Методы оптимизации.

Лекции

1. Решение задачи оптимизации. Параметры оптимизации. Критерий оптимальности. Решение задачи оптимального проектирования. Задачи оптимального планирования. Классы задач оптимизации. Общая задача математического программирования. Допустимые решения. Оптимальное решение задачи. Задача линейного программирования. Целевая функция. (2 часа)

2. Решение задачи нелинейного программирования. Различные задачи математического программирования. Одномерная оптимизация. Методы прямого поиска. Пассивный и последовательный поиск. Методы последовательного поиска. Методы полиномиальной аппроксимации. (2 часа)

3. Минимизация выпуклых функций. Выпуклое множество. Выпуклая функция. Симплекс. Условия минимума выпуклых функций. Матрица Гессе. Критерий Сильвестра. Сильно выпуклые функции. (2 часа)

4. Численные методы безусловной оптимизации. Релаксационная последовательность. Методы спуска. Метод градиентного спуска. (2 часа)

5. Алгоритмы метода градиентного спуска. Метод сопряжённых направлений.

6. Метод Ньютона. Модификации метода Ньютона. (2 часа)

7. Алгоритмы прямого поиска. Использование регулярного и нерегулярного симплексов. (2 часа)

8. Аналитические методы нелинейного программирования. Двойственная функция. Геометрическое программирование. Численные методы нелинейного программирования. (2 часа)

9. Задача оптимальное управление. Методы динамического программирования. Принцип максимума Понтрягина. (2 часа)

Практика

1. Постановка задач оптимизации. Задачи оптимального проектирования. Задачи оптимального планирования. Примеры задач оптимизации. Транспортная задача. (2 часа)

2. Решение задачи линейного программирования. Целевая функция. Графический метод решения задач линейного программирования. (2 часа)

3. Решение задача методами прямого поиска. Метод дихотомии. Метод золотого сечения. Метод Фибоначчи. Полиномиальная аппроксимация. Метод Ньютона. Кубическая аппроксимация. (2 часа)

4. Решение задачи выпуклого программирования. Условия минимума выпуклых функций. Минимизация квадратичных функций. Минимизация позиномов. (2 часа)

5. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом. Различные модификации и компьютерная реализация симплекс-метода. (2 часа)

6. Алгоритмы метода градиентного спуска. (2 часа)

7. Метод Ньютона. (2 часа)

8. Построение вычислительных алгоритмов метода градиентного спуска и метода Ньютона. (2 часа)

9. Решение задачи оптимальное управление. Методы динамического программирования. Принцип максимума Понтрягина. (2 часа)

Математический анализ

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные числа. Числовая прямая. Открытые и замкнутые интервалы. Окрестность точки, ?- и ?-окрестность точки на прямой. Символы общности, существования, принадлежности элемента множеству. Модуль числа. Свойства модуля.

Числовая последовательность

как функция целочисленной переменной. Примеры числовых последовательностей. Факториал. Предел числовой последовательности. Теорема об ограниченности последовательности, имеющей предел. Единственность предела.
Понятие числового ряда, частичные суммы, сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости.

Гармонический ряд

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.
Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Функция. Способы задания и исследования функций, их ограниченность и неограниченность. Основные элементарные функции и их графики (линейная, степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические и логарифмические функции).
Обратные, сложные, параметрически и неявно заданные функции. Векторные функции времени, определяющие движение точки в пространстве.

Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. Пределы сумм, произведений и частного функций, имеющих пределы.
Бесконечно малые функции. Функция как сумма постоянной и бесконечно малой. Сравнение и свойства бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые функции.

на бесконечности и бесконечно большие функции. Замечательные пределы.
Пределы слева и справа. Практические приемы вычисления пределов. Предельные переходы в неравенствах.
Непрерывность функции в точке и на интервале. Локальные свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.
Свойства функций, непрерывных на отрезке. Непрерывность сложной и обратной функции.
Скорость и перемещение точки при движении по прямой. Производная. Дифференцируемость функции.

Дифференциал

Необходимое условие дифференцируемости функции.
Касательная к графику функции. Тангенс угла наклона касательной. Уравнение касательной и нормали. Линеаризация дифференцируемых функций. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Правила дифференцирования. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производные основных элементарных функций.
Ускорение точки, движущейся по прямой. Вторая производная. Второй закон Ньютона. Производные и дифференциалы высших порядков.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей.
Формулы Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для функции. Остаточный член. Формула Маклорена.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций exp х, sin x, cos x, ln (1+x) в ряд Маклорена. Биноминальный ряд.
Монотонность функции. Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты. Исследование функции.
Точечные множества в пространстве R2 и их элементарные топологические понятия и свойства: окрестности точки в R2; предельная, внутренняя, изолированная и граничные точки множества, открытые и замкнутые множества, связные множества. Область пространства.
Распределение температур, плотности и т. п. величин на плоскости. Функция двух переменных. Линии уровня. Графическое изображение функции двух переменных. Предел и непрерывность функций двух переменных.
Производная по направлению и частные производные. Формула, выражающая производную по направлению через частные производные.
Дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Производные сложных функций. Дифференцирование функций одной переменной, заданных неявным образом.
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных.
Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой ограниченной области.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Функции трех и более переменных. Поверхности уровня. Пределы, непрерывность, дифференцируемость.

Интегрирование

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства первообразной и неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
Методы интегрирования: подведение под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям.

Интегрирование рациональных функций

Интегрирование иррациональных, тригонометрических и гиперболических функций. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
Задачи определения массы стержня с переменной плотностью и площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
Свойства определённого интеграла. Теорема о среднем. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям.
Вычисление площадей плоских фигур в декартовай и полярной системе координат.
Площадь неограниченной области. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Дирихле. Интегральный признак Коши.
Несобственные интегралы от неограниченных функций. Теоремы сравнения.
Длина дуги. Вычисление длины дуги плоской кривой в декартовой и полярной системе координат.
Кривизна кривой. Радиус кривизны. Центр кривизны.
Приближенное вычисление определённых интегралов при помощи степенных рядов. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона.

Кратные интегралы и векторный анализ

Масса дуги кривой с переменной линейной плотностью. Криволинейный интеграл по длине дуги.
Задачи о массе пластины с переменной плотностью. Объём тела. Двойной интеграл как пределы интегральных сумм.
Масса пространственного тела. Тройной интеграл.
Свойства кратных интегралов. Обобщение на n-мерный случай.
Правильная область. Повторный интеграл. Свойства повторного интеграла.
Вычисление двойных и тройных интегралов посредством сведения к повторным. Криволинейные координаты на плоскости. Якобиан и его геометрический смысл.
Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным и обобщённым полярным координатам.
Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим координатам и сферическим координатам.
Геометрические и механические приложения кратных интегралов. Статический момент, моменты инерции, изгибающий и крутящий моменты.
Площадь поверхности. Поверхностный интеграл по площади поверхности. Определение заряда, распределённого по поверхности с переменной поверхностной плотностью.
Движение точки в пространстве. Траектория, скорость и ускорение. Векторная функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность векторной функции.
Производная векторной функции. Правила дифференцирования векторов.
Касательная, главная нормаль и бинормаль кривой. Соприкасающаяся плоскость. Поле температуры сплошной среды, поле вектора скорости. Скалярные и векторные поля. Векторные линии. Уравнение векторной линии.
Градиент скалярного поля. Свойства градиента. Связь градиента и производной по направлению.
Векторный оператор «набла». Дифференциальные операторы 2-го порядка. Их механический смысл.
Поток жидкости через поверхность. Магнитный поток. Поток векторного поля.
Вычисление потока.
Закон Остроградского-Гаусса. Формула Остроградского. Дивергенция.
Катушка индуктивности (соленоид). Соленоидальное векторное поле. Векторная трубка.
Работа векторного поля вдоль ориентированной кривой. Криволинейный интеграл в векторном поле. Циркуляция.
Вычисление криволинейного интеграла.
Формула Грина.
Формула Стокса. Ротор векторного поля.
Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования. Безвихревое векторное поле.
Электростатическое и гравитационное поля. Вектор напряжённости и потенциал. Потенциальное векторные поля. Эквипотенциальные поверхности. Работа, потенциальная энергия. Закон сохранения энергии.
Синтетический обзор изученного материала.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Уравнение движения материальной точки под действием силы тяжести и силы сопротивления. Уравнение радиоактивного распада. Уравнения 1-го порядка. Общее и частное решения.
Поле направлений, интегральные кривые. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения приводящиеся к однородным.
Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли и метод Лагранжа. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.
Огибающая семейства решений. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение второго и высших порядков. Общее решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
Задача о второй космической скорости. Уравнения допускающие понижение порядка.
Гармонические колебания маятника и пружины. Электромагнитные колебания. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Общее решение. Выбор частного решения в зависимости от вида правой части.
Задачи о колебаниях маятника, пружины и т.п. при наличии трения и вынуждающей силы. Резонанс.
Задача об устойчивости стержня. Интегрирование дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции.
Общий случай неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Суперпозиция решений.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
Задача о движении материальной точки в пространстве. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, частные и общее решения.
Интегрирование системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Понятие о теории устойчивости Ляпунова.
Траектория дифференциального уравнения в окрестности особой точки.
Приложение степенных рядов к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Уравнения математической физики. Уравнение теплопроводности, волновое уравнение и уравнение Лапласа.

Ряды

1. Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.
2. Признаки сравнения рядов. Признаки Д’Аламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.
3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Теорема Лейбница.
4. Функциональный ряд. Область сходимости. Степенной ряд. Теорема Абеля.
5. Ряды Тейлора и Маклорена. Биноминальный ряд. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Применение рядов в приближённых вычислениях.
Задачи по Кузнецову:4.1; 5.1; 6.1; 7.1; 8.1.

Функции комплексного переменного

6. Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Формула Эйлера.
7. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула Муавра.
8. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного.
9. Ряды с комплексными членами. Представление экспоненциальной, тригонометрических и гиперболических функций при помощи рядов.
10. Показательная и логарифмическая функции. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции.
11. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Производная. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.
12. Интеграл от функции комплексного переменного. Первообразная и неопределённый интеграл. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге.
13. Теорема Коши для односвязной области. Теорема Коши для многосвязной области. Интегральная формула Коши.
14. Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Свойства ряда Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.
15. Вычет функции. Теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов.

Операционное исчисление и ряды Фурье.

16. Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и изображение. Дифференцирование и интегрирование изображения. Функция Хевисайда.
17. Изображение основных элементарных функций. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.
18. Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом .
19. Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье.
Разложить функцию в ряд Фурье на отрезке

Элементы дискретной математикии

20. Множества и основные операции над множествами. Отношения и функции. Мощность множества. Конечные и бесконечные множества.
21. Натуральные числа. Принцип математической индукции.
22. Элементы теории графов. Ориентированные и неориентированные графы. Матрица смежности. Матрица инцидентности. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
23. Алгебра логики. Формулы алгебры логики. Высказывания. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность. Функции алгебры логики.

Вариационное исчисление и теория оптимального управления.

Лекции

1. Функционал. Вариационное исчисление. Вариационная задача. Вариация функционала. Необходимое условие экстремума функционала имеющего вариацию. Экстремали. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Примеры. Различные случаи интегрируемости уравнений Эйлера. Задача о наименьшей поверхности вращения. Задача о брахистохроне. (2 часа)
2. Экстремум функционала, зависящего от нескольких функций и их первых производных. Экстремум функционала, зависящего от функции и её высших производных. Уравнения Эйлера-Пуассона. Экстремум функционала, зависящего от функции нескольких независимых переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского. (2 часа)
3. Вариационные задачи с подвижными границами. Экстремали с угловыми точками. Задача об отражении экстремалей. Задача о преломлении экстремалей. (2 часа)
4. Достаточные условия экстремума. Уравнение Якоби. Функция Вейерштрасса. (2 часа)
5. Прямые методы в вариационных задачах. Метод Эйлера. Метод Ритца. Некоторые приложения вариационного исчисления. (2 часа)
6. Вариационные задачи на условный экстремум функционала. Различные виды связей. Голономные и неголономные связи. Изопериметрические задачи. (2 часа)
7. Задача оптимального управления. Управляющая функция. Принцип максимума Понтрягина. (2 часа)
8. Методы динамического программирования. Некоторые прикладные задачи динамического программирования. (2 часа)

Практические занятия

1. Функционал. Вариационные задачи. Вариация. Задачи на экстремум. Необходимое условие экстремума функционала. Экстремали. Уравнение Эйлера. Задачи на составление и решение уравнения Эйлера. Различные случаи интегрируемости уравнений Эйлера. (2 часа)
2. Экстремум функционала, зависящего от нескольких функций. Экстремум функционала, зависящего от функции и её высших производных. Уравнения Эйлера-Пуассона. Уравнение Эйлера-Остроградского. (2 часа)
3. Функционалы с подвижными границами. Экстремали с угловыми точками. Задачи об отражении и преломлении экстремалей. (2 часа)
4. Определение слабого и сильного экстремумов при помощи достаточных условий. Задачи на составление уравнений Якоби и функции Вейерштрасса. (2 часа)
5. Применение прямых методов для решения вариационных задач. Контрольная работа 1 час. (2 часа)
6. Вариационные задачи на условный экстремум функционала. Изопериметрические задачи. (2 часа)
7. Задача оптимального управления. Управляющая функция. Принцип максимума Понтрягина. (2 часа)
8. Некоторые классические задачи динамического программирования. Прикладные задачи динамического программирования. (2 часа)

Рекомендованная литература

1. Эльсгольц Л. Э., Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, “Наука”,
2. Киселёв А. И., Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Вариационное исчисление. Задачи и упражнения, “УРСС”,

Матанализ

1
Функция нескольких переменных, её область определения, график. Поверхности и линии уровня. 2
Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные. 3
Производная по направлению. Градиент. Производные сложных функций. Производные неявно заданных функций. Полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 4
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. 5
Экстремумы функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения. Условные экстремумы. Контрольная работа «Функции нескольких переменных». 6
Двойной интеграл в декартовых координатах. Расстановка пределов интегрирования. Перемена порядка интегрирования. Вычисление интегралов. 7
Двойной интеграл в полярных координатах. Обобщенные полярные координаты. Геометрические приложения двойного интеграла. 8-9
Тройной интеграл в декартовых координатах. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Тройной интеграл в сферических координатах. 10
Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. 11
Поверхностные интегралы 1-го рода и 2-го рода. 12
Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса. 13
Циркуляция. Ротор. Формула Стокса. 14
Потенциальное поле. Криволинейный интеграл в потенциальном поле. Операторы Гамильтона и Лапласа. Контрольная работа «Интегрирование функций нескольких переменных. Векторный анализ». 15
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах. 16
Дифференциальные уравнения высших порядков. Методы понижения порядка уравнения. 17
Однородные линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа. 18
Метод неопределенных коэффициентов. Принцип суперпозиции при решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений -го порядка. Контрольная работа «Дифференциальные уравнения». 19
Системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей. Критерий устойчивости и неустойчивости решения системы дифференциальных уравнений по первым приближениям.

Теорвер.

Классическое и статистическое определения вероятностей
Геометрические вероятности
2
Теоремы сложения и умножения вероятностей
3
Формула полной вероятности
Формулы Байеса
4
Формулы Бернулли, Пуассона, Муавра-Лапласа
Контрольная работа «Случайные события»
5
Закон распределения дискретной случайной величины
Гипергеометрический и биномиальный законы распределения
Геометрический и Пуассоновский законы распределения
6
Функция распределения вероятностей случайной величины
Плотность распределения непрерывной случайной величины
7
Системы двух случайных величин
Контрольная работа «Закон распределения случайной величины»
8
Функция одной случайной величины
Функция двух случайных величин
9
Числовые характеристики дискретных случайных величин
Моменты распределения
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Неравенство и теорема Чебышева
10
Выборочный метод
Эмпирическая функция распределения
Полигон и гистограмма
11
Функция правдоподобия
Точечные и интервальные оценки
Контрольная работа «Числовые характеристики случайных величин»