,y,z,t) при условии 1 если для любых точек Р(x,y,z,t) € К выполняется одно из след неравенств либо f(p) не превосходящий, либо f(p)≥ f(p0) тогда условного или относительно условного перегиба.

Пусть f имеет  относительный экстремум в т. p0, предположим, что в некоторой окрестности этой точки ф-ции f, F, G- непрерывны и имееют непрерывные частные производные 1-ого порядка по всем переменным при условии—1-

Пусть далее определитель у=[F’z    F’t]↓[ G’z   G’t] отличен от 0 в т. p0 Можно доказать, что данное условие влечёт существование неявных ф-ций z= f(x), t=ψ(х, у) таких что если точка(a, b, c, d) € K, то  с=φ(a, b), d=ψ (a, b) Таким образом если в точке p0 ф-ции U=f(x,y,z,t) определитель у не равное 0, то точка М0(x0,y0) – явл-ся точкой абсолютного экстремума ф-ции f(x,y, φ(x,y), ψ (x,y)) (2) обозначим это через q(x,y) след-но в точке М0 частные производные по q(x,y)=0   yx’(x0,y0)=0 ,  qy’(x0,y0)=0  след, что дифференциал этой точки тоже=0, т.е. dq=df(x0,y0, φ(x0,y0), ψ (x0,y0))=0, т.к. dq=q’xdx+q’ydy (3)

dq=dt= f’xdx+f’ydy+f’zdz+f’tdt (4)   dz=z’xdx+z’ydy    dt=tx’dx+ty’dy

dq=(f’x+f’z z’x+ fx’ t’x)dx+ (f’y+f’z z’x+ f’y t’y)dy (5) Cравнивая 5 и 3  мы приходим к таким равенствам в p0

f’x+f’z z’x+ f’t t’x=q’x=0 и f’y+f’z z’x+ f’y t’y= q’y=0 (6)

Выражение (4)  в точке p0=0, однако это вовсе не означает что все коэфф. при дифференциалах так же будут равны в p0. Это также имеет место и  в след. 2-ух равенства которые получаются из урав.(1)

F’xdx+F’ydy+F’zdz+F’tdt=o и     G’x dx+G’ydy+G’zdz+G’tdt=o   (7) Умножим (7) на некоторое число λ , а второе урав.на М и почленно, сложим с равенством f’xdx+f’ydy+f’zdz+ F’tdt=0 (8)  Получим следурав.

f’x+ λF’x+μ G’x=0 и почленно сложим с 8. Собрав воединно все слагаемые с одинаковыми дифф.и приравняв их к 0 получим след.систему урав. f’x+ λF’x+μ G’x=0 и . f’у+ λF’у+μ G’у=0 и fz’+ λF’z+μ G’z=0 и

ft’+ λF’t+μ G’t=0  (9)

Вместе с системой урав.(1) данная система образует из 6 урав.и 6-ю неизвестными (λ, μ, x,y,z,t) Пусть (λ0, μ0, x0,y0,z0,t0) – явл-ся решением указанной системы урав, тогда точка Р0(x0,y0,z0,t0) будет явл-ся точкой подозрительной на условный экстремум.

Зам: рассматриваемый метод наз-ся метод неопределенных множителей Лагранжа и дает возможность((составляя указанную систему) из урав.1и9)), нахождение лишь подозрительных на условие экстремумов точек, координатами которых явл-ся решения полученных решений.

Зам2: для простаты вычислений при решении рассматриваемой задачи вводят так называемую вспомогательную ф-цию. Ф= f + λF +μ G тогда урав.9 записывается: ∂Ф\∂х=0   ∂Ф\∂у=0    ∂Ф\∂z=0   

    ∂Ф\∂t=0 

Пр: найти экстремум ф-ции U=xyzt, при условиях    x+y+z+t= Uс   ( с=const, x≥0, y≥0, z≥0, t≥0)

Реш: составим вспомогательное урав. для данной ф-ции: Ф= xyzt+λ(x+y+z+t-Uс )

 ∂Ф\∂х= yzt+ λ=0      ∂Ф\∂z=xyt+ λ=0     ∂Ф\∂у= xzt+λ=0   ∂Ф\∂t= xyt  + λ=0 Из всего этого след. yzt= xyt= xzt= xyt 

x=y=z=t=c>0 Таким образом для данной ф-ции точка (с, с, с, с) принимает относитенльный максимум.

 

 

19.Определение 2-го и 3-го интеграла.

Опр. Если интегральная сумма σ=∑I=1nf(ζi,ηi)∆Si  при λ→0 имеет предел равный I*, то этот предел наз двойным интегралом от функции f(х,у) по области О и обозначается одним из сле­дующих символов: I=∫∫G f(х,у)ds

В этом случае функция f(х,у) наз интегрируемой в области G, G— областью интегрирования, х и у — переменными интегриро­вания, из (или dx dy) —элементом площади.

Давая определение двойного интеграла, мы предполагаем, что функция f(х,у) ограничена. Как и для функции одной перемен­ной, это условие является необходимым условием интегрируемости. Однако оно не является достаточным, т. е. существуют ограничен­ные, но не интегрируемые функции.

Опр. Если интегральная сумма  σ=∑I=1nf(ζi,ηi ςi)∆Ui при λ→0   и имеет предел, равный I, то этот предел наз тройным интегралом от функции f(х, у, z} по области V и обозначается одним из следующих символов: I=∫∫⌡v f(х,у,z)du                             ,

В этом случае функция f(х, у, z) наз интегрируемой в об­ласти V', V — областью интегрирования; х, у ,z — переменными интегрирования; du (или dx,dy,dz) — элементом объема.

 

 

20. Условия существования двойного интеграла и его геометрическая трактовка

Условия существования двойного интеграла.

Пусть G—некоторая замкнутая ограниченная область, а f(x,y)—произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области.

Предполагается, что граница об-ти G cостоит из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида у=f(х) или х=φ(y)   где f(х) и f (у)— непрерывные функции.

Разобьем область G произвольно на п частей Gi,  не имеющих общих внутренних точек, с площадями ΔSi==(i=1, 2, ..., n). В каждой части Gi,  , выберем произвольную точку (ξi,ηi) и составим cумму: σ=∑ni=1f(ξi,ηi) ΔSi  которую назовем интегральной суммой для функции f{х, у) в области G. Назовем диаметром d(G) области С наибольшее рас­стояние между граничными точками этой области. Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей Gi(λ =max{d(Gi)}).

Т1. Функция f(х, у), непрерывная в замкнутой ограниченной области G интегрируема в этой области.

Однако не следует считать, что двойной интеграл существ только для непрерывных функций. Имеет место более общая теорема.

Т2. Функция  f(х, у), ограниченная в замки ограниченной области G и непрерывная в ней всюду, кроме те лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками не равных функций вида у == f(х} или х == φ(у), интегрируема в . области.

2. Геометрический смысл двойного интеграла в высшей математике. Пусть в пространстве дано тело Р ограниченное сверху графике непрерывной и неотрицательной функции f=(x, у), которая определена в области G, с боков — цилиндрической поверхность направляющей которой служит граница области G, а образуюии параллельны оси Ог, и снизу областью G. лежащей в плоскоcти Оху. Тело такого вида называют криволинейным цилиндром.

Аналогично тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к установлению геом смысла определенного интеграла, так и задача о вычислении объема тела Р приводит к ге-му толкованию 2 интеграла.

Действительно, в данном случае интегральная сумма 1 пред­ставляет собой сумму объемов прямых цилиндров с площадями оснований Δsi, и высотами f(ξi,ηi), которую можно принять за приближенное значение объема тела Р: Скор≈∑ni=1f(ξi,ηi) ΔSi

Это приближенное равенство тем точнее, чем мельче разбиение области G на части. При переходе к пределу при λ→0 это приб­лиженное равенство становится точным: Скорp=lim(λ→0) ni=1f(ξi,ηi) ΔSi

Так как функция f(х, у} интег­рируема, то предел интегральной суммы существует и равен двой­ному интегралу от этой функции по области G. Следовательно,  Скорp=⌠⌠G f(ξi,ηi) ΔSi

Отсюда следует геометрический смысл двойного интеграла: двой­ной интеграл от непрерывной, неотрицательной функции равен объему криволинейного цилиндра.

21. Свойства двойного интеграла

 Основные свойства двойного интеграла аналогичны  соответствующим свойствам определенного интеграла.

1°. Если r—произвольное число и функция f(х, у) интегри­руема в области G, то функция rf(х,у) тоже интегрируема в G и ⌠⌠G  rf(х,у) dx dy= r⌠⌠G f(х,у) dx dy  т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2°. Если функции f (х, у} и g(х, у} интегрируемы в области G, то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и ⌠⌠G[ f(х,у) ± g (х,у)] dx dy= ⌠⌠G f(х,у)dx dy±⌠⌠G g (х,у)dxdy.

3°. Если область G является объединением областей G1 и G2 не имеющих общих внутренних точек., в каждой из которых функция f(х, у) интегрируема, то в области G эта функция также инте­грируема и ⌠⌠G f(х,у) dx dy= ⌠⌠G1 f(х,у)dx dy±⌠⌠G2 f(х,у)dxdy.

4°. Теорема о среднем. Если функция f(х, у) непре­рывна в области G, то в этой области найдется такая точка (ξi,ηi), что  ⌠⌠G f(х,у) dx dy=f (ξi,ηi)s  где s — площадь фигуры G.

 

22. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием

Пусть функция z==f(х. у) определена в области G=={(х, у)a≤x≤b; у1(х) ≤ у≤у(х)}, где у1(х) и y2(х)—непрерывные функции, у1(х)≤ y2(х) для а≤х≤b.  Пусть также существует двойной интеграл ⌠⌠G f(х,у) dx dy и для каждого х из отрезка [а, b] существует определенный интеграл I(x)= ⌠y1xy2x f(х,у)dy.

Тогда существует повторный интеграл ⌠baI(x)dx=⌠badx ⌠y1xy2x f(х,у)dy и справедливо равенство  ⌠⌠G f(х,у) dx dy=⌠badx ⌠y1xy2x f(х,у)dy

Док. Положим с=min у1(х), а==max у2 (х) и заключим область G в прямоугольник D=={(х; у]а≤х≤b с≤y≤d}.  Рассмотрим в этом прямоугольнике вспомо­гательную функцию F(x,y)=(f(x,y) в точках области G)   (0 в остальных точках D)

Эта функция удовлетворяет условиям предыдущей т. Дей­ствительно, она интегрируема в области G, так как совпадает в ней с f(х, у), и интегрируема в остальной части G—D прямоуголь­ника, где она равна нулю. Следовательно,  она интегрируема и по всему прямоугольнику D. При этом  ⌠⌠G F(х,у) dx dy=⌠⌠G f(х,у) dx dy и ⌠⌠D-G F(х,у) dx dy=0 откуда  ⌠⌠D F(х,у) dx dy= ⌠⌠G F(х,у) dx dy ---1. Далее, для каждого х из [а, b] существует интеграл   ⌠cd F(х,у) dy=  ⌠cy1x F(х,у) dy+ ⌠y1xy2x F(х,у) dy+⌠y2xd F(х,у) dy,  так как существует каждый из трех интегралов, стоящих справа. Действительно, отрезки [с, у1(х) и [у2(х),d] лежат вне области G и на них F(х,у) равна нулю, отсюда первый и третий интегралы равны нулю, а второй интеграл существует по условию, так как F(х,у)=f(х,у) на отрезке [у1(х), у2(х)]. Поэтому ⌠cd F(х,у) dy =⌠y1xy2x F(х,у) dy---2.         

Cледовательно, двойной интеграл от этой функции по прямоугольнику D может быть сведен к повторному ⌠D F(х,у)dx dy=⌠ab dx⌠cd F(х,у) dy

Отсюда и из равенств (1) и (2) получаем  ⌠cd f(х,у)dx dy=⌠ab dx⌠y1xy2x f(х,у) dy

 

 

23. Замена переменных в двойном интеграле. Координатные линии. Криволинейные координаты.

При решении иной задачи по высшей математики приходится производить замену переменных в кратных интегралах.

  Одним из важных способов приведения интеграла к виду замены вычисления, явл-ся замена переменных в нем, т.е. переход от одной к др. системе коорд. Вв. понятие криволинейных координат точек пл-ти, предположим, что нам даны 2 пл-ти : <xOy> и <uOv>

Рассмотрим в этих плоскостях 2 ограниченные замкнутые пл-ти: D € <xOy> и  G €<uOv>  допустим, что в обл. G дана  сис-ма непрерывных ф-ций  х=х(u, v) и у=у(u, v) (1) , которая в каждой точке Q(u, v)€ G ставит в соответствие одну и только одну точку из D P(x,y)€ D, причем не одна точка из D не будет производна.  Т.об. между областями D и G установится взаимно однозначное соответствие и поэтому сущ-ют однозначные непрерывные ф-ции от х до у в обл. D : U=U(x,y)  и V=V(x,y) (2), которые задают областные преобразование обл. D в обл. G при этом точкам границы обл. G отвечают только точки границы обл. D и наоборот. Если в ф-ции  (1) зафиксировать одну из переменных, напр. переменную v полагая V=V0,  то получится сис-ма ф-ций х=х(u, v0) и у=у(u, v0), которая представляет собой параметрические урав. некоторой кривой обл. D. Роль параметра играет переменная U, такая кривая в обл. D наз-ся координатной линией. Придавая коорд. V постоянное значение и изменяя коорд. U мы получим целое семейство координатных линий на пл-ти <xOy> фиксируя U и изменяя V  получим др. семейство координатных линий на пл-ти <xOy>. Линии одного и того же семейства не пересекаются между собой и через любую точку P(x,y)€ D проходит по одной линии одного семейства, при этом вся сетка коорд.линий на плоскости <xOy> явл-ся изображением сетки прямых U=const, V= const пл-ти <uOv>

Числа U0, V0 определяющих V0 коорд.  линии х=х(u0, v) и у=у(u0, v), а также х=х(u, v0) и у=у(u, v0)- (u0, v0) ↔( x0,y0),  на пересечении которых лежит точка  P(x0,y0) наз-ся криволинейными коорд. точки P0= P0(х(u0, v0), у(u0, v0))- что это точки U, V. Простейшим и важнейшим прим. явл-ся полярные (ρ,θ) координаты, которые задаются  х= ρcosθ и y=ρsinθ  и наоборот ρ≥0

Если значения (ρ,θ) откладывать по 2-ум взаимно перпендикулярным осям считая ρ – абсцисой, а  θ- коорд., то коорд.линиями на плоскости <xOy> будут круги и лучи исходящие из начала координат, тогда ρ0↔θ0

Сформулируем утверждение дающие возможность осуществить замену переменных в двойном интеграле. ∫D∫f(x,y)dx dy(3) – т.е. возможность заменить   выражение его  выражением в прямолинейных координатах.

Т. х=х(u, v) и у=у(u, v)(4) Если преобразование(4) в декартовой пл-ти  <xOy> в декартову пл-сть<uOv>- переводят в ограниченную замкнутую область D € <xOy>,  G €<uOv>   взаимно однозначно, и если переводят в G ф-ции (4) непрерывны и имеют непрерывные частные производные 1-ого порядка, для которых определитель  I(u, v)=[x’U/ y’U    x’V/y’V ]  (5) отличен от 0 всюду в обл. G.                                                         

А ф-ция    f(x,y) непрерывна в обл.  D, то имеет место след.формула ∫D∫f(x,y)dx dy= ∫G∫f[x((u, v), у(u, v)]    I(U, V)du dv (6)  

 Определитель (5) наз-ся  функциональным определителем или Якобианом ф-ций (4) по переменным    U и V, а форм.(6) наз-ся формулой замены переменных.    

Зам.:  в случае перехода к полярным коорд., т.е. при преобразовании  х=ρcosφ, y=ρsinφ- пл-ти <xOy> в пл-ть <ρОφ>-якобиан.данного преобразования равен  I(ρ, φ )=[x’ρ/y’ρ   x’φ/y’φ ]= [cosφ/sinφ   -ρ sinφ/ ρ cosφ]=ρ cos2 φ + ρ sin2 φ =ρ – для данного преобразования якобин равен ρ. Т.обр. в случае перехода к полярным коорд. Форм.(6) имеет вид как:   ∫D∫f(x,y)dx dy= ∫G∫f(  ρcosφ, ρsinφ)ρd ρd φ               

 

 

24. Теорема о замене переменных в двойном интеграле. Якобиан. Переход к полярным координатам

Пусть функция f(x,у) непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области G. Тогда для функции f(х,у) существует двойной интеграл  ⌠⌠G f(х,у) dx dy –1 Предположим, далее, что с помощью формул

х = х (u v), у = у (u, v)--2 мы переходим к новым переменным u и скор. Будем считать, что u и v определяются из единственным образом: u = u (х, у}, v = v (х, у)--3.  С помощью формул (3) каждой точке М {х; у) из области G ста­вится в соответствие некоторая точка М* (u, v) на координатной плоскости с прямоугольными координатами u и v . Пусть множе­ство всех точек М* (u, v) образует ограниченную замкнутую об­ласть G*. Формулы (2) называют формулами преобразования коор­динат, а формулы (3) — формулами обратного преобразования.

При сделанных предположениях можно доказать, что если функ­ции (2) имеют в области G* непрерывные частные производные пер­вого порядка и если определитель D(x,y)/D(u, v)=1-я dx/du ↓ dy/du ↔dx/dv↓dy/dv –4 отличен в G* от нуля, то для интеграла (1) справедлива формула замены переменных ⌠⌠G f(х,у) dx dy=⌠⌠G* f[(u,v), y(u,v)] [D(x,y)/D(u, v)]dudv---5

Определитель (4) называется функциональным определителем или якобианом функций х =х(u,v), у=у (u,v) по переменным u и v.

Т. Если преобразование (2) переводит замкну­тую ограниченную область G в замкнутую ограниченную область G* и является взаимно однозначным и если функции (2) имеют в области G* непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля якобиан (4), а функция f (х,у) непрерывна в об­ласти G, то справедлива формула замены переменных (5).

 

 

26. Приложения двойных и тройных интегралов (вычисление площади поверхности, массы пластинки, координат центра масс, объема тела).

Высшая математика имеет множество приложений как в геометрии и физике, так и в других областях.

Вычисление площади поверхности.

Пусть S это площ поверхности заданная ур z=f(x,y), пусть G проэкция этой поверхности на плоскость xoy. Пусть фун f(x,y) вместе со своими частными производными первого порядка непрерывна в области G. Тогда площядь S расматриваемой поверхности может быть вычислена: S=⌠⌠G√1+f′x2(x,y)+ f′y2(x,y)dxdxy. Если поверхность определина ур f(x,y)=с-const то из форм имеем S=⌠⌠Gdxdy, так как f′x=f′Y=c′=0

Вычисление массы пластинки.

Пусть Д некоторая ограниченная область в плоскости хоу. Пусть по Д распределина масса m с плотностью р(х,у).Считая р(х,у) непрерывной функцией на Д получают фор для вычисления массы m на плоскости Д: m=⌠⌠G p(x,y)dxdy.

Вычисление координат центра масс.

Координата центра масс вычисляется : хс=1/m⌠⌠Дxp(x,y)dxdy,  ус=1/m ⌠⌠Д уp(x,y)dxdy. Если дано тело р с плотностью р(р)=р(х,y,z) и если непрерывна в области Д. Масса выч по форм. m= ∫∫∫V p(х,у,z)dxdydz. Координаты центра масс опр по формуле: хс=1/m∫∫∫V xp(р)dv , yс=1/m∫∫∫V yp(р)dv, zс=1/m∫∫∫V zp(р)dv.

Вычисление объема тела.

Как уже было отмечено, тройной интеграл ∫∫∫V dxdydz равен объему тела V.

 

 

27.Поверхостные интегралы первого рода и их выражение через двойные.

Пусть в точках некоторой поверхности S гладкой или кусочно-гладкой определена ограниченная функция f(М)=f(х,у,z). Разобьем поверхность S произвольно на n частей с площадями ΔS1, ΔS2……, ΔSn. Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку Мi (ξi ηi ςi), составим сумму ∑I=1nf(Mi)ΔSi --1-называется интегральной суммой.

Опр. Если интегральная сумма (1) при λ→0 имеет предел, равный I, то этот предел наз поверхностным инте­гралом первого рода от функции f(х, у, z) по поверхности S и обо­значается одним из следующих символов: I=⌠⌠S f(M)dS=⌠⌠S f(x,y,z)dS.

В этом случае функция f(х, у, z) называется интегрируемой по поверхности S,S — областью интегрирования.

 

 

28. Поверхностные интегралы второго рода (односторонние и двусторонние поверхности, определение интеграла по разным переменным, общий интеграл первого рода)

Возьмем на гладкой поверхности S произвольную точку M и проведем через нее нормаль к поверхности. Рассмотрим на поверхности S какой-либо замкнутый контур, проходящий через точку М и не имеющий общих точек с границе поверхности S. Будем перемещать точку М по замкнутому контуру вместе с вектором n так, чтобы вектор n все время оставалс нормальным к 5 и чтобы его направление менялось при этом перемещении непрерывно. В начальное положение точка M вернется либо с тем же направлением нормали, либо с противопс ложным.

Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему ее границы, при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности, то поверхность наз двусторонней.

Примерами двусторонних поверхностей служат плоскость, сфе­ра, любая поверхность, заданная уравнением z=f(х,у), где f(х, у), f'x(х, у) и f'у(х, у}—функции, непрерывные в некоторой области G плоскости Оху.

Если же на поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное, то поверхность называется односторонней. Двустороннюю поверхность называют также ориентируе­мой, а одностороннюю — неориентируемой.

 Пусть S—гладкая поверхность, заданная уравнением z=f(х, у), и R {х,у,z) — ограниченная функция, определенная в точках поверхности S. Выберем одну из двух сторон поверхно­сти, т. е. одно из двух возможных направлений нормали в точках поверхности. Если нормали составляют острые углы с осью Оz. то будем говорить, что выбрана верхняя сторона поверхности z=f(х,у), если тупые углы, то нижняя сторона поверхности. Разобьем поверхность S произвольно на n. частей и обозначим через Gi, проекцию i-й части поверхности на плоскость Оху. Выбрав на каждой частичной по­верхности произвольную точку Мi(ξi ηi ςi), составим сумму ∑I=1nR(ξi ηi ςi)ΔSi –1---        где ΔSi площадь Gi взятая со знаком плюс, если выбрана верх­няя сторона поверхности S, и со знаком минус, если выбрана ниж­няя сторона поверхности S. Сумма (1) наз интегральной суммой для функции R(М) = R(х, у, z). Обозначим через λ наи­больший из диаметров частей поверхности S.

Опр. Если интегральная сумма (1) при λ→0 имеет предел, равный I, то этот предел наз поверхностным инте­гралом второго рода от функции R (х,у,z) по выбранной стороне поверхности S и обозначается одним из следующих символов: I=⌠⌠S R(M)dxdy=⌠⌠S R(x,y,z)dxdy.

В этом случае функция R(х,у,z) наз интегрируемой по поверхности S по переменным х и у.

Аналогично определяется поверхностный интеграл второго рода по выбранной стороне поверхности S по переменным у и z[ z и х] от функции Р{х,у,z) [Q(х,у,z)\, которая определена на поверх­ности S: I=⌠⌠S P(x,y,z)dxdy[⌠⌠S Q (x,y,z)dxdy]. Сумму ⌠⌠S P(x,y,z)dxdy+⌠⌠S Q (x,y,z)dxdy+⌠⌠S R (x,y,z)dxdy

наз общим поверх ностныминтегралом второго рода и обоз­начают символом ⌠⌠S P(x,y,z)dxdy+ Q (x,y,z)dxdy+ R (x,y,z)dxdy.

 

 

29. Вычисление поверхностных интегралов второго рода и их связь с поверхностными интегралами первого рода.

Вычисление поверхностных интегралов второго рода.

По­верхностные интегралы второго рода вычисляют сведением их к двойным интегралам.

Пусть ориентированная гладкая .поверхность S задана уравнением z==f(х,у), где функция f(х, у) определена в замкнутой области G — проекции поверхности S на плоскость Оху, а R(х,у,z)непрерывная функция на по­верхности S.

Разобьем поверхность S произвольно на n частей и спроекти­руем это разбиение на плоскость Оху. Область G разобь­ется соответственно на частиG1,G2 ... Gn. Выберем на каждой части поверхности произвольную точку М(ξi ηi ςi) и составим интегральную сумму ∑I=1nR(ξi ηi ςi)ΔSi где, ΔSi площадь Gi Так как ςi=f(ξi ηi), то ∑I=1nR(ξi ηi ςi)ΔSi=∑I=1nR[ξi ηi f f(ξi ηi)]ΔSi—1

В правой части равенства находится интегральная сумма для двойного интеграла от непрерывной в области G функции R[х, у, f(х, у)]. Переходя к пределу в (1) при λ→0, получаем искомую формулу ⌠⌠S R(x,y,z)dxdy=⌠⌠S R(x,y,f(x,y)]dxdy—2- выражающую поверхностный интеграл второго рода по перемен­ным х и у через двойной. Кроме того, формула (2) доказывает су­ществование поверхностного интеграла от функции К (х, у, z), непрерывной на рассматриваемой поверхности S. Если выбрать нижнюю сторону поверхности, то перед интегралом в правой ча­сти (2) появится знак минус.

Аналогично устанавливается справедливость следующих фор­мул: ⌠⌠S P(x,y,z)dydz=⌠⌠S P(x,y,f(x,y)]dydz ; ⌠⌠S Q(x,y,z)dzdx=⌠⌠S Q(x,y,f(x,y)]dzdx где поверхность S задана соответственно уравнением x=f(у,z) и у=f(x,z), а G1, и G2—проекции поверхности S соответственно на плоскости Оуz и Охz..

 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода. Поверхностные интегралы второго рода можно ввести и дру­гим способом, а именно как поверхностные интегралы первого рода, в которых под знаком интег­рала стоят некоторые специальные выражения. Обозначим через соа α, соs β, соs γ направляющие косинусы нормали ориентированной поверх­ности в произвольной ее точке. По­верхностные интегралы второго рода различаются своим отношением к координатным плоскостям:

1) поверхностный интеграл вто­рого рода для плоскости Оху от функции R(х, у, z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы: ⌠⌠S R(x,y,z)dxdy=⌠⌠S R(x,y,z) соs γ dS .2) Аналогично ⌠⌠S Q(x,y,z)dxdy=⌠⌠S Q(x,y,z) соs β dS . 3)  ⌠⌠S P(x,y,z)dxdy=⌠⌠S P(x,y,z) соs α dS

Суммируя формулы (1)- (3), получаем формулу, выражаю­щую поверхностный интеграл второго рода общего вида по выбран­ной стороне поверхности через поверхностный интеграл первого рода: ⌠⌠S P dxdy+⌠⌠S Q dxdy+⌠⌠S Rdxdy=⌠⌠S(P соs α+Q соs β+R соs γ)dS. Если выбрать другую сторону поверхности, то направляющие ко­синусы нормали  соа α, соs β, соs γ изменят знак и, следовательно, изменит знак поверхностный интеграл второго рода.

 

 

30. Криволинейные интегралы первого рода и их вычисление.

Рассмотрим на плоскости Оху некоторую кривую АВ, гладкую или кусочно-гладкую, и предположим, что функция z=f(х, у) опре­делена и ограничена на кривой АВ.

Разобьем кривую АВ произвольно на n частей точками A=М0, М1, М2, .... Мi-1, Мi ..., Mn-1, Мn = В, выберем на каж­дой из частичных дуг Мi-1Мi, произвольную точку Мi и составим сумму ∑I=1nf(Mi)Δli—1-где li,—длина дуги Мi-1Мi. Сумма 1 наз интеграль­ной суммой для функции z=f(х,у) = f(М) по кривой АВ. Обо­значим через λ наибольшую из длин частичных дуг Мi-1Мi.

Опр. Если интегральная сумма (1) при λ→0 имеет  предел, равный I, то этот предел наз криволинейным интегралом первого рода от функции f(х,у) по кривой АВ и обозначается одним из следующих символов I=∫ABdl=∫ABf(x,y)dl

В этом случае функция f{х,у) называется интегрируемой вдоль I кривой АВ, сама кривая АВ- контуром интегрирования, А-начальной, а В-конечной точками интегрирования.

Криволинейный интеграл первого рода легко сводится к опре­деленному интегралу. Действительно, приняв на кривой АВ за параметр длину дуги l, отсчитываемую от точки А, получим параметрическое представление кривой х= х(l), у=у(l) (x≤l≤L). При этом функция f(х,у), заданная вдоль АВ, становится сложной функцией параметра 1:f[х(1), у(1)]. Обозначив через Ii, значение параметра l, отвечающее точке Мi, а через li-отвечаю­щее точке Mi перепишем интегральную сумму (1) в виде ∑I=1nf[x(li),y(li)]Δli –2--  где Δli=li-li-1 и li-1≤li≤li Сумма (2) является интеграль­ной для определенного интеграла от функции f[х(1), у(1)]на от­резке [0, L]. Поскольку интегральные суммы (1) и (2) равны между обой, равны и соответствующие им интегралы, т. е. ∫АВf(x,y)dl=∫L0 f[x(l),y(l)]dl  --3-=-

Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Вы­числение криволинейных интегралов первого рода сводится к вы­числению определенных интегралов.

Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями х= φ(t), у=φ(t)(α≤t≤γ), где φ(t)-непрерывные вместе со своими производными функции, f(х, у}— функция, непрерывная вдоль этой кривой, причем для определен­ности будем считать, что точке А соответствует значение t= α, точкеB и—значение t = β. Тогда для любой точки М (φ(t); φ(t) кривой АВ длину д дуги АМ можно рассматривать как функцию параметра t:l=l(t), и вычислять ее по формуле l=l(t)= ∫βα√[ φ’(t)]2+ φ’(t)]2dt  откуда, согласно правилу дифферен­цирования интеграла по верхнему пределу,  dl=√[ φ’(t)]2+ φ’(t)]2dt –4--

Заменяя переменную l=l(t) в определенном интеграле в пра­вой части равенства (3) и учитывая (4), получаем . ∫АВf(x,y)dl==∫L0 f[x(l),y(l)]dl=∫βαf[φ (t)] + φ(t)] (√[ φ’(t)]2+ φ’(t)]2dt

 

 

31. Криволинейные интегралы второго рода и их вычисление

Определение криволинейного интеграла второго рода.

 Пусть на кривой АВ определены две ограниченные фун­кции Р(х,у) и Q(х,у). Разобьем кривую АВ на n частей точками А = М0, Мi ... Mi-1, Мi.... Мn= В. Обозначим через Δхi, и Δуi, проекции вектора Мi-1 Мi на оси координат, на каж­дой частичной дуге Мi-1 Мi возьмем произвольную точку Мi',и сос­тавим интегральную сумму для функции Р(х, у) [Q(х, у)]: ∑I=1nP(Mi)Δxi[∑I=1nQ(Mi)Δyi]—1—

Опр. Если интегральная сумма (1) при λ→0 имеет  предел, равный I, то этот предел наз криволинейным интегралом первого рода от функции Р(х, у) [Q(х, у)] по кривой АВ и обозначается символом  I=∫ABP(x,y)dx[∫AB Q(х,у)dy]

Сумму ∫ABP(x,y)dx+∫AB Q(х,у)dy --наз общим криволинейным интегралом второго рода.

Криволинейные интегралы второго рода, как и интегралы пер­вого рода, легко сводятся к определенным интегралам.

Действительно, пусть кривая АВ задана параметрически урав­нениями х= φ(t), у=φ(t)(α≤t≤γ), где φ(t) и φ(t) -непре­рывные вместе со своими производными  φ’(t), φ’(t) функции, причем точке А кривой соответствует значение t= α, точкеB и—значение t = β.( φ’(t)+ φ’(t) ) Пусть функции Р(х, у) и О (х, у) непрерывны вдоль кривой АВ. Тогда справедливы следую­щие формулы:  ∫ABP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫βαP[φ (t)] φ(t)] φ’(t)+ Q[φ (t)] φ(t)] φ’(t))dt—2--- сводящие криволинейные интегралы к определенным интегралам.

Если кривая АВ задана уравнением АВ(с чертой) у=φ(t)(α≤t≤γ) то принимая за параметр переменную х, t=x из 2-ой получим следующую формулу ∫ABP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫ba(P(x,y(x)]+Q[(x,y(x)y’(x))dx

 

32. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Условия независимости интеграла от пути интегрирования (теорема 14.1)

Связь между криволинейными интегралами первого и второго_рода.

 Обозначим через α. и β углы, составляемые с осями координат направленной касательной  к кривой АВ в точке M(х,у) тогда получим соотношения dx=cos α dl, dy=cos β dl.

Заменяя в криволинейных интегралах второго рода dx и dy их выражениями, преобразуем эти интегралы в криволинейные интегралы первого рода: ∫АВP(x,y)dx=∫АВP(x,y)cos α dl ; ∫АВQ(x,y)dу=∫АВQ(x,y)cos β dl ;  ∫АВP(x,y)dx+Q(x,y)dу=∫АВP(x,y)cos α dl+ Q(x,y)cos β dl—1--

Таким образом, формулы 1 выражают криволинейные инте­гралы второго рода через криволинейные интегралы первого рода и устанавливают связь между ними. При изменении направления движения точки по кривой на противоположное cos α ,cos β,dx и dy  меняют знак, и формулы 1 остаются в силе.

33.Формула Гаусса - Остроградского

Формула Гаусса-Остроградского является одной из основных формул высшей математики, она устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью. Часто решение задач по высшей математики приводит к необходимости использования формулы Гаусса-Остроградского.

Опр. Областью наз простой если всякая прямая параллельная осям координат пересекает границу этой области не более чем 2-х точках.

Т. Пусть V—простая замкнутая область, огра­ниченная поверхностью S и пусть функции Р (х,у,z), Q(х.у.z) и R(х у,z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в данной области. Тогда имеет место следующая формула: ∫∫∫V(∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z) dxdydz = ∫∫SPdydz+Qdzdx+Rdxdy---1----называемая формулой Остроградского.

Док. Пусть область G-проекция поверх­ности S (и области V) на плоскость Оху ,а z==z1(х,у) и z=z2(х,у)-уравнения соответствующих частей поверхно­сти S—нижней части S1, и верхней S2.

Преобразуем тройной интеграл ∫∫∫V∂P/∂x dxdydz в поверхностный. Для этого сведем его к повторному интегралу и по формуле Ньютона—Лейбница вы­полним интегрирование по z. Получим ∫∫∫V∂P/∂x dxdydz=∫∫Gdxdy∫z2(x,y)z1(x,y) ∂P/∂z=∫∫GR[x,y,z2(x,y)]dxdy-∫∫GR[x,y,z1(x,y)]dxdy

Так как область G является проекцией на плоскость Оху и поверхности S2 и поверхности S1 то двойные интегралы можно заменить равными им поверхностными интегралами, взятыми соответственно по верхней стороне поверхности z=z2(x,y) и верхней стороне поверхности z=z1(x,y) т. е. ∫∫∫V∂P/∂x dxdydz=∫∫S2 R(x,y,z)dxdy- ∫∫S1 R(x,y,z)dxdy---2---

 Меняя в интеграле по S1, сторону поверхности, получаем ∫∫∫V∂P/∂x dxdydz=∫∫S2 R(x,y,z)dxdy- ∫∫S1 R(x,y,z)dxdy=∫∫SR dxdy где S — внешняя сторона поверхности, ограничивающей область V. Аналогично доказываются формулы ∫∫∫V∂P/∂x dxdydz==∫∫SP dydz---3--- ∫∫∫V∂P/∂x dxdydz==∫∫SQ dzdx—4---. Складывая почленно равенства 2,3,4 приходим к формуле 1.

 

 

34.Формула Грина

Формула Грина устанавливат связь между криволинейными и двойными интегралами.

Опр. Областью наз простой если всякая прямая параллельная осям координат пересекает границу этой области не более чем 2-х точках.

Теорема ПустьG— некоторая простая замкнутая область, ограниченная контуром L, и пусть функции Р (х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными ∂P/∂y и ∂Q/∂x в данной области. Тогда имеет место формула ∫∫G(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=. ∫LPdx+Qdy—1-- наз формулой Грина.

Док. Пусть контур L, ограничивающий область G, может быть задан как уравнениями х=х1(у), х=х2(у) (с≤у≤d), x1(y)≤x2(у), так и уравнениями у=у2{х}, (a≤у≤b),y1(x)≤y2(x). Рассмотрим сна­чала область G, определенную неравенствами a≤у≤b, y1(x)≤y≤y2(x) и преобразуем двойной интеграл ∫∫G∂P/∂y dxdy в криволинейный. Для этого сведем его к повторному интегралу и по формуле Ньютона—Лейбница выполним интегрирование по у.  Получим ∫∫G∂P/∂y dxdy =∫ba dx∫y2(x,y)y1(x,y) ∂P/∂y dy = ∫ba [P(x,y2(x)-P(x,y1(x))] dx=∫baP(x,y2(x))dx-∫baP(x,y1(x))dx    Каждый из этих двух определенных интегралов равен криволиней­ному интегралу второго рода, взятому по соответствующей кривой а именно: ∫baP(x,y2(x))dx=∫ADB P(x,y)dx= -∫BDA P(x,y)dx, ∫baP(x,y1(x))dx=∫ABC P (x,y)dx. 

Т.о. ∫∫G∂P/∂y dxdy=∫L P(x,y) dx.—2-- Аналогично доказывается формула ∫∫G ∂Q/∂x dxdy=∫L Q(x,y)dy—3--

Вычитая из равенства 3 почленно равенство 2, получаем искомую формулу 1.

 

 

35.Формула Грина для многосвязной области. Формула Стокса

Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области G, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых обла­стей. Действительно, пусть область G с границей L. Разобьем ее на две простые области: G1 и G2, для каждой из которых справедлива формула∫∫G(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=. ∫LPdx+Qdy . Напи­шем отдельно формулу Грина для (G1 и G2 сложим почленно полученные равенства. Слева будем иметь двойной интеграл по всей области G, а справа — криволинейный интеграл по контуру L. области G, так как криволинейный интеграл по вспомогательной кривой берется дважды в противоположных направлениях и при суммировании взаимно уничтожается.

Формула Стокса одна из основных формул высшей математики

Т Стокса между поверхностными и криволинейными интегралами.

Если ф- ции P(x; y; z), Q(x; y; z), R(x; y; z)  непрерывны вместе со своими частными производными 1- ого порядка на гладкой поверхности S ограниченной контуром L, имеет место:

∫LPdx + Qdy+ Rdz= ∫S∫ {( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) *cosγ+ (∂R/∂y- ∂Q/∂z) *cosα + (∂P/∂z- ∂R/∂x) *cosβ}ds= ∫S∫ ( ∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy +(∂R/∂y-∂Q/∂z) dzdy+ ( ∂P/∂z- ∂R/∂x)dxdz , где cosα, cosβ, cosγ направляющие cos нормали поверхности S образующие с осью OZ острый угол,  а контур L проходит в положительном направлении.

Зам: если поверхность S  явл- ся облостью плоскости XOY и ограничена контурами L, то интеграл ∂z, ∂x и по ∂x, ∂y, ∂z  = 0 и эта формула образуется по формуле Грина.

 

 

36.Векторная ф-ция скалярного аргумента. Предел непрерывности и деференцируемость вектор-функции.

Если каждому значению скаляр аргумента t, поставить  в соответствие некоторый вектор T(t), то он наз- ся – векторной функцией или вектор ф –ции скалярного аргумента t.

Закрепим начало вектора r в точке О. Тогда вектор ф-ции r(t) – радиус вектора r(t), с началом О.

Пространственная кривая, которая описывается концом радис вектора r(t) наз-ся годографом, вектор ф-ции  r(t). В частности в прямоуг. Декартовой системе  координат вектор r(t) записывается так  r(t) = x(t)i +y(t)j + z(t)k , где  x(t),  y(t), z(t) – скалярные ф-ции скалярного аргумента t, они являясь компонентами вектор ф- ции r(t) явл. Параметрическими уравнениями годографа. Если параметр t – есть время, то r(t) – траектория движения материальной точки, др. словами  траектория движимой точки это есть годограф r(t).

Введем  для векторной ф- ции r(t), понятия предела , непрерывности и деференцируемости.

Предел и непрерывность вектор фун –ции r(t). Пусть (векторы) е1, е2, е3 – базис Евклидова пространства Е3. Пусть α, β, γ- некоторые вещественные числа. αn, βn, γn  - некторые последовательности вещественных чисел, тогда указанными числам соответствует векторы простр. Е3.  ( в) а=αе1 +βе2+γе3;-аn=αn е1 +βn е2+γn е3 ;-n= 1,2,…[ аn]

Вектор А наз пределом последовательности вектор аn, ( записывается так а=lim(n→∞) аn), если αn→α, βn→β, γn→γ при n→∞.

Вектор А наз пределом ф-ции r(t)= r1(t) е1+ r2(t) е2 + r3(t) е3 , где r1(t), r2(t), r3(t)- компоненты вектора r(t) являющиеся скалярными функциями) , при t→t0 , если пред. Lim(t→t0)[ r(t)- a]=0.

Зам: последние соотношения равносильно тому, что r1(t)→α при t→t0 для i = 1,2,3. r2(t)→β, r3(t) →γ.

Вектор ф-ции r(t) наз непрерывным в точке t0, если Lim(t→t0) r(t)=  r(t0). Замечание: последние соотношения равносильно непрерывности в точке  t0.

 

 

37.Правила дифференцирования вектор-функции. Производные высших порядков. Формула Теэлора для векторный функции.

Дифференцирование вектор ф-ции.

Пусть задан вектор ф –ции r(t), пусть t=t0, придадим t0  некоторое приращение ∆ t, тогда вектор ф-ции  получит приращение ∆ r= r(t0+∆ t)= r(t0).

Если сущ- ет  предел lim [∆ t→0] ∆ r/∆ t= r((t0+∆ t)- r(t0))/ ∆ t то он наз производной от вектора ф –ции r(t) в точке p0 и записывается в виде dr(t0)/dt или r’(t0). В дальнейшем вместо t0 будем использовать t – фиксированная точка.

Геометр. смысл производной:  производная r’(t) явл-ся векторной величиной и имеет направление касательной к точке р, при возрастающих значениях параметра t. Если за параметр  принять длину дуги, то модуль [ dr/dt]=1. Вообще длина вектора r’(t)зависти от параметра t, если параметр t означает время, а  r(t) -  траекторию движения матер. Точки то вектор r’(t) означает вектор скорости, а модуль [r’(t)] – величину скорости матер. точки. - r’(t)= x’(t)i + y’(t)γ+z’(t)k.

Правило дифференцирования: φ(t) скалярная ф-ция, r1(t) – векторная ф-ция- r2(t) имеют место следующие равенства:1) [r1(t)+ r1(t)]’= r1’(t)+ r2’(t);2) [φ*r]=φ’*r+φ*r’; 3) (r1, r2)’=( r1’, r2)+ ( r1, r2’); 4) [r1, r2]’=[ r1’, r2]+ [ r1, r2’]; 5)[r(φ(t))]’= r’φ*φ’t

Если модуль r(t)=1, то годограф этого радиус вектора имеет на поверхности единичной сферы с центром в начале вектора r(t) и след-но r’(t) перпен. r(t), то есть скалярное произведение этих векторных функ. =0.   ( r(t), r’(t)) =0.

Производные высших порядков: рассматривая производную  r(t) как вектор функцию мы можем найти произв. Этой  ф – ции (r’(t))’- это производная наз –ся  2-ой произв.  вектор ф –ции r(t) и обозначается одним из след. символов  d2r/dt2  или r’’(t). В декарт. Координатах 2- ая производная это есть след. векторная сумма: r’’(t)=x’’(t)i+ y’’(t)γ+z’’(t)k. Если r(t)- описывает движение матер. точки, то 2- я производная r’’(t) явл- ся вектором ускорения этой матер. точки, а модуль [r’’(t)] величина этого ускорения. Аналогично опр. 3,4,5, ..n  вектор функции r(t) и обозначаются символами dkr/dxk, где r (к)(t), где к=1,2,… В частности в декарт. Системе координат r (к)(t)=x(k)(t)I +y(k)(t)γ +z(k)(t)k (1) .Это равенство при любом к≥1.  в силу (1)  можем получить формулу Тейлора, что в окрестности точки t0  компоненты вектор ф –ции r(t) ( n+1) раз дифференцируемы. Пусть r(t)= x1 (t)i+ x2 (t)γ+ x3(t)k для r (к)(t)= x1к (t)i+ x2к (t)γ+ x3к(t)k   к≥1. Пусть x (t)i  ( n+1) раз дифференцируема в некоторой окрестности t0, тогда в этой окрестности сущ-ет некоторая точка ξi  такая что в указанной окрестности имеет место форм.  x (t)i = x (t0)I+ x’ (t0)I(t-t0)+ x’’ (t0)i(t-t0)z/z!+…+ xn (t0)i(t-t0)n/n!+x (n+1) ξi/( n+1)!* (t-t0)n+1 Составим вектор суммы для соотв. Слагаемых, получим форм. Тейлора:

rn(t)= r(t0)+ r’(t0)(t-t0)+ r’’(t0)(t-t0)2/z!+…+ rn(t0)(t-t0)n/n!+Rn, где остаточный член в форм. Лагранжа

Rn=[ x1 (n+1) (ξ1)i/( n+1)!+ x2 (n+1) (ξ2)γ/( n+1)!+ x3 (n+1) (ξ3)k/( n+1)!] (t-t0)n+1

Дифференциал векторной ф-ции r(t) опред. форм.: dr(t)=r-1(t)dt

 

 

38. Скалярное и векторное поля. Линии уровня и линии тока. Сферическое векторное поле

Скалярное поле.

 Пусть G- некоторая область на плоскости или в пространстве. Если в каждой точке М из G определена ска­лярная величина и, то говорят, что в области G задано скалярное поле. Понятия скалярного поля и функции, определенной в обла­сти G, совпадают. Обычно используют следующую терминологию:

скалярное поле задается с помощью функции u=F(М), которая наз скалярной функцией. Если в пространстве ввести си­стему координат Охуz, то каждая точка М будет иметь определенные координаты х, у,z и скалярная величина и .является функцией этих координат: u = F(М) = F(х. у, z).

Примером скалярного поя может служить поле температур воздуха в некотором помещении, если температуру рассматривать как функцию точки. В точках, расположенных ближе к источнику теплоты, температура выше, дальше от источника теплоты.

Векторное поле.

Если в каждой точке М из G определен вектор F(М), то говорят, что в области G задано век­торное поле. Функция F (М), с помощью которой задается вектор­ное поле, наз векторной функцией.

Примером векторного поля может служить поле сил любой природы. Каждой точке области соответствует определенный век­тор, имеющий числовую величину и направление силы в этой точке.

Опр. Кривые к каждой точки которых вектор поля u=F(М), есть касательный вектор наз линиями тока или векторные линии. Через каждую точку Р проходит 1-а векторная линия если F(P) опрделина всюду в обл Д и в этой обл F(P)≠0, то линии также не пересекаются.

Пример век поля: Пусть р-радиус сферы с началом координат F-это вектор, ф(р)-некоторый скалярная функция р=√x2+y2+z2, r= xi+yi+zi , ф(р), р≥0. Рассматриваемое векторное поле задаваемой векторной функцией, это поле наз сфер вектор полем v=v(r)=ф(р)r,v в каждой точке Р(x,y,z) сферы радиуса р имеет одну и туже длину и параллельную нормали сферы в этой точке. Все прямые проходящие через начало коор явл линиями тока.

 

 

39. Потенциальное поле. Условие потенциальности векторного поля

Потенциальное поле.

 Рассмотрим некоторое скалярное поле F(М}. Если в каждой точке М из G определен вектор grad F, то поле этого вектора наз потенциальным полем. Само скалярное поле называется при этом потенциалом векторного поля, а вектор, определяющий потенци­альное поле, часто наз потенциальным вектором, т. е. век­тор а(М) потенциальный, если найдется такая скалярная функция F{М). Что a= grad F=∂F/∂x*I+∂F/∂y*j+∂F/∂z*r.—1--

Возникает вопрос, при каких условиях данное векторное поле а{М} потенциальное. Пусть Р,Q и R -проекции вектора а на оси координат Оx, Оу, Оz соответственно, т. е. a=a(M)=Pi+Qj+Rr.В силу соотношения (1) векторное поле a(М) является потенци­альным, если найдется функция F(М) такая, что ∂F/∂x=P, ∂F/∂y=Q, ∂F/∂z=R—2--

Выражение Pdx+Qdy+Rdz полный дифферен­циал некоторой функции Р(х, у, z} в том и только в том случае,когда Р,Q,R удовлетворяют условиям ∂P/∂y=∂Q/∂x; ∂Q/∂z=∂R/∂y; ∂R/∂x=∂P/∂z—3--

Но если Pdx+Qdy+Rdz=dF, то справедливы и равенства (2), т. е. условие (3) как раз и означает, что данное векторное поле потенциальное. Функция F(х,у,z) в этом случае называется по­тенциальной функцией поля.

Примером потенциального поля служит поле сил тяготения.

 

 

40. Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского в векторной форме

Поток векторного поля

Пусть пространство заполнено движущейся жидкостью. Скорость частиц которой задается вектором V(m)={P(x;y;z),Q(x;y;z), R(x;y;z)}. Пусть плотность в каждой точке=1,т.е. р=р(x;y;z)=1. Пусть S – двух. сторонняя поверхность ограниченная пространственной прямой l. Пусть вектор n={cos x, cosβ, cosγ}- нормаль поверхности S, координаты которого зависят от переменных x;y;z и непрерывны на поверхности S. Обозначим через п – количество жидкостей протекающих через поверхность S за единицу времени. Тогда можно допустить, что: П=∫s∫(V, n)ds.(1) С учетом того, что скалярное произведение (V, n) может быть определенно через декартовы координаты V, n: П= ∫s∫{Pcosx+Q, cosβ+Rcosγ}ds.(2)  Воспользовавшись соотношениями между поверхностями интеграла 1-ого и 2-ого рода последнее можно записать так: П= ∫s∫ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy (3)

Интегралы 1, 2, 3, каждый из них наз-ся потоком  вектора V(t), через поверхность S. Зам: данное определение имеет силу для любого векторного поля, а не только для векторного поля определенного выше.

Дивергенция. Форм. Осроградского в векторной форме.

Пусть в некоторой области V, ограниченной поверхностью  S определенно векторным полем F(m)={P,Q,R}, где ф-ции P(x;y;z),Q(x;y;z), R(x;y;z) непрерывны в месте его соприкосновения частными производными 1-ого порядка непрерывными в этой области.

Дивергенция векторного поля F(m)   наз скалярная ф-ция( обозначается символом div F(M)) определяемая равенством. Дивер. F(m)=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z. Это выражение явл-ся координатной функцией в тройном интегралу форм. Остроградского ∫v∫∫ div F(M)dv=∫s∫( F(M)n)ds.(1)  Эта форм. читается так: 3-ий интеграл от дивергенции векторного поля (в) F(M) взятого области V ограниченного поля F(M)через поверхность S.

Обозначим через (V) объем области V в силу теоремы средней для 3-его интеграла сущ-ет некоторая точка М0 из области V такая, что имеет место равенство: ∫v∫∫ div F(M)dv= div F(M0)*( V) (2) из (1) и(2) следует, что div F(M0)=1\(V) ∫s∫ F(M)ds

Скалярная область V в точке М при этом объеме (V)→0, т.М0→М получим след. предельное соотношение div F(M)=lim((V)→0) 1/(V) ∫s∫(V, n)ds (3)  дифференцируя в некоторой точке М это  есть предел отношения потока вектора проходящего через объем,  в котором лежит т.М. Формула (3) говорит о след.: дифференция векторного поля F(M) в т.М к объему области V.

42. Циркуляция вектора. Ротор. Формула Стокса в векторной форме.

Циркуляция. Ротор

Пусть в некоторой области за­дано векторное поле а(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)r и L — гладкая или кусочно-гладкая кривая, расположенная в этой области. Выберем на кривой L одно из двух направлений движе­ния и обозначим через dl вектор, имеющий в каждой точке на­правление, совпадающее с направлением движения по кривой в этой точке, и по модулю равный дифференциалу длины дуги: dl=dxi+dyj+dzr. Тогда криволинейный интеграл от скалярного произведения век­торов а (М) и dl ∫La(M)*dl=∫LPdx+Qdy+Rdz--наз циркуляцией векторного поля а {М) вдоль кривой L. В силовом поле циркуляция выражает работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль пути L. Для полей дру­гой природы циркуляция имеет иной физический смысл.

Опр. Ротором векторного поля а (М) наз век­тор гоt а(M), определяемый равенством rot a(M)=(∂R/∂y-∂Q/∂x)i+(∂P/∂z-∂R/∂x)j+(∂Q/∂x-∂Q/∂y)r

С помощью понятий ротора и циркуляции формулу Стокса ∫LPdx+Qdy+Rdz=∫∫S[(∂R/∂y-∂Q/∂x)cos α+(∂P/∂z-∂R/∂x)cosβ +(∂Q/∂x-∂Q/∂y)cosγ]ds можно записать в компактной векторной форме ∫La(M)*dl=∫∫S[rot a(M)*n]dS

Таким оразом, циркуляция векторного поля а(М) вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность S, ограниченную контуром L. Так же как и для дивергенции, можно показать, что rot а(М) зависит от выбора системы координат, а определяется только им векторным полем а(М).

 

 

43. Формула Стокса в терминах циркуляции и ротора векторного поля. Операторы Гамильтона и Лапласа и их применения в векторном анализе

С помощью понятий ротора и циркуляции формулу Стокса ∫LPdx+Qdy+Rdz=∫∫S[(∂R/∂y-∂Q/∂x)cos α+(∂P/∂z-∂R/∂x)cosβ +(∂Q/∂x-∂Q/∂y)cosγ]ds можно записать в компактной векторной форме ∫La(M)*dl=∫∫S[rot a(M)*n]dS

Таким оразом, циркуляция векторного поля а(М) вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность S, ограниченную контуром L. Так же как и для дивергенции, можно показать, что rot а(М) зависит от выбора системы координат, а определяется только им векторным полем а(М).

Оператор Гамильтона. Основные понятия теории поля: гра­диент, дивергенция, ротор и операции над ними удобно представ­лять с помощью оператора Гамильтона, или оператора «набла»: ▼=∂/∂x i+∂/∂y j+∂/∂z r. Оператор▼ будем рассматривать как символический вектор с коор­динатами ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z            а операции с ним проводить по правилам  векторной алгебры. При этом под произведением ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z на скалярную функцию будем понимать частную производную этой функции соответственно по х, у и z.

Пример.

Пусть и(х, у, z)—скалярная функция. Тогда произведе­ние ▼оператора на функцию и дает градиент этой функции: ▼u=(∂/∂x i+∂/∂y j+∂/∂z r)u=∂/∂x i+∂/∂y j+∂/∂z r=grad u

Δu=∂2u/∂x2+∂2u/∂y2+∂2u/∂z. Символ Δ=∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2 называется оператором Лапласа. Оператор Лапласа Δ естест­венно рассматривать как скалярный квадрат «вектора» ▼. В са­мом деле, (▼*▼)=(∂/∂x)2 +(∂/∂y)2 +(∂/∂z)2= Δ

Отметим, что уравнение Δ u=0 называется уравнением Лапласа. С его помощью описываются ста­ционарные процессы различной физической природы, например: стационарное распределение теплоты, электростатическое поле то­чечных зарядов, установившееся движение несжимаемой жидко­сти внутри некоторой области и т. д. Скалярное поле и (х, у, z), удовлетворяющее условию Δ u =0, наз лапласовым, или гармоническим., полем.

 

 

 

44.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными.

В каждом ВУЗе курс "Высшая математика" обязательно содержит дифференицальные уравнения.

Равенство, которое содержит независимую вещественную  переменную однозначную вещественную ф-цию от этой переменной и её производные наз обыкновенными дифференциальными уравнениями: примеры след. равенства явл. обыкновенные дифференциальные уравнения 1) y’=2x; 2) y’=-xey; 3) y’’-y=x; 4) y’’+y’-2y=xex

Порядком дифф. уравнения   наз порядок наивысшей производной от её искомой ф-циии входящей в уравнение. Урав.1 и 2  явл-ся урав. 1-ого порядка, 3 и 4  2-ого порядка.

Решением дифф.уравн. наз ф-ция имеющая непрерывные производные до порядка равного порядку уравнению и обращающая это уравнение в тождество.

Нахождение решения дифф.урав. наз интегрированием дифф.урав., а график ф-ции являющийся решением урав. наз интегральной кривой дифф.урав.

Каждое конкретное решение дифф.урав. наз частным решением, а совокупнотсь всех общих решений наз общим решением дифф.урав. Напр: y=x2+c, c- константа, явл-ся общим решением урав.1, так как будучи подставленной  в это уравнение она обращает его в тождество. y’=2x тождественно (x2+c)’=2х тождественно 2х=2х. Ф-ции y=x2-1, y=x2+3 явл-ся частными решениями урав.1 они получены из общего решения при с=0, -1, 3.

Дифференциальное уравнение 1-ого порядка: урав.вида F=(x,y.y’)=0 или y’=f(x,y) наз-ся урав.1-ого порядка, 2-ое урав. наз-ся  разрешенной относительно производной y’ искомой ф-ции y. В некоторых случаях разрешенное урав. y’=f(x,y) удобно записать в виде ∂y\∂х= f(x,y), или ∂y- f(x,y)dx=0   f(x,y)dx- ∂y=0    ∂y\∂х=-хеу,   хеуdx+dy=0

Урав.с разлеляющими переменными: уравнения вида f1(x)φ1(y)dx+ f2(x)φ2(y)dу=0 (1) наз урав.с разделяющими переменными. Если в области D  с (ХОУ), где ведется поиск решения данного урав., ф-ции f1(x), φ1 (y), f2(x), φ2 (y) не равны 0, то умножая обе части  на 1\( f2(x)* f1(y)) и приходим к след.урав. f1(x)\ f2(x) dx+ φ2 (y)\ φ1 (y) dу=0- наз-ся уравнениями с разделяющими переменными. Почленное интегрирование последних уравнений приводит к решению данного в неявном виде исходного урав. f1(x)φ1(y)dx+ f2(x)φ2(y)dу=0 : ∫ (f1(x)\ f2(x) ) dx+( φ1(y)\ φ2(y)) dу=с, с=const. Общее решение. Решение уравнение   (1) выраженное в неявной форме наз  интегралом этого уравнения.

 

 

45. Уравнения в полных дифференциалах. Пример решения уравнения, приводящегося к такому уравнению

Уравнения в полных дифференциалах. Пример решения уравнения, приводящегося к такому урав.

Урав.вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) , где левая часть представляет собой полный дифференциал, где U=U(x,y), где P=∂U/∂x, Q=∂U/∂y  наз-ся дифференциальным урав. полных дифференциалов. Как известно, левая часть урав.(1) будет равна ∂U(x,y) в некоторой ф-ции и если ∂P/∂y=∂Q/∂x.  Для того, чтобы решить это урав.(1) неодходимо проверить последние условие, если оно выполненно, то общим решением урав(1) будет явл-ся след.ф-ция U(x,y)=∫хх0 P(x,y)dx+∫уу0Q(x0,y)dy=с или U(x,y)=∫хх0 P(x,y0)dx+∫уу0Q(x,y)dy=с, где х0, у0- любая точка в области D, в которой ищется данное урав. ∂P/∂y=∂Q/∂x. Если ∂P/∂y не равно ∂Q/∂x, то во многих  случаях ( но не всегда) можно  найти такою ф-цию μ=μ(х, у) после умножения которой на (1) обращает это урав. в уравнение полных дифференциалов. Ф-ция μ(х, у)- наз интегрирующим множителем, рассмотрим один из методов нахождения этого интегрирующего  множителя. Метод заключает 2 случая.

     1 случий. Если выражение 1/Q*(∂P/∂y-∂Q/∂x) является постоянной величиной или ф-цией зависящей только от  х, то в качестве интегрирующего  множителя можно взять ф-цию μ=μ(х, у)=exp[∫1/Q*(∂P/∂y-∂Q/∂x)dx] 2 случий  Если выражение 1/Р*(∂P/∂y-∂Q/∂x) является постоянной величиной или ф-цией зависящей только от  у, то в качестве интегрирующего  множителя можно взять ф-цию μ=μ(х, у)=exp[-∫1/Р*(∂P/∂y-∂Q/∂x)dy]

Зам: однако возможно невыполнение как 1-ого, но и 2-ого случая, тогда методы решения урав.(1) другие.

Решить урав. (x siny+y cosy)dx+(x cosy-y siny)dy=0…….∂P/∂y=x cosy+cosy-y siny……∂Q/∂x=cosy…..∂P/∂y не равно ∂Q/∂x

1сл. 1/Q*(∂P/∂y-∂Q/∂x)= (x cosy+cosy-y siny- cosy)\( x cosy- y siny)….(x siny+ y cosy) dx+(x cosy-y siny)dy=0…..μ=μ(х)= exp[∫1/Q*(∂P/∂y-∂Q/∂x)dx]=ех…ех(x siny+y cosy)dx+ех(x cosy-y siny)dy=0 (2) или Р1dx+Q1dy=0….∂P1/∂y= ех(x cosy+ cosy-y siny)….∂Q1/∂x= ех(x cosy+ cosy-y siny)…∂P1/∂y=∂Q1/∂x

Левая часть урав. (2) представляет след.ф-цию, найдем её, для чего продифференцируем по  у выражение Q1.

Q1=∂U/∂y  dU(x,y)=0     P1= ∂U/∂x…. (∂U/∂x)dx+(∂U/∂y) dy=0  (2)

 U(x,y)=∫ (∂U/∂y) dy=∫ ех(x cosy-y siny)dy=x ех siny- ех∫ y siny dy= x ех siny- ех[-y cosy+∫ cosy dy]+c(x)= x ех siny+ ех y cosy- ех siny+ c(x)

∂U/∂x= ех siny+ x ех siny+ ех y cosy- ех siny+ c’(x) Сравниваем с выражением Р1. Р1=∂U/∂x= x ех siny+ ех y cosy следовательно c’(x)=0 Значит c(x)=с1

Получим следующие: что U(x,y)= ех(x siny+ y cosy- siny)+с1…ех(x siny+ y cosy- siny)=с   с=-с

 

 

46. Линейные уравнения. Метод Лагранжа

 Линейные уравнения.

 Уравнение вида у'+ р(х)у= f(х)-1-- где р(х) и f(х) — непрерывные функции, наз линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее производная у' входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени.

Если f(x)≡0, то уравнение 1 называется линейным однород­ным уравнением. Если f(х) ≡О, то уравнение (1) наз ли­нейным неоднородным уравнением.

Для нахождения общего решения уравнения (1) может быть применен метод вариации постоянной,

В этом методе сначала находят общее решение линейного одно­родного уравнения

у'+р(х)у=0 -2- соответствующего данному неоднородному уравнению1. Уравнение 2 является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем

dy/y=- р (х) dx, ln[у] = - ∫р(х)dx + ln |С1|. Отсюда, потенцируя, находим общее решение уравнения 2: У= ± С1 е-∫p(x)dx –3- где С= ±С1 — произвольная постоянная.

Теперь найдем общее решение уравнения 1 в виде 3 где С будем считать не постоянной, а новой неизвестной функцией от х т. е. в виде у=С(х) е-∫p(x)dx—4-

Чтобы найти функцию С(х) и, тем самым, решение в виде 3, подставим функцию 3 в уравнение 1. Получим С'(х) е-∫p(x)dx –С(х)р(х) е-∫p(x)dx +р(х)С(х) е-∫p(x)dx =f(х)  —5--

Итак, чтобы функция 4 являлась решением уравнения 1, функция С(х) должна удовлетворять уравнению. Интегрируя его, находим С(х)=f(х) е-∫p(x)dx +С1, где С1 — произвольная постоянная. Подставляя найденное выра­жение для С(х) в соотношение 5, получаем общее решение ли­нейного уравнения 1: у(х) = С1 е-∫p(x)dx + е-∫p(x)dx ∫f(х) е-∫p(x)dx dx—6--

 

47.  Линейные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о частных решениях однородного уравнения.

Обыкновенные дифф.урав. вида y’’+py’+qy=f(x) (1) , где  p и q – вещественные числа, f(x) непрерывна на некотором интервале(a,b) ф-ция наз линейным дифф.уравнением 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Если f(x) не равно 0, то  урав. 1 наз неоднородным, а если равно f(x)=0 – урав. однородным.

Квадратный трехчлен k2+pk+q=F(x) (2)  наз-ся характеристическим многочленом уравнения(1), а урав. F(x) (2) наз  характеристическим уравнением (1).

Ф-ции у1(х), у2(х) на интервале (a,b) наз линейно зависимыми на этом интервале, если они пропорциональны, т.е. если сущ-ет некоторая константа  α не равная 0,т.е. у1(х)= α у2(х) следует, что если отношение ф-ций у1(х)\у2(х)=const (у2(х)  не равно 0) то эти ф-ции линейно зависимы на рассматр. Интервале.

Если ф-ция у1 и у2 непропорциональны,т.е. если их отношение не явл-ся постоянной величиной (на (a,b)) то у1 и у2 наз-ся линейно независимыми на (a,b).

Решение линейных однородных уравнений. Теорема 3.2. Имеет место след.утверждение: 1) если λ  явл-ся вещественным корнем характеристического уравнения  (2), то ф-ция у=ех – явл-ся решением однородного урав. y’’+py’+qy=0 (3) ; 2) если числа λ 1=α+iβ, λ2=α-iβ, β не равно 0 явл-ся комплексными корнями характеристического уравнения  (2), то ф-ции  у1=еαx* cos βx, y2= еαx*sin βx явл-ся решениями однородного урав. (3).

Док-во 1) : пусть γ- некоторый вещественный корень параметр урав. (2), т.е. имеет место след.  γ2+pγ+q=0 Рассмотрим  ф-цию у=еγx найдем её производную у=еγx след. у’=γ еγx, у’’=γ2 еγx Подставляя  у, у’, у’’ в урав. (3) получим γ2 еγx +pγ еγx +q еγx =0 Выносим еγx(γ2+pγ+q)=0

γ2+pγ+q=0          так γ – есть корень этого урав., то явл-ся решением урав.(3)

0=0

Док 2)  доказывается анологично.

 

48.Теоремы об общих решениях линейного однородного урав.(теоремы 3.1 и 3.3)

Т 3.1: если ф-ция у1(х) и у2(х) явл-ся линейно независимыми решениями на интервале (a,b) однородного  урав. y’’+py’+qy=0 (3) то их любая линейная комбинация,т.е. ф-ция  у(х)= с1*у1(х) + с2*у2(х)   (4), где с1, с2 – произвольные постоянные явл-ся общим решением(3).

 Т 3.3.:γ1, γ2- корни характеристического урав. γ2+pγ+q=F(γ)=0, c1 и с2 =const Справедливы след.утверждения:1) если γ1не раны γ2 и они вещественны, то общее решение урав. (3) y’’+py’+qy имеет вид у(х)=с1еγ1x+ с2еγ2x; 2) если γ1=γ2= γ- вещественное число, то общее решение урав.3 имеет вид: у(х)=с1еγx+ с2 хеγx; 3) если λ 1=α+iβ, λ2=α-iβ, β не равно 0 -  явл-ся комплексными корнями, то у(х)= еγx(с1 cos βx+ с2sin βx)

Док 1 утв.: пусть многочлен F(γ) имеет 2 различных вещественных корня, тогда: в теореме 3.2. ф-ции  у1(х)= еγ1x, у2(х)= еγ2x явл-ся решениями урав.(3) Эти ф-ции линейно независимы у1(х)\ у2(х)= е(γ1- γ2) x не равно const, т.к. (γ1- γ2)  не равно 0. В силу т.3.1.  их линейная комбинация явл общим решением урав.(3)

Док-во 2 утв.: Пусть γ1=γ2= γ- где  вещественное число, тогда в силу т.3.2. ф-ция явл-ся решением урав.(3) Другое линейно независимое  от этого решения будем искать в виде у2(х)= с(х)еγx, где с(х) не равно const. Возьмем производные: y’= с’(х)еγx+ с(х)еγx; y’’= с’’(х)еγx+ с’(х)γеγx+ с’(х)γеγx+ с(х)*γ2еγx= с’’(х)еγx+2 с’(х)γеγx+ с(х)*γ2еγx

Подставляя у2, y2’, y2’’ в урав.(3) получим след.урав.: еγx[с’’(х)+2(γ+p/2) с’(х)+ (γ2+pγ+q) с(х)]=0 так γ явл-ся корнем характеристического урав. F(γ)=0, то γ2+p(γ)+Q=0 и γ= - p/2. Таким образом γ2+pγ+q=0

Из этих 2-ух равенств следует, что еγx с’’(х)=0 однако еγx не равно 0 след-но с’’(х)=0 следует с’(х)= с1

Значит с(х)=с1х+с2. Полагая с1=0 с2=0, мы  в частности получим с(х)=х, что у2(х)= еγx- явл-ся решением данного урав.(3) при этом у1(х) и у2(х) линейно независимы у2(х)\ у1(х)- х еγx\ еγx таким образом  общее решение урав(3) имеет вид: у(х)= с1еγx+ с2 х еγx

Док- 3 утв.:пусть λ 1=α+iβ, λ2=α-iβ, β не равно 0. В силу т.3.2.  части 2. ф-ции   у1=еαx* cos βx, y2= еαx*sin βx явл-ся решением урав(3) – эти ф-ции линейно независимы. у2(х)\ у1(х)=tg βx не равно 0, т.к. β не равно 0. Поэтому их линейные комбинации  у(х)= еγx(с1 cos βx+ с2 sin βx) явл-ся общим решением.

 

 

49.Решение линейных неоднородных уравнений с различными правыми частями (4случая). Т.о сумме частных решений.

Т3.4: общее решение линейных неоднородных урав. y’’+py’+qy=f(x) (1) есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного урав. y’’+py’+qy=0 (3)

В силу данной т ф-ция у(х)=у(х)+с1у1(х)+ с2у2(х) явл-ся общим решением урав.(1), если у- есть частное уравнения(1). у1, у2(х) – частные решения урав.(3)  с1 и с2- произвольные постоянные.

Общее решение однородного урав.(3) находить умеем. Остаётся рассмотреть вопрос о нахождении частного решения неоднородного урав.(1) с этой целью рассмотрим различные виды правой части этого урав.

1.Правая часть урав.1 имеет вид f(x)=Pn(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1+anxn, an не равно 0. Тогда частные решения урав.(1) следует искать  в виде у(х)=хrQn(x), где Qn- некоторый многочлен  n- ой степени, а r- число корней харак. многочлена γ2+pγ+q=F(γ) равных 0.

2)Пусть правая часть урав.(1) имеет вид: f(x)= еαx Pn(x)- тогда частное решение урав.(1) следует искать в виде у(х)=хr еαx Qn(x), где Qn(x) многочлен n- ой степени, а r- число корней харак.урав.равной α

3)Пусть правая часть урав.(1) имеет вид: f(x)=a cosβx+bsinβx, где  a, b, β – заданные числа, тогда частные решения у след.искать в виде: f(x)=  хr еαx(A cosβx+Bsinβx), где а r- число корней харак. Многочлена, равное iβ.

4) Пусть правая часть урав.(1) имеет вид: f(x)=  еαx[Pn(x) cosβx+ Pm(x) sinβx] Если правая часть имеет вид, где Pn(x), Pm(x)- многочлен степеней  n и m – соответственно, тогда частное решение неоднородного решения(1) следует искать в виде у(х)=хr еαx[Q1(x) cosβx+ Q2(x) sinβx], где Q1(x),  Q2(x) – многочлены степени  S=max{n,m}r- краткость корня  α+iβ характеристического многочлена  F(x)=0

Т.о сумме частных решений:если у1- решение урав. y’’+py’+qy=f1(x), а у2- решение урав. y’’+py’+qy=f2(x), то сумма у1+ у2 явл-ся решением урав. y’’+py’+qy=f1(x)+ f2(x). (1)

Док-во: составим сумму у1+ у2 и подставим её в левую часть урав.(1) Получим (у1+ у2) ’’+ p(у1+ у2)’+q(у1+ у2)= (у1’’+ py1’+ qy1)+ (у2’’+ py2’+ qy2)= f1+ f2 , т.к.  по условию выражение в первой скобке равно f1(x), а выражение  во второй скобке равно f2(x). След-но, у1+ у2 – решение урав.(1)

 

 

50.Числовые ряды(основные определения). Основные теоремы о сходящихся числовых рядах.

Рассмотрим U1, U2,…., Un  и т.д. составим из этих чисел выражение U1+ U2+….+ Un  +…(1) Данное выражение ( беск. сумма)  наз бесконечным числовым рядом или просто рядом. Числа U1, U2,…., Un   наз-ся числами этого ряда, символ Un- обозначающий n  членный этого ряда наз-ся общим членом данного ряда. Для краткого обозначения ряда (1) пользуются символом ∑n=1∞ Un, т.е. ∑n=1∞ Un= U1+ U2+….+ Un  +…

Суммы S1= U1, S2= U1+ U2, S3= U1+ U2+ U3, …, Sn= U1+ U2+….+ Un  +… - наз  частичными суммами ряда (1). Они образуют беск.последовательность S1,  S2, S3,…, Sn…(2) Если эта последовательность (2) сходится , т.е. имеет некоторый  конечный lim (n→∞) Sn= S, то говорят что ряд (1) сходится , а Sn – наз суммой этого ряда, сам ряд – сходящимся рядом, если же последовательность(2) имеет lim ∞ предел или вовсе этого lim нет, то говорят, что ряд(1) расходитсяи наз расходящимся рядом. Примером сходящегося ряда явл-ся бесконечная геометрическая прогрессия: a1+a1q+ a1q2+…+ a1qn-1+…    [q]<1         S=a1/(1-q)

1+1/2+1/3+1/5+…=∑n=1∞1/n – гармонический ряд(3)

Теоремы о сходящихся числовых рядах: т.2.1. Ряд U1+ U2+….+ Un  +…(1) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд Uк+1+ Uк+2+….+ Un-1 + Un +… (4) – называемый катым остатком  ряда(1)

Док-во: пусть Sn – n- ая частичная сумма ряда(1), т.е. Sn= U1+ U2+….+ Uк  , где 1<к< n. Пусть δn-k это n-k частичная сумма ряда (4), т.е. δn-k= Uк+1+ Uк+2+….+ Un-1 + Un

Пусть ряд(1) сходится (доказываем необходимость), т.е. сущ-ет число  S= lim (n→∞) Sn; δn-k= Sn- Sк, при любом фиксированном 1<к< n.

Ряд(4) будет сходится, если будет сходится последовательность { δn-k} частных сум ряда(4). Имеет место, переходя в последнем равенстве к пределу получим lim (n→∞) δn-k= lim (n→∞) Sn- lim (n→∞) Sк равное получим след. равенству S- Sк=δ Необходимо доказать, т.е. из сходимости  ряда(1) следует сходимость ряда (4): достаточность: пусть ряд(4) сходится, т.е. сущ-ет предел lim (n→∞) δn-k= δ в равенстве δn-k= Sn- Sк, переходя к пределу при n→∞ получим : lim (n→∞) δn-k= lim (n→∞) Sn- lim (n→∞) Sк= lim (n→∞) Sn- Sк след-ет δ= lim (n→∞) Sn- Sк след-ет что lim (n→∞) Sn=δ+ Sк предел последовательности сум. сущ-ет ряд(1)  сходится.

Т 2.2.: если сходится ряд(1) и его сумма =S,  то сходится и ряд aU1+a U2+….+ aUn  +… (5), где а- некоторое произвольное число и сумма (5)=аS

Док-во: по условию т.   lim (n→∞) Sn=S, где  Sn- частичная сумма ряда(1), частичная сумма ряда(5) имеет вид, т.к. аS= aU1+a U2+….+ aUn=a(U1+ U2+….+ Un  ) Отсюда lim (n→∞) аS=а lim (n→∞) Sn сводится к аS

Т 2.3.: если сходятся ряды ∑n=1∞= Un  , ∑n=1∞=Vn  и суммы их соответственно равны S1’, S2’, тосходится и ряд ∑n=1∞( Un± Vn) суммакоторого будет равна S1’± S2’

Док-во: обозначим через δn- n частичную сумму последнего ряда, т.е. δn=( U1± V1)+ ( U2± V2)+…+ ( Un± Vn) Пусть Sn1’, Sn2’ , тогда имеем δn=( U1+U2+…+Un)±( V1+ V2+…+ Vn)= Sn1’+Sn2’ переходя к пределу  в правую и левую частях получим: lim (n→∞) δn= lim (n→∞) Sn1’+ lim (n→∞) Sn2’= S1’± S2’.

Т 2.4.: (критерий Коши) если ряд(1) сходится, то предел  его общего члена Un равен 0, т.е. для сходящегося ряда(1) предел lim (n→∞) Un=0   n→∞

Док-во: рассмотрим частичные суммы ряда (1) Sn-1= U1+ U2+….+ Un-1  Отсюда Un= Sn- Sn-1   Т.к. ряд(1) сходится, то предел lim (n→∞) Sn= lim (n→∞) Sn-1=   S- сумме этого ряда. Переходя к lim получим: lim (n→∞) Un= lim (n→∞) Sn* lim (n→∞) Sn-1= S-  S=0

Зам: условие предел lim (n→∞) Un=0 явл-ся необходимым условием сходимости ряда, т.е. данное условие не выполняется, то ряд расходится. Если это условие выполняется, то это не означает, что ряд сходится.

 

 

51.Основные признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.

Рассмотрим 2 знакоположительных ряда U1+ U2+….+ Un  +…(А); V1+ V2+…+ Vn+…(В), где Un≥0, Vn≥0 ( n=1,2….)

Т 3.1.: необходимым и достаточным условием сходимости знакоположительного ряда явл-ся ограниченность последовательности его частичных сум.

Док-во: пусть знакоположительный ряд А- сходится и его суммой явл-ся число S. Тогда  S явл-ся  пределом последовательности его частичных сум S1, S2, .., Sn,…, но как известно из сходимости числовой последовательности следует его ограниченность, т.е. сущ-ет некоторое число М такое, что  Sn≤М при n=1,2.. следует ограниченность, достаточность, пусть последовательность частичных сум сходящегося ряда А- ограничена некоторым числом n, т.е. для любого n. Т.к. ряд А явл-ся  знакоположительным, то последовательность его частичных сум монотонно возрастающая S1≤S2≤… Sn≤  Одгако При любом n, Sn≤ n следует расмотренная последовательность частичных сум ограниченна. Это говорит о том, что эта последовательность  ссходится к некоторому числу   S, т.е.  сходится ряд А 1-ый признак сравнения: если знакоположительные ряды А и В таковы, что Un≤ Vn (n=1,2..), то из сходимости ряда В след.сходимость ряда А, а из расходимости ряда А след.расходимость ряда В

Док-во: пусть сходится ряд В это означает, что последовательность частичных сум этого ряда ограниченно, т.е. Sn≤М при (n=1,2..) Т.к. Un≤ Vn (n=1,2..), то  S’n≤ Sn    (n=1,2..), где S’n –энная частичная сумма ряда А из последовательности неравенства след.что при S’n≤М ( n=1,2..) Последнее  неравенство говорит о том, что последовательность частичных сум ряда А ограниченно числом n. Отсюда след. в силу т.3.1. след сходимость ряда А. Если же ряд А расходится, то последовательность частичных сум Sn→∞( так как ряд  знакоположительный). Из неравенства S’n≤ Sn  след. что Sn также →∞ т.е. ряд В – расходится.

2-ой признак сравнения: если сущ-ет предел lim (n→∞) Un\ Vn=к, 0≤к≤∞, то из сходимости ряда В при к меньшим бесконечности след.сходимость ряда А, а из расходимости Ряда А при к>0 след.расходимость ряда В, таким оьразом при конечном положительном пределе к оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Признак Коши: если для  ряда А сущ-ет с= lim (n→∞)n√ Un ( конечный или бесконечный), то при с<1, ряд А- сходится, с>1 расходится.

Признак Даламбера: если для ряда А сущ-ет предел конечный или бесконечный с= lim (n→∞) Un+1\ Un, то при с<1 ряд А сходится, с>1 расходится

Признак Раабы: если для ряда  сущ-ет предел с= lim (n→∞) n(1- Un+1\ Un), то при с<1, ряд А- расходится, с>1 сходится. Все указанные признаки Коши, Раабы, Даламбера не дают ответа сходится или расходится ряд.

Интегральный признак Коши: если при х≥0, сущ-ет фун-ция f(x), такая что:1) f(x)- непрерывна, 2) f(x)≥0, 3) f(x),- монотонна убывающая, то ряд и интеграл сходятся ирасходятся одновременно.  ∑n=1∞ f(n) и ∫м∞ f(x)dx, M≥1

Рассмотрим ряд ∑n=1∞1\n!  lim (n→∞) Un+1\ Un=  lim (n→∞)1\n+1=0

Un+1\ Un=  1\(n+1)!: 1\n! = n!/ (n+1)!= n!/ n! (n+1)!=1/n+1- ряд сходится.

 

 

52. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

 Знакочередующиеся ряды

 Ряды с неположительными членами отличаются от соответ­ствующих рядов с неотрицательными членами только множите­лем —1, поэтому вопрос о их сходимости решается аналогично.

Перейдем теперь к рассмотрению знакочередующихся рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знако­чередующийся ряд можно записать в виде а1-а2+а3-а4+...+(-1)я+1аn+.., --1—где аn>0.

Т 1. Если абсолютные величины членов знакочере­дующегося ряда (1) монотонно убывают: а1>а2>а3>... и об­щий член ряда стремится к нулю: lim а=0, то ряд сходится.

Док. пусть дан ряд 1 и пусть an>an+1    и аn→0 при n→∞. Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов Sn = а1 – а2 + а3- а4 +...+ а2n-1 – а2n = (а1, - а2) + (а3 – а4) +...+ (а2n-1- а2n). Все разности в скобках в силу первого условия положительны. поэтому последовательность частичных сумм  S2n явл-cя воз­растающей. Докажем, что она ограничена. Для этого представим S2n в виде S2n=а1 - [(a2 – a3) + (a4 – а5) +…+ (a2n-2 – a2n-1) + а2n]. Отсюда следует, что S2n<а1 для любого n, т. е. {S2n} ограни­чена.

Итак, последовательность {S2n} возрастающая и ограниченная, следовательно, она имеет предел lim S2n(n→∞)=S.

Покажем теперь, что и последовательность частичных сумм не­четного числа членов сходится к тому же пределу S. Действительно, S2n+1=S2n+a2n+1. Переходя в этом равенстве к пределу при n→∞ и используя второе условие (an→∞ при n→∞), полу­чаем lim S2n+1(n→∞)= lim(n→∞)( S2n+a2n+1)= lim(n→∞) S2n+ lim(n→∞)a2n+1=S+0=S

Таким образом, последовательность частичных сумм {Sn} ряда (1) сходится к пределу S. Это и означает, что ряд (1) сходится.

Знакопеременные ряды.

Ряд с членами произвольных знаков наз-ся знакопеременным рядом. Из этого опр.след. что если у ряда полож.и отриц.члены расположены произвольно, то его наз-ют знакопеременным. Пусть ряд U1+U2+…+Un+…=∑n=1∞ Un(A) явл-ся знакополож.рядом.Составим ряд из абсолют.величин, членов этого ряда [U1]+[U2]+…+[Un]+…=∑n=1∞ [Un](B) Ряд (А) составит ряд (В)

Т.: если сходится ряд (В), то сходится и знакоперем.ряд(А)

Док-во:пусть Sn- n –ая частичная сумма ряда А обозначим через S’n – сумму положит.слагаемых в сумме Sn,  а через S’’n – сумму абсолютных величин отрицат.слагаемых. Т.обр. Sn= S’n- S’’n Пусть σn - n –ая частичная сумма ряда В. Пусть ряд В- сходится и его сумма равна σ, т.е. σ= lim(n→∞) σn Из всех этих опред.след.что S’n≤ σn≤ σ и S’’n≤ σn≤ σ   σn= S’n+S’’n  В силу того, что члены посл. S’n и S’’n положительны и монотонно возрастают, то из послед.неравенства след.пределы, т.е. сущ-ют числа S’n и S’’n- такие, что

lim S’n= S’и lim S’’n= S’’ Т.обр. имеем: lim(n→∞) Sn= lim(n→∞)( S’n- S’’n)= lim(n→∞)  S’n- lim(n→∞) S’’n= S’- S’’, т.обр.послед.частичных сум ряда А имеет предел(он = S’n+S’’n  ) и след.ряд А сходится.

Зам: из сход.ряда А не всегда след.В. Прим.того явул-ся выше рассмотр.ряд он как ряд Лейбнеского типа, сходится однако ряд составленный из абсолютных величин и его членов, как гармоничный  ряд расходится.

Т.к. любой ряд при α≤1 расходится, при α>1- сходится. f(x)=1/xα (α не равно 1). Воспользуемся интегральным призн.Маклорена-Каши, получим ∫N∞ dx/xα 

∫n∞ dx/xα =αα+1/α+1            ∫N∞ = lim (x-α+1/-α+1)+ N -α+1/ -α+1={ ∞ при    0<α<1 и – N1-α/1-α при α>1}

Рассмотрим ряд сход.или расход. при α>1, α<1. Если α=1, то имеем интеграл ∫N∞ dx/x =ln(x) ∫n∞=∞

Итак, все сходящ.знакопеременные ряды можно разделить на 2 класса. Те ряды, из которых ряд В- сходится наз-ся абсол.сход.рядами, а те у которых ряд В расходится условно сход.рядом.

 

 

53.Степенные ряды(основные определения). Теорема Абеля.

Рассмотрисм последовательность ф-ций U1(х), U2(х),…., Un (х). Каждая из которых определена на своем числовом промежутке, причем  пересечения этих числовых промежутков не пусто.

Бесконечная сумма U1(х)+ U2(х)+….+ Un (х)+.. =∑n=1∞Un(х) (1)  наз-ся функциональным рядом и Хх€ ∩I=1∞ xi  При  которых ряд (1) сходится наз областью сходимости ряда. Каждому значению х из Х соответствует значение величины (1). Эту величину, которая  явл-ся ф-цией от х называют суммой функционального  ряда(1) и часто обозначают символом S(х)   S(х)= ∑n=1∞Un(х)

Бесконечный ряд Rn(x)= Un+1(x)+ Un+2(x)+….наз-ся n-ым остатком ряда(1)

Если для любого  ε≥0 сущ-ет номер N=N(ε) для того, что [Rn(x)]<ε. При любом х из Х то говорят, что функц.ряд(1) сходится равномерно, т.е. в своей сумме S(х)  

Функц.ряд вида: а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+ аn(х-х0)n…=∑n=1∞ аn(х-х0)n(2) – наз степенным рядом. Очевилно, что степенной ряд при х=х0 сходится, т.к. его сумма S(х) явл-ся  а0

Т 5.1. (Абеля): имеет место след. 2 утверждения.

1. если ряд (2) сходится при х=а, то он сходится и для любого удовл. неравенству х=а[x+x0]<[a- x0]- абсолютно

2. если ряд(2) расходится при х=b, то он расходится и для любого х удовлетворяещему неравенству [x-x0]<[ b - x0]

Т. Абеля говорит о следующем: если на числовой прямой точках=а явл-ся точкой сходящегося ряда А, то этот ряд будет сходится при любом значении х из интервала( х0-[a- x0]: х0+[ a- x0]), а если х= b есть точка расходимости при любом значении х рассположенном вне интервала ( х0-[b- x0]: х0+[ b- x0]), следует что сущ-ет положительное число R такое, что при [x-x0]< R- сходится; [x-x0]> R- расходится

Таким образом интервал явл-ся сходимым(2) – наз-ся интервалом сходимости. А число R наз радиусом сход.ряда А. Итак всякий степенной ряд имеет   свой ряд х= x0= R, т.е. когда х  принимает на концах сходимости, то ряд(2) либо сходится либо расходится. Поэтому вопрос  сходимости степенного ряда  решается отдельно. Для отыскания  интеграла (радиуса сходимости) можно пользоваться одним из следующих способов

Т.5.2. аn не равное 0 для ( n=1,2….) нет 0 и если сущ-ет  предел R= lim (n→∞)[ аn/ аn+1] то  он равен  сход.ряду(2)

Т.5.3.: если некоторый ряд имеет вид а0+а1(х-х0)p+а2(х-х0)2p+…+ аn(х-х0)np.. где p некоторое целое положительное число, то  с R сход.этого ряда R=[ lim (n→∞)[ аn/ аn+1]1/p ]

Если среди  коэффициентов ряда(2) есть равные 0 и  последовательность оставшихся в ряде степеней  любая (т.е. не образует арифм.прогресси как в предыдущем ряде)  R=1\[ lim (n→∞) n√ [аn]] (аn не равно 0 )

Ряды полученные почленным диференцированием и интегрированием степенного ряда (2) имееют тот же интервал сходимости, что (2), а их сумма равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда, т.е. S(х)= ∑n=0∞ аn(х-х0)n; S’(х)= ∑n=0∞nQn(х-х0)n-1; S’’(х)= ∑n=0∞nan(n-1) (х-х0)n-2  аn(х-х0)n-2=∑n=p∞( аn(х-х0)n+1/n+1)

Степенные ряды встречаются при решении задач высшей математике.

 

 


 



Вопросы к экзамену по курсу высшая математика в III семестре


  1. Числовой ряд.
  2. Сходимость и сумма ряда.
  3. Необходимое условие сходимости ряда.
  4. Гармонический ряд.
  5. Достаточные признаки сходимости рядов.
  6. Признаки сравнения рядов.
  7. Признаки ДАламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.
  8. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.
  9. Абсолютная и условная сходимость.
  10. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
  11. Теорема Лейбница.
  12. Функциональный ряд.
  13. Область сходимости.
  14. Равномерная сходимость.
  15. Степенной ряд. Теорема Абеля.
  16. Ряды Тейлора и Маклорена.
  17. Биноминальный ряд.
  18. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.
  19. Применение рядов в приближённых вычислениях.
  20. Комплексные числа и действия над ними.
  21. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
  22. Формула Эйлера.
  23. Алгебраическая форма комплексного числа.
  24. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
  25. Формула Муавра.
  26. Расширенная комплексная плоскость.
  27. Множества точек на плоскость.
  28. Функция комплексного переменного.
  29. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного.
  30. Ряды с комплексными членами.
  31. Представление функций при помощи рядов.
  32. Показательная и логарифмическая функции.
  33. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции.
  34. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
  35. Дифференцируемость функции комплексного переменного.
  36. Производная.
  37. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.
  38. Первообразная и неопределённый интеграл.
  39. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге.
  40. Теорема Коши для односвязной области.
  41. Теорема Коши для многосвязной области.
  42. Интегральная формула Коши.
  43. Теорема Морера. Ряд Тейлора.
  44. Ряд Лорана.
  45. Кольцо сходимости.
  46. Свойства ряда Лорана.
  47. Изолированные особые точки.
  48. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.
  49. Вычет функции.
  50. Теорема о вычетах.
  51. Вычисление вычетов.
  52. Применение вычетов к вычислению интегралов.
  53. Логарифмический вычет.
  54. Принцип аргумента.
  55. Теорема Руше.
  56. Основная теорема алгебры.
  57. Преобразование Лапласа и его свойства.
  58. Оригинал и изображение.
  59. Дифференцирование и интегрирование изображения.
  60. Функция Хевисайда.
  61. Теорема смещения.
  62. Теорема запаздывания.
  63. Теорема подобия.
  64. Свёртка функций.
  65. Изображение основных элементарных функций.
  66. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.
  67. Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом 2пи.
  68. Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом 2l.
  69. Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций.
  70. Разложение непериодической функции в ряд Фурье.
  71. Ряд Фурье в комплексной форме.
  72. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций.
  73. Интеграл Фурье.
  74. Преобразования Фурье.
  75. Интеграл Фурье в комплексной форме.
  76. Множества
  77. Основные операции над множествами.
  78. Отношения и функции.
  79. Мощность множества.
  80. Конечные и бесконечные множества.
  81. Бинарные отношения.
  82. Матрица бинарного отношения.
  83. Отношение эквивалентности.
  84. Фактор-множества.
  85. Отношение порядка.
  86. Алгебраические системы.
  87. Натуральные числа.
  88. Принцип математической индукции.
  89. Системы счисления.
  90. Элементы теории графов.
  91. Ориентированные и неориентированные графы.
  92. Матрица смежности.
  93. Матрица инцидентности.
  94. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
  95. Некоторые задачи теории графов.
  96. Алгебра логики.
  97. Формулы алгебры логики.
  98. Высказывания.
  99. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность.
  100. Функции алгебры логики.
  101. Эквивалентность формул.
  102. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы.
  103. Совершенные нормальные формы.
  104. Минимизация булевых функций.
  105. Карты Карно.
  106. Принцип двойственности.
  107. Полные системы булевых функций.
  108. Функциональная декомпозиция.


Содержание учебной дисциплины “Высшая математика”



I семестр

Вводная лекция.

Математика в инженерных задачах.

Математическое моделирование физических явлений и химических процессов. Примеры.
Элементы линейной алгебры.

Матрицы.

Основные операции над матрицами. Определители матриц n-го порядка и их свойства.
Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Теория Кронекера-Капелли. Решение и исследование СЛАУ методом Гаусса. Однородные системы.
Векторная алгебра.

Векторы.

Линейное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Базис в . Теорема разложения. Евклидово пространство. Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный и ортонормированный базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Элементы линейной аналитической геометрии. Соответствие между геометрическими образами и уравнениями. Плоскость. Прямая и плоскость в пространстве. Различные виды уравнений. Основные задачи на прямую и плоскость. Плоскость и прямая в .
Кривые и поверхности 2-го порядка. Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Преобразование систем координат. Приведение уравнений к каноническому виду. Поверхность 2-го порядка в трехмерном пространстве. Исследование формы методом параллельных сечений. Полярная и цилиндрическая системы координат.


Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Взаимно-однозначное соответсвие. Числовые множества. Теорема Кантора.
Комплексные числа.

Алгебраическая и тригонометрическая форма.

Формула Муавра. Показательная форма.
Предел числовой последовательности и предел функции одной переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых функций. Теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые. Односторонние пределы. Непрерывность функции.
Точки разрыва, их классификация. Теоремы о функциях, непрерывных в точке и на отрезке.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная функции. Производные элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференциал функции.
Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке.
Необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость кривой в точке и на отрезке.
Асимптоты кривой. Общая схема построения графика. Формула Тейлора. Представление важнейших элементарных функций с помощью формулы Тейлора. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Открытые и замкнутые множества. Метрическое пространство. Сходимость в метрическом пространстве. Предел и непрерывность функции. Частные производные и производная по направлению. Градиент скалярного поля. Дифференцируемая функция.
Дифференциал функции. Касательная и нормаль к поверхности. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения функций в области. Условный экстремум.
Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность. Дифференцирование функции. Условия Коши-Римана.
Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница.

II семестр
Неопределенные интегралы. Свойства неопределенных интегралов. Методы замены переменной и интегрирования по частям. Интегрирование рациональных дробей, алгебраических рациональностей, тригонометрических функций.
Определенный интеграл и его приложения. Химические задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям.
Несобственные интегралы, их свойства и вычисление. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда. Приложения определенных интегралов (вычисление площади, объемов, длины дуги, площади поверхности вращения, центра тяжести, моментов инерции). Приближенные методы интегрирования.
Функциональные ряды. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора. Ряды Фурье по ортогональной системе функций. Тригонометрические ряды Фурье.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Задача Коши. Химическая задача с дифференциальными уравнениями. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающих понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теоремы о структуре общего решения ЛОДУ и ЛНДУ. Метод вариации постоянных. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Системы дифференциальных уравнений. Методы интегрирования.
Линейная однородная и неоднородная системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.
Кратные и криволинейные интегралы. Интегральная сумма и определенный интеграл по фигуре. Основные свойства. Геометрический смысл. Вычисление криволинейных интегралов по дуге. Двойной интеграл в декартовой и полярной системах координат. Тройной интеграл.
Вычисление поверхностных интегралов. Формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса.
Векторный анализ и теория поля. Скалярное и векторное поля. Скалярные и векторные поля могут использоваться при решении задачи по физике. Поток вектора через ориентированную поверхность. Дивергенция векторного поля. Солиноидальные поля. Теорема Остроградского Гаусса в векторной записи. Циркуляция. Потенциальное векторное поле. Потенциал. Ротор векторного поля. Теорема Стокса в векторной записи. Потенциальное несжимаемое векторное поле. Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Гамильтона. Задача Дирихле для круга.

III семестр
Системы множеств и элементы комбинаторики. Операции над множествами. Кольцо множеств. Алгебра множеств. -алгебры. Основной принцип комбинаторики. Сочетания, перестановка, размещения.
Случайные события в теории вероятностей. Стохастический эксперимент, пространство элементарных событий. Операции над событиями. Относительна частота события. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство. Статистический и геометрический методы определения вероятности. Условные вероятности. Формула умнолжения. Теорема о полной вероятности. Формула Байеса. Независимые случайные события. Последовательные испытания. Схема Бернули. Предельные теоремы в схеме Бернули.
Случайные величины и функции распределения. Функция распределения и ее свойства. Дискретные случайные величины и формы задания их распределений. Непрерывные с.в. Плотность распределения и ее свойства. Числовые характеристики с.в. Примеры стандартных моделей распределения дискретных и непрерывных с.в. Нормальное распределение. Совместное распределение с.в. Функция и плотность распределения двумерной случайной величины. Теорема о независимости. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева. Теорема Бернули. Случайные процессы. Понятие о задании случайного процесса. Математическое ожидание и корреляционная функция случайного процесса. Процесс Пуассона. Понятие о процессах Маркова.
Элементы математической статистики. Выборочный метод исследования случайной величины. Генеральная и выборочная совокупность. Статистический закон распределения и его графическое представление. Числовые оценки параметров распределения. Метод моментов. Классификация точечных оценок. Принцип максимального правдоподобия. Проверка статистических гипотез. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона.
Элементы дискретной математики. Введение в математическую логику. Логика высказываний. Алгебра логики. Булевы функции. Исчисление высказываний. Алгебраические структуры. Группы, кольца и поля. Элементы теории кодирования. Основные понятия теории графов. Деревья и циклы. Численные характеристики графов. Матрицы, порождаемые графом.



Интересные задачи по физике




Ссылки                   Контакты