• Главная
• Решебники
• Сделать заказ
• Онлайн экзамен
• Оплата
• Расценки
• Примеры
• Как это работает
• Вопросы и ответы
• Гарантии
• Контакты
• Математика
• Физика
• Статьи
• Кузнецов
• Чертов
• Арутюнов
• Решение задач
• Партнёры
• Ссылки

Список некоторых вопросов по математике

Алгебра и аналитическая геометрия

Решение задач по алгебре и геометрии предполагает изучение теоретического материала по следующим темам: Скалярные и векторные физические величины. Сила, перемещение, скорость, угловая скорость, момент.

Вектор

как направленный отрезок прямой. Коллинеарные и компланарные векторы. Нулевой вектор. Длина вектора. Равенство векторов. Элементарные операции над векторами: сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства элементарных операций над векторами. Векторное пространство.
Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Базис на прямой,

базис на плоскости и базис в пространстве. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат. Радиус вектор. Координаты точки. Столбец координат. Изоморфизм пространства радиус-векторов и векторов-столбцов их координат. Векторы размерности n. Арифметическое пространство.

Скалярное произведение векторов

Задачи по геометрии на свойства скалярного произведения. Проекция вектора. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
Правая и левая тройки векторов.

Векторное произведение векторов

Свойства векторного произведения. Площадь параллелограмма.

Смешанное произведение векторов

Свойства смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда. Двойное векторное произведение.

Определитель

второго и третьего порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

Уравнение прямой на плоскости и в пространстве.

Уравнение плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
Необходимо решить задачу по алгебре с использованием системы линейных уравнений. Правило Крамера.

Матрицы,

линейное пространство матриц порядка m?n. Квадратные матрицы. Нулевая и единичная матрицы. Перемножение матриц.
Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).

Ранг матрицы.

Невырожденная квадратная матрица. Понятие обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Матричная запись решения системы n уравнений с n неизвестными.
Система m линейных уравнений с n неизвестными.

Метод Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли о существовании решения системы n уравнений с m неизвестными.

Система линейных уравнений.

Пространство решений. Размерность пространства решений. Общее решение однородной системы линейных уравнений.
Неоднородная система линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
Линейный оператор над векторным пространством и его матрица.

Собственные векторы

и собственные значения линейных операторов.
Преобразование поворота декартовой прямоугольной системы координат. Понятие вектора как инвариантного объекта.
Мнимая единица.

Комплексные числа.

Решение квадратных уравнений. Комплексные числа как пространство пар действительных чисел и как двумерное векторное пространство. Изображение комплексных чисел и линейные действия с ними. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи.
Перемножение комплексных чисел. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Деление комплексных чисел, извлечение корней. Действительное подпространство комплексных чисел.
Многочлен. Корень многочлена. Теорема Безу. Наличие действительного корня у многочлена с действительными коэффициентами нечетной степени. Сопряженные комплексные корни и разложение на линейные и квадратичные множители.

Основная теорема алгебры.

Деление многочленов. Дробная рациональная функция. Правильные и неправильные дроби. Выделение целой части из неправильной дроби. Простейшие дроби. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
Эллипс, гипербола, парабола. Определение и геометрические свойства. Канонические и параметрические уравнения этих кривых. Траектории планет.
Поверхность вращения. Цилиндрические и конические поверхности. Канонические уравнения поверхностей второго порядка – сферы, эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов, седловая точка. Конусы и цилиндры.

Полярная система координат на плоскости

Связь между координатами точки в полярной и декартовой системе координат.
Цилиндрическая и сферическая система координат в пространстве. Формулы связи между координатами.


Чтобы решить задачи необходимо иметь навыки по следующим темам:

1. Векторы. Длина вектора. Координаты вектора. Направляющие косинусы. Сложение векторов и умножение вектора на число. Коллинеарные и компланарные векторы. Орт вектора.
2. Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Разложение вектора по базису.
3. Линейное пространство. Базис и размерность линейного пространства.
4. Определители второго и третьего порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей.
5. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Вычисление площади параллелограмма. Условие коллинеарности. Смешанное произведение векторов. Вычисление объёма параллелепипеда. Условие компланарности векторов.
6. Уравнение прямой на плоскости.
7. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
8. Система линейных уравнений. Правило Крамера.
9. Матрицы. Действия над матрицами. Умножение матриц. Транспонирование матриц. Ранг матрицы. Способы отыскания ранга матрицы.
10. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).
11. Обратная матрица. Матричные уравнения. Решение систем линейных уравнений матричным методом.
12. Условие совместности системы. Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
13. Общее решение однородной системы n уравнений с m неизвестными. Общее решение неоднородной системы n уравнений с m неизвестными.
14. Линейный оператор и его матрица в данном базисе. Собственные векторы линейного оператора.
15. Комплексные числа. Действия над комплексными числами. Решение квадратных уравнений. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы записи. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Формула Муавра.
16. Многочлен. Корень многочлена. Теорема Безу. Наличие действительного корня у многочлена с действительными коэффициентами нечетной степени. Сопряженные комплексные корни и разложение на линейные и квадратичные множители. Основная теорема алгебры.
*********************************************************************************************** Системы координат на плоскости и в пространстве. Вектор, его координаты, длина, направляющие косинусы. Линейные операции над векторами.
Разложение вектора по базису. Коллинеарные векторы Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов. Плоскость. Различные виды уравнения плоскости.
Уравнения прямой на плоскости и в пространстве. Контрольная работа «Аналитическая геометрия».
Матрицы. Действия над матрицами. Определители и их основные свойства. Разложение определителя по элементам строки и столбца.
Обратная матрица. Матричные уравнения.
Системы линейных уравнений. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Решения систем линейных уравнений: а) по правилу Крамера, б) матричным методом, в) методом Гаусса.
Линейное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и размерность линейного пространства.
Структура общего решения однородной системы линейных уравнений. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений.
Линейный оператор и его матрица в данном базисе. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Контрольная работа «Линейная алгебра».
Квадратичные формы. Уравнения линии второго порядка.
Эллипс. Гипербола. Парабола.
Поверхности второго порядка.
Предел функции в бесконечности. Предел числовой последовательности. Предел функции в точке. Простейшие приёмы вычисления пределов.
Бесконечно малые функции, их свойства. Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение при вычислении пределов. Бесконечно большие функции.
Односторонние пределы функции в точке. Непрерывность функции в точке. Условие непрерывности. Виды точек разрыва. Асимптоты графика функции.
Контрольная работа «Пределы».
Понятие производной. Таблица производных. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного. Геометрический и физический смысл производной.
Дифференциал функции. Производная сложной функции.
Логарифмическая производная. Производные высших порядков. Правило Лопиталя. Формула Тейлора и Маклорена.
Исследование функций с помощью производных первого и второго порядка. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Общая схема исследования функции и построение её графика. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Исследование кривых, заданных параметрическими уравнениями и уравнениями в полярных координатах. Контрольная работа «Дифференцирование. Графики».
Простейшие приемы интегрирования. Метод подведения под знак дифференциала. Метод выделения полного квадрата. Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Интегрирование рациональных функций. Интегралы от дробно-линейной и квадратичной иррациональности.
Интегрирование биномиальных и тригонометрических выражений.
Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Теорема о среднем. Вычисление определённого интеграла по частям. Замена переменной в определённом интеграле.
Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление длин дуг плоских кривых.
Несобственные интегралы с бесконечными пре¬делами интегрирования. Исследование на сходимость.
Несобственные интегралы от неограниченных функции. Исследование на сходимость.КР Интеграл
***********************************************************************************************

Лекции
ТФКП, преобразование Лапласа, ряды Фурье

1. Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Формула Муавра. Расширенная комплексная плоскость. Множество точек на плоскости.

2. Функции комплексного переменного. Предел функции. Дифференцируемость функции. Условия Коши-Римана. Производная. Аналитичность.

3. Степенная, показательная, логарифмическая функции. Функция Жуковского Тригонометрические и гиперболические функции. Общая степенная функция. Действительная и мнимая части. Свойства.

4. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.

5. Ряды с комплексными членами. Степенные ряды. Теорема Абеля. Определение элементарных функций с помощью рядов. Формула Эйлера.

6. Интеграл от функции комплексного переменного (интеграл по дуге). Теорема существования и формула, выражающая интеграл от ФКП через криволинейные интегралы. Сведение к определённому интегралу.

7. Первообразная. Неопределённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

8. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Формула, выражающая n-производную через контурный интеграл. Теорема Морера.

9. Ряд Тейлора.

10. Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Теорема Лорана. Главная и правильная части. Свойства рядов Лорана.

11. Изолированные особые точки и их классификация. Устранимая особая точка. Полюс. Существенно-особая точка. Нуль функции. Порядок нуля и порядок полюса.

12. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности полюса. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности существенно-особой точки. Характер особенности в бесконечно-удалённой точке.

13. Вычет функции. Теорема о вычетах.

14. Вычет функции в особых точках.

15. Вычисление контурных интегралов при помощи вычетов. Вычисление определённых и несобственных интегралов при помощи вычетов.

16. Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал. Изображение. Свойства преобразования Лапласа.

17. Дифференцирование и интегрирование оригинала.

18. Теорема смещения. Теорема запаздывания. Свёртка функций. Теорема свёртывания. Теорема подобия.

19. Изображения элементарных функций.

20. Отыскание оригиналов с рациональным изображением.

21. Интегрирование дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

22. Ортогональность семейства функций. Тригонометрические ряды. Коэффициенты Фурье. Ряды Фурье. Теорема Дирихле.

23. Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2l.

24. Сходимость ряда Фурье.

25. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

26. Ряд Фурье в комплексной форме.

27. Практический гармонический анализ.

28. Ортогональная система функций. Разложение в ряд Фурье по полной ортогональной системе функций. Функции Бесселя. Многочлены Лежандра.

29. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.

Алгебра и аналитическая геометрия.

1. Скалярные и векторные физические величины. Сила, перемещение, скорость, угловая скорость, момент. Вектор как направленный отрезок прямой. Коллинеарные и компланарные векторы. Нулевой вектор. Длина вектора. Равенство векторов. Элементарные операции над векторами: сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства элементарных операций над векторами. Векторное пространство.
2. Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис на прямой, базис на плоскости и базис в пространстве. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
3. Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат. Радиус вектор. Координаты точки. Столбец координат. Изоморфизм пространства радиус-векторов и векторов-столбцов их координат. Векторы размерности n. Арифметическое пространство.
4. Работа силы на перемещение. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Проекция вектора. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
5. Момент силы. Правая и левая тройки векторов. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Площадь параллелограмма.
6. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда. Двойное векторное произведение.
7. Определитель второго и третьего порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты сомножителей.
8. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Траектория точки, движущейся по инерции (I закон Ньютона). Уравнение плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
9. Система линейных уравнений. Правило Крамера.
10. Матрицы, линейное пространство матриц порядка mXn. Квадратные матрицы. Нулевая и единичная матрицы. Перемножение матриц.
11. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу). Ранг матрицы.
12. Невырожденная квадратная матрица. Понятие обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Матричная запись решения системы n уравнений с n неизвестными.
13. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли о существовании решения системы n уравнений с m неизвестными.
14. Однородная систем линейных уравнений. Пространство решений. Размерность пространства решений. Общее решение однородной системы линейных уравнений. 15. Неоднородная система линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
16. Линейный оператор над векторным пространством и его матрица. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
17. Преобразование поворота декартовой прямоугольной системы координат. Понятие вектора как инвариантного объекта.
18. Мнимая единица. Комплексные числа. Решение квадратных уравнений. Комплексные числа как пространство пар действительных чисел и как двумерное векторное пространство. Действия над комплексными числами.
19. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи. Формула Эйлера. Формула Муавра. Показательная форма комплексного числа. Комплексная плоскость. Расширенная комплексная плоскость.
20. Многочлен. Корень многочлена. Теорема Безу. Сопряженные комплексные корни и разложение на линейные и квадратичные множители. Основная теорема алгебры.
21. Деление многочленов. Дробная рациональная функция. Правильные и неправильные дроби. Выделение целой части из неправильной дроби. Простейшие дроби. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
22. Эллипс, гипербола, парабола. Определение и геометрические свойства. Канонические и параметрические уравнения этих кривых. Траектории планет.
23. Поверхность вращения. Цилиндрические и конические поверхности. Конусы и цилиндры. Канонические уравнения поверхностей второго порядка – сферы, эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов. Башня Шухова. Прожектор.
24. Полярная система координат на плоскости. Связь между координатами точки в полярной и декартовой системе координат.
25. Цилиндрическая и сферическая система координат в пространстве. Формулы связи между координатами.

Математический анализ.

1. Натуральные, целые, рациональные, иррациональные числа. Числовая прямая. Открытые и замкнутые интервалы. Окрестность точки, ?- и ?-окрестность точки на прямой. Символы общности, существования, принадлежности элемента множеству. Модуль числа. Свойства модуля.
2. Числовая последовательность как функция целочисленной переменной. Примеры числовых последовательностей. Факториал. Предел числовой последовательности. Теорема об ограниченности последовательности, имеющей предел. Единственность предела.
3. Понятие числового ряда, частичные суммы, сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
4. Исследование сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.
5. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов. 6. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
7. Функция. Способы задания функций. Параметрически и неявно заданные функции. Основные элементарные функции и их графики (линейная, степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические и логарифмические функции).
8. Предел функции. Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. Пределы сумм, произведений и частного функций, имеющих пределы.
9. Бесконечно малые функции. Функция как сумма постоянной и бесконечно малой. Сравнение и свойства бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые функции.
10. Ограниченные и неограниченные функции. Пределы на бесконечности и бесконечно большие функции.
11. Замечательные пределы. Пределы слева и справа. Практические приемы вычисления пределов. Предельные переходы в неравенствах.
12. Непрерывность функции в точке и на интервале. Локальные свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.
13. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Непрерывность сложной и обратной функции.
14. Скорость и перемещение точки при движении по прямой. Производная. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Необходимое условие дифференцируемости функции.
15. Касательная к графику функции. Тангенс угла наклона касательной. Уравнение касательной и нормали. Линеаризация дифференцируемых функций. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
16. Правила дифференцирования. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производные основных элементарных функций.
17. Ускорение точки, движущейся по прямой. Вторая производная. Второй закон Ньютона. Производные и дифференциалы высших порядков.
18. Теоремы о дифференцируемых функциях: Ролля, Лагранжа, Коши.
19. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей вида.
20. Формулы Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для функции. Остаточный член. Формула Маклорена.
21. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций exp х, sin x, cos x, ln (1+x) в ряд Маклорена. Биноминальный ряд.
22. Применение рядов Тейлора и Маклорена для вычисление пределов, приближённых вычислений и исследование поведения функции в критических точках.
23. Монотонность функции. Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
24. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты. Исследование функции.
25. Точечные множества в пространстве. Окрестности точки; предельная, внутренняя, изолированная и граничные точки множества, открытые и замкнутые множества, связные множества. Область пространства.
26. Распределение температур, плотности и т. п. величин на плоскости. Функция двух переменных. Линии уровня. Графическое изображение функции двух переменных. Предел и непрерывность функций двух переменных.
27. Производная по направлению и частные производные. Формула, выражающая производную по направлению через частные производные.
28. Дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал.
29. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Применение дифференциала для приближённых вычислений.
30. Производные сложных функций. Дифференцирование функций одной переменной, заданных неявным образом.
31. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных.
32. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
33. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой ограниченной области.
34. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
35. Распределение скалярной физической величины в пространстве и времени. Функции трех и более переменных. Многомерный континуум – пространство. Поверхности уровня. Пределы, непрерывность, дифференцируемость.

Интегрирование.

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства первообразной и неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
2. Методы интегрирования: подведение под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям.
3. Интегрирование рациональных функций.
4. Интегрирование иррациональных, тригонометрических и гиперболических функций. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
5. Задачи определения массы стержня с переменной плотностью и площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
6. Свойства определённого интеграла. Теорема о среднем. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
7. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям.
8. Вычисление площадей плоских фигур в декартовай и полярной системе координат. 9. Площадь неограниченной области. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Дирихле.
10. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Теоремы сравнения. 11. Длина дуги. Вычисление длины дуги плоской кривой в декартовой и полярной системе координат.
12. Кривизна кривой. Радиус кривизны. Центр кривизны.
13. Приближенное вычисление определённых интегралов при помощи степенных рядов. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1. Предметные задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Уравнение движения материальной точки под действием силы тяжести и силы сопротивления. Уравнение радиоактивного распада. Уравнения 1-го порядка. Общее и частное решения.
2. Поле направлений, интегральные кривые. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
3. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения приводящиеся к однородным.
4. Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли и метод Лагранжа. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.
5. Огибающая семейства решений. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка.
6. Дифференциальное уравнение второго и высших порядков. Общее решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
7. Задача о второй космической скорости. Уравнения допускающие понижение порядка.
8. Гармонические колебания. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. 9. Задачи о колебаниях маятника, пружины и т.п. при наличии трения и вынуждающей силы. Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Общее решение. Выбор частного решения в зависимости от вида правой части.
10. Задача об устойчивости стержня. Интегрирование дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции.
11. Общий случай неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Суперпозиция решений.
12. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
13. Задача о движении материальной точки в пространстве. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, частные и общее решения.
14. Интегрирование системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
15. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Траектория дифференциального уравнения в окрестности особой точки.
16. Приложение степенных рядов к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
17. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Кратные интегралы и векторный анализ.

1. Масса дуги кривой с переменной линейной плотностью. Криволинейный интеграл по длине дуги.
2. Задачи о массе пластины с переменной плотностью. Объём тела. Двойной интеграл как пределы интегральных сумм.
3. Масса пространственного тела. Тройной интеграл.
4. Свойства кратных интегралов. Обобщение на n-мерный случай.
5. Правильная область. Повторный интеграл. Свойства повторного интеграла.
6. Вычисление двойных и тройных интегралов посредством сведения к повторным.
7. Криволинейные координаты на плоскости. Якобиан и его геометрический смысл. 8. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным и обобщённым полярным координатам.
9. Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим координатам и сферическим координатам.
10. Геометрические и механические приложения кратных интегралов. Статический момент, моменты инерции, изгибающий и крутящий моменты.
11. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл по площади поверхности. Определение заряда, распределённого по поверхности с переменной поверхностной плотностью.
12. Движение точки в пространстве. Траектория, скорость и ускорение. Векторная функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность векторной функции.
13. Производная векторной функции. Правила дифференцирования векторов.
14. Касательная, главная нормаль и бинормаль кривой. Соприкасающаяся плоскость. 15. Поле температуры сплошной среды, поле вектора скорости. Скалярные и векторные поля. Векторные линии. Уравнение векторной линии.
16. Градиент скалярного поля. Свойства градиента. Связь градиента и производной по направлению.
17. Векторный оператор «набла». Дифференциальные операторы 2-го порядка. Их механический смысл.
18. Поток жидкости через поверхность. Магнитный поток. Поток векторного поля. 19. Вычисление потока.
20. Закон Остроградского-Гаусса. Формула Остроградского. Дивергенция.
21. Катушка индуктивности (соленоид). Соленоидальное векторное поле. Векторная трубка.
22. Работа векторного поля вдоль ориентированной кривой. Криволинейный интеграл в векторном поле. Циркуляция.
23. Вычисление криволинейного интеграла.
24. Формула Грина.
25. Формула Стокса. Ротор векторного поля.
26. Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования. Безвихревое векторное поле.
27. Электростатическое и гравитационное поля. Вектор напряжённости и потенциал. Потенциальное векторные поля. Эквипотенциальные поверхности. Работа, потенциальная энергия. Закон сохранения энергии.

Алгебра и аналитическая геометрия.

1. Векторы. Длина вектора. Координаты вектора. Направляющие косинусы. Сложение векторов и умножение вектора на число. Коллинеарные и компланарные векторы. Орт вектора.
2. Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Разложение вектора по базису.
3. Линейное пространство. Базис и размерность линейного пространства.
4. Определители второго и третьего порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей.
5. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Вычисление площади параллелограмма. Условие коллинеарности. Смешанное произведение векторов. Вычисление объёма параллелепипеда. Условие компланарности векторов.
6. Уравнение прямой на плоскости.
7. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
8. Система линейных уравнений. Правило Крамера.
9. Матрицы. Действия над матрицами. Транспонирование матриц. Ранг матрицы. Способы отыскания ранга матрицы.
10. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).
11. Умножение матриц. Обратная матрица.
12. Матричные уравнения. Решение систем линейных уравнений матричным методом.
13. Условие совместности системы. Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
14. Общее решение однородной системы n уравнений с m неизвестными. Общее решение неоднородной системы n уравнений с m неизвестными.
15. Линейный оператор и его матрица в данном базисе. Собственные векторы линейного оператора.
16. Комплексные числа. Действия над комплексными числами. Решение квадратных уравнений. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы записи. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Формула Муавра.
17. Многочлен. Корень многочлена. Разложение многочлена на линейные и квадратичные множители. Деление многочленов. Дробная рациональная функция. Выделение целой части из неправильной дроби. Простейшие дроби. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
18. Эллипс, гипербола, парабола. Построение. Геометрические свойства. Канонические и параметрические уравнения этих кривых.
19. Изображение поверхностей второго порядка. Поверхности вращение. Конусы и цилиндры. Сфера. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды.
20. Полярная система координат на плоскости. Построение линий в полярной системе координат. Связь между координатами точки в полярной и декартовой системе координат. Цилиндрическая и сферическая система координат в пространстве. Формулы связи между координатами.

Математический анализ.

1. Предел последовательности. Вычисление пределов последовательности.
2. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Оценка остаточного члена ряда.
3. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов. Оценка остаточного члена ряда.
4. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Исследование сходимости степенного ряда на концах интервала.
5. Графики основных элементарных функций. Основные приёмы построения графиков. Гиперболические функции и их графики.
6. Функции. Способы задания и исследования функций, их ограниченность и неограниченность. Основные элементарные функции и их графики (линейная, степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические и логарифмические функции).
7. Предел функции в точке. Вычисление пределов. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые функции. 8. Пределы на бесконечности. Замечательные пределы. Односторонние пределы. Приёмы вычисления пределов.
9. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
10. Производная. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций. 11. Касательная и нормаль к графику функции. Задачи на применение производных в механике, физике и геометрии.
12. Дифференциал. Применение дифференциала к приближённым вычислениям.
13. Производная обратной функции. Производная сложной функции.
14. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций заданных параметрически.
15. Повторное дифференцирование. Производные и дифференциалы высших порядков.
16. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей.
17. Формулы Тейлора и Маклорена. Применение к исследованию локального поведения функции. Вычисление пределов. Приближённые вычисления.
18. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функции в ряд. Область сходимости. Дифференцирование и интегрирование ряда.
19. Исследование функции с помощью производной первого порядка. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
20. Исследование функции с помощью производных первого и второго порядков.
21. Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты. Построение графика функции при помощи асимптот
22. Общая схема исследования функции. Построение графиков.
23. Функции двух переменных. Область определения. График. Линии уровня. Предел функции. Непрерывность.
24. Частные производные, производные по направлению. Дифференцируемость функции, полный дифференциал.
25. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Применение полного дифференциала к приближённым вычислениям.
26. Производные сложных функций. Производные неявных функций.
27. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
28. Формула Тейлора. Применение формулы Тейлора к приближённым вычислениям. 29. Экстремумы функции. Исследование на экстремум.
30. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой ограниченной области.
31. Функция трёх переменных. Область определения. Поверхности уровня. Частные производные. Производная по направлению. Дифференциал. Производные высших порядков.

Интегрирование.

1. Простейшие приёмы интегрирования: подведение под знак дифференциала; выделение полного квадрата.
2. Замена переменной в неопределённм интеграле. Формула интегрирования по частям.
3. Интегрирование рациональных выражений.
4. Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений.
5. Определённый интеграл. Теорема о среднем. Площадь криволинейной трапеции. Производная интеграла по верхнему и нижнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
6. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям.
7. Вычисление площадей плоских фигур в декартовай системе координат.
8. Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат. Вычисление объёмов.
9. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Исследование сходимости.
10. Вычисление длины дуги плоской кривой в декартовой и полярной системе координат.
14. Приближенное вычисление определённых интегралов при помощи степенных рядов. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения приводящиеся к однородным.
2. Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли и метод Лагранжа. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.
3. Дифференциальное уравнение второго и высших порядков. Методы понижения порядка.
4. Решение некоторых задач приводящих к дифференциальным уравнениям.
5. Однородное линейное дифференциальное уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
6. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Общее решение. Выбор частного решения в зависимости от вида правой части.
7. Суперпозиция решений. Метод Лагранжа.
8. Задачи о колебаниях маятника, пружины и т.п. при наличии трения и вынуждающей силы. Резонанс.
9. Интегрирование дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями. Устойчивость стержня. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции.
10. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
11. Интегрирование системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
12. Приложение степенных рядов к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Кратные интегралы и векторный анализ.

1. Криволинейный интеграл по длине дуги.
2. Двойной интеграл в декартовых координатах. Вычисление двойного интеграла посредством сведения к повторному. Перемена порядка интегрирования.
3. Вычисление объёмов тел, моментов инерции и статических моментов сечений. Вычисление массы плоской пластины.
4. Двойной интеграл в полярных и обобщённых полярных координатах.
5. Тройной интеграл в декартовых координатах. Вычисление тройного интеграла посредством сведения к повторному.
6. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Геометрические и механические приложения.
7. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл по площади поверхности.
8. Производная векторной функции. Правила дифференцирования векторов. Уравнение векторной линии.
9. Градиент скалярного поля. Оператор «набла».
10. Поток векторного поля. Вычисление потока.
11. Формула Остроградского. Дивергенция.
12. Криволинейный интеграл в векторном поле. Циркуляция. Работа векторного поля вдоль ориентированной кривой. Вычисление криволинейного интеграла. Формулы Грина и Стокса.
13. Потенциальное векторное поле. Криволинейный интеграл в потенциальном векторном поле.

Множества. Логические символы.
Множества, операции над ними. Логические символы. Основные виды числовых множеств. Промежутки числовой оси.
Функции одной переменной. Теория пределов. Непрерывность (разрывы) функции.
Понятие функция. Предел функции в бесконечности. Числовая последовательность как функция натурального аргумента. Предел функции в точке.
Основные теоремы о пределах функций. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций. Основные теоремы о бесконечно малых функциях. Асимптотические формулы для бесконечно малых функций. Бесконечно большие функции.
Горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции. Непрерывность функции. Три определения непрерывности функции в точке. Точки разрыва функции. Вертикальные асимптоты графика функции. Основные свойства непрерывных функций: теоремы Больцано-Коши, теоремы Вейерштрасса.
Сложная функция. Теорема о непрерывности сложной функции.
Функции одной переменной. Дифференцирование.
Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.
Понятие дифференцируемости функции.
Дифференциал функции и его геометрический смысл.
Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
Понятие обратной функции. Теорема о существовании обратной функции и теорема о производной обратной функции. Геометрический смысл производной обратной функции. Вычисление производных функций ах, arcsin x, arctg x. Правило дифференцирования сложной функции.
Логарифмическая производная. Производные показательно-степенной и гиперболических функций. Таблица производных простейших элементарных функций.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Параметрическое задание функции. Теорема о дифференцировании функции, заданной параметрически.
Теорема Ферма. Теорема Ролля. Геометрический смысл теорем Ролля и Ферма. Теорема Лагранжа. Теорема Коши.
Неопределенности. Правило Лопиталя.
Формулы Тейлора и Маклорена. Разложение функций ех, sinx, cosx, (1+x)c, где c – вещественное число, по формуле Маклорена. Примеры вычисления пределов с использованием формулы Маклорена.
Признак монотонности функции. Точки локального экстремума функции. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума. Теорема о направлениях выпуклости графика функции.
Функции одной переменной. Интегрирование.
Первообразная и неопределённый интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям. Три группы интегралов, интегрируемых по частям.
Понятие рациональной функции от двух аргументов. Интегрирование рациональных функций.
Интегралы от дробно-линейной и квадратичной иррациональностей.
Интегрирование биномиальных и трансцендентных выражений. Неберущиеся интегралы.
Определение определенного интеграла. Суммы Дарбу. Условие существования определенного интеграла. Классы интегрируемых функций. Основные свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Полярная система координат. Квадратура криволинейной трапеции и криволинейного сектора. Длина дуги кривой. Площадь поверхности и объем тела вращения.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Основные понятия и простейшие свойства. Методы интегрирования и признаки сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Абсолютная сходимость. Признак сходимости несобственного интеграла от бесконечно малой функции. Понятие о несобственном интеграле от неограниченной функции.
Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность.Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность.Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность.
Арифметическое n-мерное пространство. Открытая и замкнутая области. Сходимость в n-мерном пространстве.
Понятие функции многих переменных. Поверхности и линии уровня. Предел функции в точке. Непрерывность функции многих переменных. Основные свойства непрерывных функций.
Дифференцирование функций нескольких переменных.
Полное и частные приращения функции. Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции. Дифференциал функции. Полный и частные дифференциалы функции. Производная по направлению. Градиент.
Производные сложных функций. Инвариантность формы полного дифференциала. Неявные функции. Теорема существования неявной функции одной переменной. Вывод формулы для нахождения производной неявной функции.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Условия равенства смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Символическая запись n-го дифференциала.
Формула Тейлора для функции двух переменных.
Экстремумы функции нескольких переменных. Обобщенная теорема Ферма (необходимое условие экстремума). Критические и стационарные точки. Теорема об экстремуме функции двух переменных.
Условный (относительный) экстремум. Условные стационарные точки. Метод отыскания условных экстремумов (метод Лагранжа). Функция Лагранжа.
Интегрирование функций нескольких переменных.
Определение и условия существования двойного и тройного интегралов. Геометрическая трактовка двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.
Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Координатные линии. Криволинейные координаты. Полярные координаты, как один из видов криволинейных координат. Теорема о замене переменных в двойном интеграле. Якобиан. Переход к полярным координатам.
Вычисление тройных интегралов. Приложения двойных и тройных интегралов.
Криволинейный интеграл первого рода и его вычисление. Криволинейные интегралы второго рода и их вычисление. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
Поверхностный интеграл первого рода и его вычисление. Двусторонняя и односторонняя поверхности. Поверхностные интегралы второго рода. Общий поверхностный интеграл второго рода и его вычисление. Связь с поверхностным интегралом первого рода.
Элементы векторного анализа.
Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность и дифференцируемость вектор-функции. Правила дифференцирования вектор-функции. Производные и дифференциалы высших порядков вектор-функции. Формула Тейлора.
Скалярное и векторное поля. Потенциальное поле. Условия потенциальности векторного поля.


Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса в векторной и скалярной формах. Соленоидальное векторное поле.
Циркуляция векторного поля. Ротор. Формула Стокса в векторной и скалярной формах. Формула Грина.
Операторы Гамильтона и Лапласа. Применение их в векторном анализе.
Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения (общие понятия). Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. О решении задачи Коши. Теорема Коши и её геометрическое содержание.
Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные уравнения первого порядка. Методы Лагранжа и Бернулли. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.
Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков (основные понятия). Методы понижения порядка трёх типов уравнений.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (основные понятия). Линейная зависимость и линейная независимость функций. Вронскиан.
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теоремы о пространстве решений однородного уравнения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема об общем решении неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения однородного уравнения в случае, когда его характеристический многочлен содержит кратные корни. Структура общего решения однородного уравнения в случае, когда его характеристический многочлен содержит комплексные корни.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Системы дифференциальных уравнений. Устойчивость. Динамические системы.
Системы дифференциальных уравнений (основные понятия). Задача Коши. Системы линейных дифференциальных уравнений. Теорема Коши. Вронскиан системы вектор-функций.
Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной линейной системы. Об общем решении неоднородной линейной системы.
Дифференциальная однородная система с постоянной матрицей. Метод Эйлера.
Устойчивость (по Ляпунову) решений дифференциальной системы (общие понятия). Устойчивость линейных систем. Устойчивость по первому приближению точек покоя нелинейных систем.
Динамические системы дифференциальных уравнений (общие понятия).



ПРАКТИЧЕСКИЕ

Предел функции в точке. Простейшие приёмы вычисления пределов. Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконечности.

Замечательные пределы и их следствия.

Бесконечно малые функции, их свойства. Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение при вычислении пределов.

Односторонние пределы функции в точке. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Асимптоты графика функции.

Комбинирование приёмов вычисления пределов.

Контрольная работа «Пределы».

Понятие производной. Правила дифференцирования. Дифференциал функции. Вычисление производных степенной функции, тригонометрических функций, логарифмической функции.

Производная обратной функции. Вычисление производных показательной функции, обратных тригонометрических функций. Производные различных сложных функций.

Производные различных сложных функций. Логарифмическая производная.

Производные высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Правило Лопиталя. Формула Тейлора и Маклорена.

Исследование функций с помощью производных первого и второго порядка. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Общая схема исследования функции и построение её графика.

Контрольная работа «Дифференцирование. Графики».

Простейшие приемы интегрирования. Метод подведения под знак дифференциала. Метод выделения полного квадрата. Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование рациональных функций. Интегралы от дробно-линейной и квадратичной иррациональности. Интегрирование биномиальных и тригонометрических выражений.

Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Теорема о среднем. Вычисление определённого интеграла по частям. Замена переменной в определённом интеграле.

Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление длин дуг плоских кривых.

Контрольная работа «Интегралы».

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функции. Исследование на сходимость.



2-й семестр

Функция нескольких переменных, её область определения, график. Поверхности и линии уровня.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные.

Производная по направлению. Градиент. Производные сложных функций.

Производные неявно заданных функций. Полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Экстремумы функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения.

Условные экстремумы.

Контрольная работа «Функции нескольких переменных».

Двойной интеграл в декартовых координатах. Расстановка пределов интегрирования. Перемена порядка интегрирования. Вычисление интегралов.

Двойной интеграл в полярных координатах. Обобщенные полярные координаты.

Геометрические приложения двойного интеграла.

Тройной интеграл в декартовых координатах. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Тройной интеграл в сферических координатах.

Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода.

Поверхностные интегралы 1-го рода и 2-го рода.

Контрольная работа «Интегрирование функций нескольких переменных».

Скалярное и векторное поля. Поверхности и линии уровня. Градиент.

Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса.

Циркуляция. Ротор. Формула Стокса.

Потенциальное поле. Криволинейный интеграл в потенциальном поле. Операторы Гамильтона и Лапласа.

Контрольная работа «Векторный анализ».

Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Методы понижения порядка уравнения.

Однородные линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами.

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа. Метод неопределенных коэффициентов.

Принцип суперпозиции при решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений -го порядка.

Контрольная работа «Дифференциальные уравнения».

Системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей.

Критерий устойчивости и неустойчивости решения системы дифференциальных уравнений по первым приближениям.




САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Множества. Логические символы.

Некоторые наиболее употребляемые числовые множества.

Грани числовых множеств.

Функции одной переменной. Предел и непрерывность.

Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Основные свойства непрерывных функций.

Дифференцирование функции одной переменной.

Правая и левая производные

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.

Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций.

Таблица производных элементарных функций.

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена. Использование формулы Маклорена для вычисления пределов.

Исследование поведения функций и построение графиков.

Интегрирование функции одной переменной.

Таблица основных интегралов.

Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Интегрирование биномиальных выражений

Вычисление площади поверхности и объема тела вращения.

Несобственные интегралы от неограниченных функций



Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность.

Основные свойства непрерывных функций двух переменных.

Дифференцирование функций нескольких переменных.

Градиент.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Интегрирование функций нескольких переменных.

Свойства двойного интеграла.

Замена переменных в тройном интеграле. Переход от прямоугольных координат к цилиндрическим и сферическим координатам.

Некоторые приложения двойных и тройных интегралов.

Элементы векторного анализа.

Скалярное и векторное поля. Потенциальное поле. Примеры.

Задача о потоке векторного поля. Соленоидальное поле.

Операторы Гамильтона и Лапласа. Приложение их в векторном анализе.

Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решение линейного неоднородного уравнения первого порядка методом Бернулли. Уравнение Бернулли.

Простейшие случаи понижения порядка дифференциального уравнения.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами. Метод подбора.




ТЕМЫ ДОМАШНИХ

Предел функции в точке. Простейшие приёмы вычисления пределов. Предел функции в бесконечности. Предел числовой последовательности.

Замечательные пределы и их следствия.

Бесконечно малые функции, их свойства. Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение при вычислении пределов.

Односторонние пределы функции в точке. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Асимптоты графика функции.

Комбинирование приёмов вычисления пределов.

Понятие производной. Правила дифференцирования. Дифференциал функции. Вычисление производных степенной функции, тригонометрических функций, логарифмической функции.

Производная обратной функции. Вычисление производных показательной функции, обратных тригонометрических функций. Производные различных сложных функций.

Производные различных сложных функций. Логарифмическая производная.

Производные высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Правило Лопиталя. Формула Тейлора и Маклорена.

Исследование функций с помощью производных первого и второго порядка. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Общая схема исследования функции и построение её графика.

Простейшие приемы интегрирования. Метод подведения под знак дифференциала. Метод выделения полного квадрата. Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование рациональных функций. Интегралы от дробно-линейной и квадратичной иррациональности. Интегрирование биномиальных и тригонометрических выражений.

Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Теорема о среднем. Вычисление определённого интеграла по частям. Замена переменной в определённом интеграле.

Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление длин дуг плоских кривых.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функции. Исследование на сходимость.

2-й семестр

Функция нескольких переменных, её область определения, график. Поверхности и линии уровня.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные.

Производная по направлению. Градиент. Производные сложных функций.

Производные неявно заданных функций. Полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Экстремумы функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения.

Условные экстремумы.

Двойной интеграл в декартовых координатах. Расстановка пределов интегрирования и вычисление. Перемена порядка интегрирования.

Двойной интеграл в полярных координатах. Обобщенные полярные координаты.

Геометрические приложения двойного интеграла.

Тройной интеграл в декартовых координатах. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Тройной интеграл в сферических координатах.

Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода.

Поверхностные интегралы 1-го рода и 2-го рода.

Скалярное и векторное поля. Поверхности и линии уровня. Градиент.

Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса.

Циркуляция. Ротор. Формула Стокса.

Потенциальное поле. Криволинейный интеграл в потенциальном поле. Операторы Гамильтона и Лапласа.

Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Методы понижения порядка уравнения.

Однородные линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами.

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа. Метод неопределенных коэффициентов.

Принцип суперпозиции при решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений -го порядка.

Системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей.

Критерий устойчивости и неустойчивости решения системы дифференциальных уравнений по первым приближениям.

Ряды Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. Достаточные признаки сходимости рядов. Признаки сравнения рядов. Признаки Д’Аламбера, радикальный и интегральный признаки Коши. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Теорема Лейбница. Функциональный ряд. Область сходимости. Равномерная сходимость. Степенной ряд. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена. Биноминальный ряд. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Применение рядов в приближённых вычислениях. Основная литература:

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 2003. – 416 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1984. – 432 с.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1997. – 448 с.

4. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике (типовые расчёты). – М.: Высшая школа, 2005. – 175 с.

5. Шипачёв В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2005. – 479 с.

6. Шипачёв В.С. Основы высшей математики: Учебн. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2002. – 479 с.



Дополнительная литература:

7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-ух ч. – М.: Высшая школа, 2007. Ч.1 – 304 с., Ч.2 – 416 с.

8. Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Под общ. ред. И.М. Петрушко. – М.: МЭИ, 2000. – 184 с.

9. Курс высшей математики. Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Под общ. ред. И.М. Петрушко. – М.: МЭИ, 2002. – 328 с.

10. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 576 с.

11. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 592 с.

12. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х т. – М.: Наука, 1968.





ЛЕКЦИИ

Ряды

Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.

Достаточные признаки сходимости рядов. Признаки сравнения рядов. Признаки Д’Аламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Теорема Лейбница.

Функциональный ряд. Область сходимости. Равномерная сходимость. Степенной ряд. Теорема Абеля.

Ряды Тейлора и Маклорена. Биноминальный ряд. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Применение рядов в приближённых вычислениях.



Комплексные числа

Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Формула Эйлера.

Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула Муавра.



Функции комплексного переменного.

Расширенная комплексная плоскость. Множества точек на плоскость. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного.

Ряды с комплексными членами. Представление экспоненциальной, тригонометрических и гиперболических функций при помощи рядов. Показательная и логарифмическая функции. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции.

Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Производная. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.

Интеграл от функции комплексного переменного

Первообразная и неопределённый интеграл. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге.

Теорема Коши для односвязной области. Теорема Коши для многосвязной области. Интегральная формула Коши. Теорема Морера. Ряд Тейлора.

Ряд Лорана. Вычеты

Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Свойства ряда Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.

Вычет функции. Теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов.

Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и изображение. Дифференцирование и интегрирование изображения. Функция Хевисайда. Теорема смещения. Теорема запаздывания. Теорема подобия. Свёртка функций.

Изображение основных элементарных функций. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

Ряды Фурье. Интеграл Фурье

Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом .

Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье.

Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций.

Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Интеграл Фурье в комплексной форме.

Уравнения математической физики



Задачи, приводящие к уравнениям в частных производных. Волновое уравнение. Уравнение теплопроводности. Уравнение Лапласа. Уравнения первого и второго порядка. Начальные и граничные условия.

Аналитические методы решения уравнений первого и второго порядков. Метод Д’Аламбера. Метод разделения переменных Фурье.

Классификация линейных уравнений второго порядка. Приведение эллиптических, параболических и гиперболических уравнений к каноническому виду. Уравнение характеристик.

Численные методы решения уравнений математической физики. Разностные схемы.



Элементы дискретной математики

Множества и основные операции над множествами. Бинарные отношения. Матрица бинарного отношения. Отношение эквивалентности. Фактор-множества.

Элементы теории графов. Ориентированные и неориентированные графы. Матрица смежности. Матрица инцидентности. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Некоторые задачи теории графов.

Алгебра логики. Формулы алгебры логики. Высказывания. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность. Функции алгебры логики.

Эквивалентность формул. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Совершенные нормальные формы.

Минимизация булевых функций. Карты Карно. Принцип двойственности.

Полные системы булевых функций.





ПРАКТИКА

Числовой ряд. Вычисление суммы ряда. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Гармонический ряд. Ряд Дирихле. Исследование сходимости ряда при помощи признаков сравнения.

Исследование сходимости ряда при помощи признаков Д’Аламбера, радикального и интегрального признаков Коши.

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Исследование сходимости ряда при помощи теоремы Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Вычисление суммы знакочередующегося ряда с заданной точностью.

Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье.

Контрольная работа «Операционное исчисление. Ряды Фурье».

Задачи на составление уравнений в частных производных. Решение волнового уравнения методом Д’Аламбера. Метод разделения переменных Фурье.

Решение уравнений Лапласа. Определение типа линейного уравнения второго порядка. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду. Численные методы решения уравнений математической физики.

Контрольная работа «Уравнения математической физики»

Основные операции над множествами. Бинарные отношения. Матрица бинарного отношения Графы. Матрица смежности. Матрица инцидентности.

Алгебра логики. Формулы алгебры логики. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность. Составление таблиц истинности. Доказательство эквивалентности.

Контрольная работа «Дискретная математика»



САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ

Равномерная сходимость.

Применение рядов для решения дифференциальных уравнений.

Конформные отображения. Конформные отображения основных элементарных функций.

Преобразование многоугольников. Интеграл Кристоффеля-Шварца.

Комплексный потенциал. Краевые задачи.

Числовой ряд. Вычисление суммы ряда. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Гармонический ряд. Ряд Дирихле. Исследование сходимости ряда при помощи признаков сравнения.

Исследование сходимости ряда при помощи признаков Д’Аламбера, радикального и интегрального признаков Коши.

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Исследование сходимости ряда при помощи теоремы Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Вычисление суммы знакочередующегося ряда с заданной точностью.

Исследование сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Исследование сходимости ряда на концах интервала. Разложение функции в ряды Тейлора и Маклорена.

Использование рядов для приближённых вычислений интегралов и решения дифференциальных уравнений.

Действия над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного.

Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Первообразная и неопределённый интеграл. Вычисление контурных интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряд Тейлора.

Ряд Лорана. Разложение функции в ряд Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.

Вычет функции. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Логарифмический вычет.

Преобразование Лапласа и его свойства. Отыскание изображения функции. Восстановление оригинала по известному изображению.

Дифференцирование оригиналов и изображений. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом .

Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме.

Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье.

Задачи на составление уравнений в частных производных. Решение волнового уравнения методом Д’Аламбера. Метод разделения переменных Фурье.

Решение уравнений Лапласа. Определение типа линейного уравнения второго порядка. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду. Численные методы решения уравнений математической физики.

Основные операции над множествами. Бинарные отношения. Матрица бинарного отношения Графы. Матрица смежности. Матрица инцидентности.

Алгебра логики. Формулы алгебры логики. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность. Составление таблиц истинности. Доказательство эквивалентности.





Основная литература:

Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 2003. – 416 с.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1997. – 448 с.

Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике (типовые расчёты). – М.: Высшая школа, 2005. – 175 с.

Шипачёв В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2005. – 479 с.

Шипачёв В.С. Основы высшей математики: Учебн. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2002. – 479 с.



Дополнительная литература:

Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2003.

Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. – М.: Наука, 1977. – 368 с.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-ух ч. – М.: Высшая школа, 2007. Ч.1 – 304 с., Ч.2 – 416 с.

Кошляков Н.С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. - М.: Высшая школа, 1970.

Краснов М.Л., Киселёв А.М., Макаренко Г.М. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Задачи и примеры с подробными решениями. – М.: Эдиториал УРСС, 2003. – 176 с.

Краснов М.Л., Киселёв А.М., Макаренко Г.М. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981. – 302 с.

Краснов М.Л., Киселёв А.М., Макаренко Г.М. Функции комплексного переменного: Задачи и примеры с подробными решениями. – М.: Эдиториал УРСС, 2003. – 208 с.

Сборник задач по уравнениям математической физики, под ред. Владимирова В.С. – М.: Физматлит, 2001.

Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики: Учебник. – М.: ИНФРАМ; Новосибирск: НГТУ, 2003. – 280 с.

Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. – М.:Мир, 1985.

Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х т. – М.: Наука, 1968.

Шмелёв Н.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 1983.

Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1979. – 272 с.



Методические указания:

Кузнецов Л.А., Чудесенко Ф.В. Методические указания к типовому расчету по курсу «Высшая математика». Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление. – М.: МЭИ, 1982. – 36 с.

1 Ряды

Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.

Достаточные признаки сходимости рядов. Признаки сравнения рядов. Признаки Д’Аламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Теорема Лейбница.

Функциональный ряд. Область сходимости. Равномерная сходимость. Степенной ряд. Теорема Абеля.

Ряды Тейлора и Маклорена. Биноминальный ряд. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Применение рядов в приближённых вычислениях.





2 Функции комплексного переменного

Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Формула Эйлера.

Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула Муавра.

Расширенная комплексная плоскость. Множества точек на плоскость. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного.

Ряды с комплексными членами. Представление функций комплексного переменного при помощи рядов. Показательная и логарифмическая функции. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции.

Предел, непрерывность и дифференцируемость функции комплексного переменного. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге.

Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Теорема Морера. Ряд Тейлора.

3. Ряд Лорана. Вычеты

Ряд Лорана. Свойства ряда Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.

Вычет функции. Теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов.

Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.



4 Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и изображение.

Изображение основных элементарных функций. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

6 Ряды Фурье. Интеграл Фурье

Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом .

Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье.

Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций.

Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Интеграл Фурье в комплексной форме.

7 Уравнения математической физики

Уравнения в частных производных.

Аналитические методы решения уравнений в частных производных. Метод Д’Аламбера. Метод разделения переменных Фурье.

Классификация линейных уравнений второго порядка. Приведение уравнений к каноническому виду.

8 Элементы дискретной математики

Множества и основные операции над множествами. Бинарные отношения. Матрица бинарного отношения. Отношение эквивалентности. Фактормножества.

Элементы теории графов. Ориентированные и неориентированные графы. Матрица смежности. Матрица инцидентности. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Некоторые задачи теории графов.

Алгебра логики. Формулы алгебры логики. Высказывания. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность. Функции алгебры логики.

Эквивалентность формул. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Совершенные нормальные формы.

Минимизация булевых функций. Карты Карно. Принцип двойственности.

Полные системы булевых функций.



2.3. Практические (семинарские) занятия

1 Числовой ряд. Вычисление суммы ряда. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Гармонический ряд. Ряд Дирихле. Исследование сходимости ряда при помощи признаков сравнения.

2 Исследование сходимости ряда при помощи признаков Д’Аламбера, радикального и интегрального признаков Коши.

3 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Исследование сходимости ряда при помощи теоремы Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Вычисление суммы знакочередующегося ряда с заданной точностью.

4 Исследование сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Исследование сходимости ряда на концах интервала. Разложение функции в ряды Тейлора и Маклорена.

5 Использование рядов для приближённых вычислений интегралов и решения дифференциальных уравнений.

Контрольная работа “Ряды”.

6 Действия над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного.

7 Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Первообразная и неопределённый интеграл. Вычисление контурных интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряд Тейлора.

8 Ряд Лорана. Разложение функции в ряд Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.

9 Вычет функции. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Логарифмический вычет.

Контрольная работа «ТФКП»

10 Преобразование Лапласа и его свойства. Отыскание изображения функции. Восстановление оригинала по известному изображению.

11 Дифференцирование оригиналов и изображений. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

12 Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом .

13 Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме.

14 Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье.

Контрольная работа «Операционное исчисление. Ряды Фурье».

15 Задачи на составление уравнений в частных производных. Решение волнового уравнения методом Д’Аламбера. Метод разделения переменных Фурье.

16 Решение уравнений Лапласа. Определение типа линейного уравнения второго порядка. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду. Численные методы решения уравнений математической физики.

Контрольная работа «Уравнения математической физики»

17 Основные операции над множествами. Бинарные отношения. Матрица бинарного отношения Графы. Матрица смежности. Матрица инцидентности.

18 Алгебра логики. Формулы алгебры логики. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность. Составление таблиц истинности. Доказательство эквивалентности. Контрольная работа «Дискретная математика»



САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ

Равномерная сходимость.

2 Применение рядов для решения дифференциальных уравнений.

3 Конформные отображения. Конформные отображения основных элементарных функций.

4 Преобразование многоугольников. Интеграл КристоффеляШварца.

5 Комплексный потенциал. Краевые задачи.

3.3. Темы домашних заданий 1 Числовой ряд. Вычисление суммы ряда. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Гармонический ряд. Ряд Дирихле. Исследование сходимости ряда при помощи признаков сравнения.

2 Исследование сходимости ряда при помощи признаков Д’Аламбера, радикального и интегрального признаков Коши.

3 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Исследование сходимости ряда при помощи теоремы Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Вычисление суммы знакочередующегося ряда с заданной точностью.

4 Исследование сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Исследование сходимости ряда на концах интервала. Разложение функции в ряды Тейлора и Маклорена.

5 Использование рядов для приближённых вычислений интегралов и решения дифференциальных уравнений.

6 Действия над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного.

7 Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Первообразная и неопределённый интеграл. Вычисление контурных интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряд Тейлора.

8 Ряд Лорана. Разложение функции в ряд Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.

9 Вычет функции. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Логарифмический вычет.

10 Преобразование Лапласа и его свойства. Отыскание изображения функции. Восстановление оригинала по известному изображению. 11 Дифференцирование оригиналов и изображений. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом. 12 Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом . 13 Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме.

14 Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье.

15 Задачи на составление уравнений в частных производных. Решение волнового уравнения методом Д’Аламбера. Метод разделения переменных Фурье.

16 Решение уравнений Лапласа. Определение типа линейного уравнения второго порядка. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду. Численные методы решения уравнений математической физики.

17 Основные операции над множествами. Бинарные отношения. Матрица бинарного отношения Графы. Матрица смежности. Матрица инцидентности.

18 Алгебра логики. Формулы алгебры логики. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность. Составление таблиц истинности. Доказательство эквивалентности.



Раздел 4 ОСНОВНАЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная литература:

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 2003. – 416 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1997. – 448 с.

3. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике (типовые расчёты). – М.: Высшая школа, 2005. – 175 с.

4. Шипачёв В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2005. – 479 с.

5. Шипачёв В.С. Основы высшей математики: Учебн. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2002. – 479 с.



Дополнительная литература:

6. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2003.

7. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. – М.: Наука, 1977. – 368 с.

8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-ух ч. – М.: Высшая школа, 2007. Ч.1 – 304 с., Ч.2 – 416 с.

9. Кошляков Н.С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. - М.: Высшая школа, 1970.

10. Краснов М.Л., Киселёв А.М., Макаренко Г.М. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Задачи и примеры с подробными решениями. – М.: Эдиториал УРСС, 2003. – 176 с.

11. Краснов М.Л., Киселёв А.М., Макаренко Г.М. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981. – 302 с.

12. Краснов М.Л., Киселёв А.М., Макаренко Г.М. Функции комплексного переменного: Задачи и примеры с подробными решениями. – М.: Эдиториал УРСС, 2003. – 208 с.

13. Сборник задач по уравнениям математической физики, под ред. Владимирова В.С. – М.: Физматлит, 2001.

14. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики: Учебник. – М.: ИНФРАМ; Новосибирск: НГТУ, 2003. – 280 с.

15. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. – М.:Мир, 1985.

16. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2х т. – М.: Наука, 1968.

17. Шмелёв Н.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 1983.

18. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1979. – 272 с.

Методические указания:

19. Кузнецов Л.А., Чудесенко Ф.В. Методические указания к типовому расчету по курсу «Высшая математика». Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление. – М.: МЭИ, 1982. – 36 с.

1 Ряды

Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.

Достаточные признаки сходимости рядов. Признаки сравнения рядов. Признаки Д’Аламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Теорема Лейбница.

Функциональный ряд. Область сходимости. Равномерная сходимость. Степенной ряд. Теорема Абеля.

Ряды Тейлора и Маклорена. Биноминальный ряд. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.

Применение рядов в приближённых вычислениях. Решение дифференциальных уравнений при помощи рядов.



2 Функции комплексного переменного.

Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Формула Эйлера. Модуль и аргумент комплексного числа.

Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Модуль и аргумент произведения и частного комплексных чисел. Формула Муавра.

Расширенная комплексная плоскость. Множества точек на плоскости. Функция комплексного переменного. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.

Дифференцируемость функции комплексного переменного. Производная. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.

Ряды с комплексными членами. Степенные ряды. Представление основных элементарных функций при помощи рядов. Показательная и логарифмическая функции. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции.

Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Сведение к определённому интегралу.

Теорема Коши для односвязной области. Неопределённый интеграл. Теорема Коши для многосвязной области. Интегральная формула Коши. Теорема Морера. Ряд Тейлора.

3 Ряд Лорана. Вычеты.

Ряд Лорана. Свойства ряда Лорана. Кольцо сходимости.

Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.

Вычет функции. Теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Вычет функции в бесконечно удалённой точке.

Применение вычетов к вычислению определённых и несобственных интегралов.

Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.



4 Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и изображение. Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения.

Функция Хевисайда. Теорема смещения. Теорема запаздывания. Теорема подобия. Свёртка функций. Изображение основных элементарных функций.

Восстановление оригинала по рациональному изображению. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

5 Ряды Фурье. Интеграл Фурье

Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом .

Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье по синусам и по косинусам.

Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье.

6 Уравнения математической физики

Уравнения в частных производных. Волновое уравнение. Уравнение теплопроводности. Уравнение Лапласа. Начальные и граничные условия.

Аналитические методы решения уравнений первого и второго порядков. Метод Д’Аламбера. Метод разделения переменных Фурье.

Классификация линейных уравнений второго порядка. Приведение уравнений к каноническому виду.





Практические (семинарские) занятия

1 Числовой ряд. Вычисление суммы ряда. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Гармонический ряд.

2 Ряд Дирихле. Исследование сходимости ряда при помощи признаков сравнения.

3 Исследование сходимости ряда при помощи признаков Д’Аламбера, радикального и интегрального признаков Коши.

4 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Исследование сходимости ряда при помощи теоремы Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Вычисление суммы знакочередующегося ряда с заданной точностью.

5 Исследование сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Исследование сходимости ряда на концах интервала. Разложение функции в ряды Тейлора и Маклорена.

6 Использование рядов для приближённых вычислений интегралов и решения дифференциальных уравнений.

Контрольная работа “Ряды”.

7 Действия над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

8 Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Формула Муавра. Тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного. Показательная и логарифмическая функции комплексного переменного. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции комплексного переменного.

9 Дифференцируемость функции комплексного переменного. Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части. Представление функции комплексного переменного при помощи рядов.

10 Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Первообразная и неопределённый интеграл. Вычисление контурных интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряд Тейлора.

11 Ряд Лорана. Разложение функции в ряд Лорана.

12 Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.

13 Вычет функции. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов.

Контрольная работа «ТФКП»

14 Преобразование Лапласа и его свойства. Отыскание изображения функции. Восстановление оригинала по известному изображению.

15 Восстановление оригинала по известному изображению. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

16 Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом .

17 Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме.

18 Задачи на составление уравнений в частных производных. Решение волнового уравнения методом Д’Аламбера. Метод разделения переменных Фурье. Смешанная задача для уравнений теплопроводности.



САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ

1 Конформные отображения. Конформные отображения основных элементарных функций.

2 Преобразование многоугольников. Интеграл КристоффеляШварца.

3 Комплексный потенциал. Краевые задачи.

4 Численные методы решения задач математической физики. Разностный метод. Явная и неявная разностные схемы. Метод конечных элементов.



Темы домашних заданий

1 Числовой ряд. Вычисление суммы ряда. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Гармонический ряд.

2 Ряд Дирихле. Исследование сходимости ряда при помощи признаков сравнения.

3 Исследование сходимости ряда при помощи признаков Д’Аламбера, радикального и интегрального признаков Коши.

4 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Исследование сходимости ряда при помощи теоремы Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Вычисление суммы знакочередующегося ряда с заданной точностью.

5 Исследование сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Исследование сходимости ряда на концах интервала. Разложение функции в ряды Тейлора и Маклорена.

6 Использование рядов для приближённых вычислений интегралов и решения дифференциальных уравнений.

7 Действия над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Формула Муавра. Дифференцируемость функции комплексного переменного.

8 Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Формула Муавра. Тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного. Показательная и логарифмическая функции комплексного переменного. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции комплексного переменного.

9 Дифференцируемость функции комплексного переменного. Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части. Представление функции комплексного переменного при помощи рядов.

10 Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Первообразная и неопределённый интеграл. Вычисление контурных интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряд Тейлора.

11 Ряд Лорана. Разложение функции в ряд Лорана.

12 Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.

13 Вычет функции. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов.

14 Преобразование Лапласа и его свойства. Отыскание изображения функции. Восстановление оригинала по известному изображению.

15 Восстановление оригинала по известному изображению. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

16 Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом .

17 Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме.

18 Задачи на составление уравнений в частных производных. Решение волнового уравнения методом Д’Аламбера. Метод разделения переменных Фурье. Смешанная задача для уравнений теплопроводности.



ОСНОВНАЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная литература:

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 2003. – 416 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1997. – 448 с.

3. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике (типовые расчёты). – М.: Высшая школа, 2005. – 175 с.

4. Шипачёв В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2005. – 479 с.

5. Кошляков Н.С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. - М.: Высшая школа, 1970.

6. Краснов М.Л., Киселёв А.М., Макаренко Г.М. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Задачи и примеры с подробными решениями. – М.: Эдиториал УРСС, 2003. – 176 с.

7. Краснов М.Л., Киселёв А.М., Макаренко Г.М. Функции комплексного переменного: Задачи и примеры с подробными решениями. – М.: Эдиториал УРСС, 2003. – 208 с.

8. Шмелёв Н.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 1983.

Дополнительная литература:

9. Сборник задач по уравнениям математической физики, под ред. Владимирова В.С. – М.: Физматлит, 2001.

10. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. – М.:Мир, 1985.

11. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х т. – М.: Наука, 1968.

Методические указания:

12. Кузнецов Л.А., Чудесенко Ф.В. Методические указания к типовому расчету по курсу «Высшая математика». Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление. – М.: МЭИ, 1982. – 36 с.

Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису.
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Векторное и смешанное произведение векторов. Плоскость. Различные виды уравнений плоскости.
Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
Уравнения прямой на плоскости и в пространстве. Контрольная работа «Векторная алгебра. Плоскость и прямая».
1 Эллипс. Гипербола. Парабола.
Поверхности второго порядка.
Матрицы. Действия над матрицами.
Определители и их основные свойства. Разложение определителя по элементам строки и столбца.
Обратная матрица. Матричные уравнения.
Ранг матрицы. Системы линейных уравнений. Теорема КронекераКапелли. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Системы линейных уравнений. Решения систем линейных уравнений: а) по правилу Крамера, б) матричным методом.
Линейное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и размерность линейного пространства.
Структура общего решения однородной и неоднородной систем линейных уравнений.
Линейный оператор и его матрица в данном базисе.
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Контрольная работа «Элементы линейной алгебры».
1 Математический анализ 1 Предел функции в точке. Простейшие приёмы вычисления пределов. Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконечности.
2 Замечательные пределы и их следствия.
3 Бесконечно малые функции, их свойства. Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение при вычислении пределов.
4 Односторонние пределы функции в точке. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Асимптоты графика функции.
5 Комбинирование приёмов вычисления пределов. Контрольная работа «Пределы».
1 6 Понятие производной. Правила дифференцирования. Дифференциал функции. Вычисление производных степенной функции, тригонометрических функций, логарифмической функции.
7 Вычисление производных показательной функции, обратных тригонометрических функций. Производные различных сложных функций.
8 Производные различных сложных функций. Логарифмическая производная.
9 Производные высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
10 Правило Лопиталя. Формула Тейлора и Маклорена.
11 Исследование функций с помощью производных первого и второго порядка. Наибольшее и наименьшее значения функции.
12 Общая схема исследования функции и построение её графика. Контрольная работа «Дифференцирование. Графики».
1 13 Простейшие приемы интегрирования. Метод подведения под знак дифференциала. Метод выделения полного квадрата. Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле.
14 Интегрирование рациональных функций. Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений.
15 Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Теорема о среднем. Вычисление определённого интеграла по частям. Замена переменной в определённом интеграле.
16 Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление длин дуг плоских кривых. Контрольная работа «Интегралы».
17 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функции. Исследование на сходимость.

1 Функционал. Вариационное исчисление. Вариационная задача. Вариация функционала. Необходимое условие экстремума функционала имеющего вариацию.
Непрерывный функционал. Дифференцируемость функционала. Вариация функционала. Необходимое условие экстремума функционала имеющего вариацию.
2 Экстремали. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Примеры. Различные случаи интегрируемости уравнений Эйлера. Задача о наименьшей поверхности вращения. Задача о брахистохроне.
3 Экстремум функционала, зависящего от нескольких функций и их первых производных. Экстремум функционала, зависящего от функции и её высших производных. Уравнения ЭйлераПуассона. Экстремум функционала, зависящего от функции нескольких независимых переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского.
4 Вариационные задачи с подвижными границами. Экстремали с угловыми точками. Задача об отражении экстремалей. Задача о преломлении экстремалей.
6 Прямые методы в вариационных задачах. Метод Эйлера. Метод Ритца. Некоторые приложения вариационного исчисления.
7 Вариационные задачи на условный экстремум функционала. Различные виды связей. Голономные и неголономные связи. Изопериметрические задачи.
8 Задача оптимального управления. Управляющая функция. Принцип максимума Понтрягина.
9 Некоторые классические задачи динамического программирования. Прикладные задачи динамического программирования.


2.3 Практические (семинарские) занятия

1 Функционал. Вариационные задачи. Вариация. Задачи на экстремум. Необходимое условие экстремума функционала.
2 Экстремали. Уравнение Эйлера. Задачи на составление и решение уравнения Эйлера. Различные случаи интегрируемости уравнений Эйлера.
3 Экстремум функционала, зависящего от нескольких функций. Экстремум функционала, зависящего от функции и её высших производных. Уравнения Эйлера-Пуассона. Уравнение Эйлера-Остроградского.
4 Функционалы с подвижными границами. Экстремали с угловыми точками. Задачи об отражении и преломлении экстремалей.
5 Определение слабого и сильного экстремумов при помощи достаточных условий. Задачи на составление уравнений Якоби и функции Вейерштрасса.
6 Применение прямых методов для решения вариационных задач.
Контрольная работа.

7 Вариационные задачи на условный экстремум функционала. Изопериметрические задачи.
8 Задача оптимального управления. Управляющая функция. Принцип максимума Понтрягина.
9 Некоторые классические задачи динамического программирования. Прикладные задачи динамического программирования.


САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
3.2 Темы для самостоятельного изучения
1 Приложения вараиационного исчисления в задачах механики, физики и экономики.
3.3 Темы домашних заданий
1 Функционал. Вариационные задачи. Вариация. Задачи на экстремум. Необходимое условие экстремума функционала.
2 Экстремали. Уравнение Эйлера. Задачи на составление и решение уравнения Эйлера. Различные случаи интегрируемости уравнений Эйлера.
3 Экстремум функционала, зависящего от нескольких функций. Экстремум функционала, зависящего от функции и её высших производных. Уравнения Эйлера-Пуассона. Уравнение Эйлера-Остроградского.
4 Функционалы с подвижными границами. Экстремали с угловыми точками. Задачи об отражении и преломлении экстремалей.
5 Определение слабого и сильного экстремумов при помощи достаточных условий. Задачи на составление уравнений Якоби и функции Вейерштрасса. 1 6 Применение прямых методов для решения вариационных задач.
7 Вариационные задачи на условный экстремум функционала. Изопериметрические задачи.
8 Задача оптимального управления. Управляющая функция. Принцип максимума Понтрягина.
9 Некоторые классические задачи динамического программирования. Прикладные задачи динамического программирования.



ОСНОВНАЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная литература:
Дополнительная литература:
1. Аракелян Э.К., Пикина Г.А. Оптимизация и оптимальное управление: Учебное пособие. – М.: Издательство МЭИ, 2003
2. Аттетков А В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации. – М.: Наука. 2003
3. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988
4. Бирюков С.И. Оптимизация. Элементы теории. Численные методы: Учебное пособие. – М.: МЗ-Пресс, 2003
5. Дегтярев Ю.И. Методы оптимизации: Учебное пособие. – М.: Советское радио, 1980
6. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. –М.: Высшая школа, 1975
7. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2002




Раздел 7. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ (ТЕМЫ)
Расчетные задания по темам:
1. Исследование функционала на экстремум;
2. Нахождение кратчайшего пути во взвешенном графе. Алгоритм Форда-Беллмана и алгоритм Дейкстры.

Дополнительная литература
1 Аракелян Э.К., Пикина Г.А. Оптимизация и оптимальное управление: Учебное пособие. 2003
2 Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. 1988
3 Бирюков С.И. Оптимизация. Элементы теории. Численные методы: Учебное пособие. 2003
4 Дегтярев Ю.И. Методы оптимизации: Учебное пособие. 1980
5 Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. 2002

Классическое и статистическое определения вероятностей.
Геометрические вероятности.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Формулы Бернулли, Пуассона, Муавра-Лапласа.
Закон распределения дискретной случайной величины. Гипергеометрический и биномиальный законы распределения.
Закон распределения дискретной случайной величины. Геометрический и Пуассоновский законы распределения.
Функция распределения вероятностей случайной величины.
Плотность распределения непрерывной случайной величины.
Системы двух случайных величин.
Контрольная работа «Закон распределения случайной величины».
Функция одной случайной величины.
Функция двух случайных величин.
Числовые характеристики дискретных случайных величин. Моменты распределения.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Контрольная работа «Числовые характеристики случайных величин».
Числовые характеристики равномерно, нормально и показательно распределенных случайных величин. Неравенство и теорема Чебышева.
Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
Функция правдоподобия. Точечные и интервальные оценки.
Лекции
1. Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. Достаточные признаки сходимости рядов. Признаки сравнения рядов.
2. Признаки Д’Аламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Теорема Лейбница.
3. Функциональный ряд. Область сходимости. Равномерная сходимость. Степенной ряд. Теорема Абеля.
4. Ряды Тейлора и Маклорена. Биноминальный ряд. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.
5. Применение рядов в приближённых вычислениях. Решение дифференциальных уравнений при помощи рядов.
6. Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Формула Эйлера. Модуль и аргумент комплексного числа.
7. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Модуль и аргумент произведения и частного комплексных чисел. Формула Муавра.
8. Расширенная комплексная плоскость. Множества точек на плоскости. Функция комплексного переменного. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
9. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Производная. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.
10. Ряды с комплексными членами. Степенные ряды. Представление основных элементарных функций при помощи рядов. Показательная и логарифмическая функции. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции.
11. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Сведение к определённому интегралу.
12. Теорема Коши для односвязной области. Неопределённый интеграл. Теорема Коши для многосвязной области. Интегральная формула Коши. Теорема Морера. Ряд Тейлора.
13. Ряд Лорана. Свойства ряда Лорана. Кольцо сходимости.
14. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.
15. Вычет функции. Теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Вычет функции в бесконечно удалённой точке.
16. Применение вычетов к вычислению определённых и несобственных интегралов.
17. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.
18. Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и изображение. Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения.
19. Функция Хевисайда. Теорема смещения. Теорема запаздывания. Теорема подобия. Свёртка функций. Изображение основных элементарных функций.
20. Восстановление оригинала по рациональному изображению. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.
21. Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом .
22. Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье по синусам и по косинусам.
23. Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье.
24. Уравнения в частных производных. Волновое уравнение. Уравнение теплопроводности. Уравнение Лапласа. Начальные и граничные условия.
25. Аналитические методы решения уравнений первого и второго порядков. Метод Д’Аламбера. Метод разделения переменных Фурье.
26. Классификация линейных уравнений второго порядка. Приведение уравнений к каноническому виду.
Практика 1 Числовой ряд. Вычисление суммы ряда. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Гармонический ряд.
2 Ряд Дирихле. Исследование сходимости ряда при помощи признаков сравнения.
3 Исследование сходимости ряда при помощи признаков Д’Аламбера, радикального и интегрального признаков Коши.
4 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Исследование сходимости ряда при помощи теоремы Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Вычисление суммы знакочередующегося ряда с заданной точностью.
5 Исследование сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Исследование сходимости ряда на концах интервала. Разложение функции в ряды Тейлора и Маклорена.
6 Использование рядов для приближённых вычислений интегралов и решения дифференциальных уравнений.
Контрольная работа “Ряды”.
7 Действия над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
8 Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Формула Муавра. Тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного. Показательная и логарифмическая функции комплексного переменного. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции комплексного переменного.
9 Дифференцируемость функции комплексного переменного. Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части. Представление функции комплексного переменного при помощи рядов.
10 Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Первообразная и неопределённый интеграл. Вычисление контурных интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряд Тейлора.
11 Ряд Лорана. Разложение функции в ряд Лорана.
12 Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.
13 Вычет функции. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов.
Контрольная работа «ТФКП» 14 Преобразование Лапласа и его свойства. Отыскание изображения функции. Восстановление оригинала по известному изображению.
15 Восстановление оригинала по известному изображению. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.
16 Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом .
17 Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме.
18 Задачи на составление уравнений в частных производных. Решение волнового уравнения методом Д’Аламбера. Метод разделения переменных Фурье. Смешанная задача для уравнений теплопроводности.
2-й семестр
Функция нескольких переменных, её область определения, график. Поверхности и линии уровня. Предел. Непрерывность функции.
Частные производные. Производная по направлению. Градиент. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал.
Производные сложных функций. Производные неявно заданных функций.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
Экстремумы функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения.
Условные экстремумы. Контрольная работа «Функции нескольких переменных».
Двойной интеграл в декартовых координатах. Расстановка пределов интегрирования и вычисление. Перемена порядка интегрирования.
Двойной интеграл в полярных координатах. Обобщенные полярные координаты.
Геометрические приложения двойного интеграла.
Тройной интеграл в декартовых координатах. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Тройной интеграл в сферических координатах.
Криволинейный интеграл 1-го и 2-го рода.
Поверхностный интеграл 1-го рода. Поверхностный интеграл 2-го рода.
Контрольная работа «Интегрирование функций нескольких переменных». Скалярное и векторное поля. Поверхности и линии уровня. Градиент.

Поток векторного поля.
Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса.
Циркуляция. Ротор. Формула Стокса.
Потенциальное поле. Криволинейный интеграл в потенциальном поле. Операторы Гамильтона и Лапласа.Контрольная работа «Векторный анализ».

Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Методы понижения порядка уравнения.
Однородные линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами.
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа. Метод неопределенных коэффициентов.
Принцип суперпозиции при решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений -го порядка. Контрольная работа «Дифференциальные уравнения».
Системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей.
Критерий устойчивости и неустойчивости решения системы дифференциальных уравнений по первым приближениям.


Прикладная математика.

Лекции

1. Уравнения математической физики. Уравнение колебаний. Уравнение распространения тепла. Задачи, приводящие к уравнениям Лапласа. Классификация уравнений второго порядка. Уравнения гиперболического, эллиптического и параболического типов. Характеристические кривые. Приведение уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами к каноническому виду. (2,5 часа.)

2. Решение Даламбера для уравнений колебаний струны. Продольные колебания стержня. Начальные и граничные условия. Краевая задача. Виды граничных условий. Метод Фурье решения волнового уравнения. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные числа и собственные функции. (2,5 часа)

3. Колебания в электрических цепях. Телеграфное уравнение. Интегрирование телеграфного уравнения методом Римана. Задача Коши. Задача Гурса. (2часа)

4. Уравнение теплопроводности. Решение уравнения теплопроводности для бесконечного и полуограниченного стержня методом Фурье. (2 часа)

5. Распространение тепла в ограниченном стержне. Применение метода Фурье для решения граничных задач уравнения теплопроводности. Неоднородное уравнение теплопроводности. (2 часа)

6. Уравнение Лапласа и Пуассона. Граничные задачи: задача Дирихле; задача Неймана; смешанная граничная задача. Гармонические функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Решение уравнения Лапласа методом Фурье. Уравнение Лапласа в полярных координатах. Решение задачи Дирихле для круга и кольца. Внешняя задача Дирихле. Решение задачи Дирихле для шара. Формула Пуассона. Функции Грина. (2 часа)

7. Численные методы решения задач математической физики. Разностный метод. Явная и неявная разностные схемы. Метод конечных элементов. (2 часа)



Практика

1. Задачи, приводящие к уравнениям в частных производных. Начальные и граничные условия. Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных первого порядка. Задача Коши. Граничная задача. Классификация линейных уравнений второго порядка. Уравнения характеристик. Приведение уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами к каноническому виду. (2 часа)

2. Формула Д’Аламбера для уравнения колебаний бесконечной и полуограниченной струны. Продольные колебания стержня. Метод Фурье. Ряды Фурье. (2 часа)

3. Решение волнового уравнения методом Фурье при различных условиях на концах. (2 часа)

4. Задача Коши. Задача Гурса. Метод Римана. Решение телеграфного уравнения. (2 часа)

5. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Однородное и неоднородное уравнение теплопроводности. (2 часа)

6. Уравнение Лапласа в полярных координатах. Решение задачи Дирихле для круга и кольца. Внешняя задача Дирихле. Решение задачи Дирихле для шара. (2 часа)

7. Решение уравнений в частных производных разностными методами. Составление явной и неявной разностных схем. (2 часа)

8. Контрольная работа. (1 час)

Темы для самостоятельного изучения

1. Вынужденные колебания струн и стержней. (2 часа)

2. Функции Бесселя и полиномы Лежандра. (2 часа)

3. Радиальные колебания газа. (1,5 часа)

Типовое расчётное задание

1. Решение смешанной задачи для уравнений второго порядка [3].

Рекомендованная литература

1. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М. : “Высшая школа”, 1970. – 712 с.

2. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инденеров. – М.: “Мир”, 1985. - 384 c.

3. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике (типовые расчеты). М.: “Лань”, 2005. – 238 c.




Прикладная математика.



Лекции

1. Уравнения математической физики. Уравнение колебаний. Уравнение распространения тепла. Задачи, приводящие к уравнениям Лапласа. Порядок уравнения. Уравнения первого порядка. Интегральные поверхности. Задача Коши.
2. Классификация уравнений второго порядка. Уравнения гиперболического, эллиптического и параболического типов. Характеристические кривые. Приведение уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами к каноническому виду.
3. Решение Даламбера для уравнений колебаний струны. Продольные колебания стержня. Начальные и граничные условия. Краевая задача. Виды граничных условий.
4. Метод Фурье решения волнового уравнения. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные числа и собственные функции.
5. Колебания в электрических цепях. Телеграфное уравнение. Интегрирование телеграфного уравнения методом Римана. Задача Коши. Задача Гурса.
6. Уравнение теплопроводности. Решение уравнения теплопроводности для бесконечного и полуограниченного стержня методом Фурье.
7. Распространение тепла в ограниченном стержне. Применение метода Фурье для решения граничных задач уравнения теплопроводности. Неоднородное уравнение теплопроводности.
8. Уравнение Лапласа и Пуассона. Граничные задачи: задача Дирихле; задача Неймана; смешанная граничная задача. Гармонические функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Решение уравнения Лапласа методом Фурье. Уравнение Лапласа в полярных координатах. Решение задачи Дирихле для круга и кольца. Внешняя задача Дирихле. Решение задачи Дирихле для шара. Формула Пуассона. Функции Грина.
9. Численные методы решения задач математической физики. Разностный метод. Явная и неявная разностные схемы. Метод конечных элементов.


Практика

1. Задачи, приводящие к уравнениям в частных производных. Начальные и граничные условия. Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных первого порядка. Задача Коши. Граничная задача.
2. Классификация линейных уравнений второго порядка. Уравнения характеристик. Приведение уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами к каноническому виду.
3. Формула Д’Аламбера для уравнения колебаний бесконечной и полуограниченной струны. Продольные колебания стержня. Метод Фурье. Ряды Фурье.
4. Решение волнового уравнения методом Фурье при различных условиях на концах.
5. Задача Коши. Задача Гурса. Метод Римана. Решение телеграфного уравнения.
6. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Однородное и неоднородное уравнение теплопроводности.
7. Уравнение Лапласа в полярных координатах. Решение задачи Дирихле для круга и кольца. Внешняя задача Дирихле. Решение задачи Дирихле для шара.
8. Решение уравнений в частных производных разностными методами. Составление явной и неявной разностных схем.
9. Контрольная работа.


Рекомендованная литература

1. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М. : “Высшая школа”, 1970. – 712 с.
2. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инденеров. – М.: “Мир”, 1985. - 384 c.
3. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике (типовые расчеты). М.: “Лань”, 2005. – 238 c.
Раздел 2. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

2.1 Изучаемые темы



1 Функционал. Вариационное исчисление. Вариационная задача. Вариация функционала. Необходимое условие экстремума функционала имеющего вариацию.

Экстремали. Уравнение Эйлера. Различные случаи интегрируемости уравнений Эйлера. Задача о наименьшей поверхности вращения. Задача о брахистохроне.

2 Экстремум функционала, зависящего от нескольких функций и их первых производных. Экстремум функционала, зависящего от функции и её высших производных. Уравнения Эйлера-Пуассона. Экстремум функционала, зависящего от функции нескольких независимых переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского.

3 Вариационные задачи с подвижными границами. Экстремали с угловыми точками. Задача об отражении экстремалей. Задача о преломлении экстремалей. Достаточные условия экстремума. Уравнение Якоби. Функция Вейерштрасса.

4 Прямые методы в вариационных задачах. Метод Эйлера. Метод Ритца. Некоторые приложения вариационного исчисления.

5 Вариационные задачи на условный экстремум функционала. Различные виды связей. Голономные и неголономные связи. Изопериметрические задачи.

6 Статическая оптимизация.

7 Задача оптимального управления. Управляющая функция. Принцип максимума Понтрягина.

8 Уравнения динамики объектов.

9 Некоторые классические задачи динамического программирования. Прикладные задачи динамического программирования.

2.3 Практические (семинарские) занятия



1 Функционал. Вариационные задачи. Вариация. Задачи на экстремум. Необходимое условие экстремума функционала. Экстремали. Уравнение Эйлера. Задачи на составление и решение уравнения Эйлера. Различные случаи интегрируемости уравнений Эйлера.

2 Экстремум функционала, зависящего от нескольких функций. Экстремум функционала, зависящего от функции и её высших производных. Уравнения Эйлера-Пуассона. Уравнение Эйлера-Остроградского.
3 Функционалы с подвижными границами. Экстремали с угловыми точками. Задачи об отражении и преломлении экстремалей.
4 Определение слабого и сильного экстремумов при помощи достаточных условий. Задачи на составление уравнений Якоби и функции Вейерштрасса.
5 Применение прямых методов для решения вариационных задач. Вариационные задачи на условный экстремум функционала. Изопериметрические задачи.
6 Методы статической оптимизации.
7 Задача оптимального управления. Управляющая функция. Принцип максимума Понтрягина.
8 Уравнения динамики объектов.
9 Некоторые классические задачи динамического программирования. Прикладные задачи динамического программирования. Контрольная работа.

Темы для самостоятельного изучения

1 Приложения вариационного исчисления в задачах энергетики

Темы домашних заданий

1 Функционал. Вариационные задачи. Вариация. Задачи на экстремум. Необходимое условие экстремума функционала.

2 Экстремали. Уравнение Эйлера. Задачи на составление и решение уравнения Эйлера. Различные случаи интегрируемости уравнений Эйлера.

3 Экстремум функционала, зависящего от нескольких функций. Экстремум функционала, зависящего от функции и её высших производных. Уравнения Эйлера-Пуассона. Уравнение Эйлера-Остроградского.

4 Функционалы с подвижными границами. Экстремали с угловыми точками. Задачи об отражении и преломлении экстремалей.

5 Определение слабого и сильного экстремумов при помощи достаточных условий. Задачи на составление уравнений Якоби и функции Вейерштрасса.

6 Применение прямых методов для решения вариационных задач.

7 Вариационные задачи на условный экстремум функционала. Изопериметрические задачи.

8 Задача оптимального управления. Управляющая функция. Принцип максимума Понтрягина.

9 Некоторые классические задачи динамического программирования. Прикладные задачи динамического программирования.




Основная литература:

1. Аттетков А.В., Зарубин B.C., Канатников А.Н. Введение в методы оп-тимизации. – М.: Финансы и статистика, Инфра-М, 2008

2. Галеев Э.М. Оптимизация: Теория, примеры, задачи. – М.: Эдиториал УРСС, 2012

3. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление: Задачи и примеры с подробными решениями. – М.: Эдиториал УРСС, 2010

4. Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. – М.: Эдиториал УРСС, 2008





Дополнительная литература:

5. Аракелян Э.К., Пикина Г.А. Оптимизация и оптимальное управление: Учебное пособие. – М.: Издательство МЭИ, 2003

6. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988

7. Бирюков С.И. Оптимизация. Элементы теории. Численные методы: Учебное пособие. – М.: МЗ-Пресс, 2003

8. Дегтярев Ю.И. Методы оптимизации: Учебное пособие. – М.: Советское радио, 1980

9. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. –М.: Высшая школа, 1975

10. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2002

1 Ряды

Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.

Достаточные признаки сходимости рядов. Признаки сравнения рядов. Признаки Д’Аламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Теорема Лейбница.

Функциональный ряд. Область сходимости. Равномерная сходимость. Степенной ряд. Теорема Абеля.

Ряды Тейлора и Маклорена. Биноминальный ряд. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.

Применение рядов в приближённых вычислениях. Решение дифференциальных уравнений при помощи рядов.

2 Функции комплексного переменного.

Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Формулы Эйлера.

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Модуль и аргумент произведения и частного комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечения корня nй степени из комплексного числа.

Расширенная комплексная плоскость. Множества точек на плоскости. Функция комплексного переменного. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.

Дифференцируемость функции комплексного переменного. Производная. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.

Ряды с комплексными членами. Степенные ряды. Представление основных элементарных функций при помощи рядов. Показательная и логарифмическая функции. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции.

Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Сведение к определённому интегралу.

Теорема Коши для односвязной области. Неопределённый интеграл. Теорема Коши для многосвязной области. Интегральная формула Коши. Теорема Морера. Ряд Тейлора.



3 Ряд Лорана. Вычеты.

Ряд Лорана. Свойства ряда Лорана. Кольцо сходимости.

Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.

Вычет функции. Теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Вычет функции в бесконечно удалённой точке.

Применение вычетов к вычислению определённых и несобственных интегралов.

Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.



4 Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и изображение. Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения.

Функция Хевисайда. Теорема смещения. Теорема запаздывания. Теорема подобия. Свёртка функций. Изображение основных элементарных функций.

Восстановление оригинала по рациональному изображению. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

5 Ряды Фурье. Интеграл Фурье

5.3 Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом .

Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье по синусам и по косинусам.

Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье.

6 Уравнения математической физики

Уравнения в частных производных. Волновое уравнение. Уравнение теплопроводности. Уравнение Лапласа. Начальные и граничные условия.

Аналитические методы решения уравнений первого и второго порядков. Метод Д’Аламбера. Метод разделения переменных Фурье.

Классификация линейных уравнений второго порядка. Приведение уравнений к каноническому виду.



Практические (семинарские) занятия 1 Числовой ряд. Вычисление суммы ряда. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Гармонический ряд.

2 Ряд Дирихле. Исследование сходимости ряда при помощи признаков сравнения.
3 Исследование сходимости ряда при помощи признаков Д’Аламбера, радикального и интегрального признаков Коши.
4 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Исследование сходимости ряда при помощи теоремы Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Вычисление суммы знакочередующегося ряда с заданной точностью.
5 Исследование сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Исследование сходимости ряда на концах интервала. Разложение функции в ряды Тейлора и Маклорена.
6 Использование рядов для приближенных вычислений интегралов и решения дифференциальных уравнений. Контрольная работа “Ряды”.

1 7 Действия над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
8 Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного. Показательная и логарифмическая функции комплексного переменного.
9 Дифференцируемость функции комплексного переменного. Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части.
10 Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Первообразная и неопределённый интеграл.
11 Ряд Лорана. Разложение функции в ряд Лорана.
12 Нули функции. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.
13 Вычет функции. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Контрольная работа «ТФКП»
14 Преобразование Лапласа и его свойства. Отыскание изображения функции. Восстановление оригинала по известному изображению.
15 Восстановление оригинала по известному изображению. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.
16 Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом.
17 Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье.
18 Приведение дифференциального уравнения в частных производных второго порядка к каноническому виду. Решение волнового уравнения методом Д’Аламбера.


Конформные отображения. Конформные отображения основных элементарных функций.

Преобразование многоугольников. Интеграл Кристоффеля-Шварца.

Комплексный потенциал. Краевые задачи.

Численные методы решения задач математической физики. Разностный метод. Явная и неявная разностные схемы. Метод конечных элементов.

Числовой ряд. Вычисление суммы ряда. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Гармонический ряд.

Ряд Дирихле. Исследование сходимости ряда при помощи признаков сравнения.

Исследование сходимости ряда при помощи признаков Д’Аламбера, радикального и интегрального признаков Коши.

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Исследование сходимости ряда при помощи теоремы Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Вычисление суммы знакочередующегося ряда с заданной точностью.

Исследование сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Исследование сходимости ряда на концах интервала. Разложение функции в ряды Тейлора и Маклорена.

Использование рядов для приближенных вычислений интегралов и решения дифференциальных уравнений.

Действия над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного. Показательная и логарифмическая функции комплексного переменного.

Дифференцируемость функции комплексного переменного. Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части.

Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Первообразная и неопределённый интеграл.

Ряд Лорана. Разложение функции в ряд Лорана.

Нули функции. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.

Вычет функции. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов.

Преобразование Лапласа и его свойства. Отыскание изображения функции. Восстановление оригинала по известному изображению.

Восстановление оригинала по известному изображению. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом .

Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье.

Приведение дифференциального уравнения в частных производных второго порядка к каноническому виду. Решение волнового уравнения методом Д’Аламбера.



Основная литература:

Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 2003. – 416 с.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1997. – 448 с.

Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике (типовые расчёты). – М.: Высшая школа, 2005. – 175 с.

Шипачёв В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2005. – 479 с.

Краснов М.Л., Киселёв А.М., Макаренко Г.М. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Задачи и примеры с подробными решениями. – М.: Эди-ториал УРСС, 2003. – 176 с.

Краснов М.Л., Киселёв А.М., Макаренко Г.М. Функции комплексного пере-менного: Задачи и примеры с подробными решениями. – М.: Эдиториал УРСС, 2003. – 208 с.



Дополнительная литература:

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упраж-нениях и задачах. В 2-ух ч. Ч.2. – М.: Высшая школа, 2007. – 416 с.

Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 592 с.

Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х т. – М.: Наука, 1968.

Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей матема-тики (типовые расчеты). – М.: Высшая школа, 1999. – 126 с.

Примерная программа по Высшей математике
в техническом ВУЗе

Лекции

(разбивка по часам)

Первый семестр.

Алгебра и аналитическая геометрия.

1.        Скалярные и векторные физические величины. Сила, перемещение, скорость, угловая скорость, момент. Вектор как направленный отрезок прямой. Коллинеарные и компланарные векторы. Нулевой вектор. Длина вектора. Равенство векторов. Элементарные операции над векторами: сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства элементарных операций над векторами. Векторное пространство.
2.        Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис на прямой, базис на плоскости и базис в пространстве. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
3.        Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат. Радиус вектор. Координаты точки. Столбец координат. Изоморфизм пространства радиус-векторов и векторов-столбцов их координат. Векторы размерности n. Арифметическое пространство.
4.        Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Работа силы на перемещение. Проекция вектора. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
5.        Правая и левая тройки векторов. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Площадь параллелограмма. Момент силы.
6.        Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда. Двойное векторное произведение.
7.        Определитель второго и третьего порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты сомножителей.
8.        Уравнение плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.
9.        Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Траектория точки, движущейся по инерции (I закон Ньютона). Взаимное расположение прямых и плоскостей.
10.        Система линейных уравнений. Правило Крамера.
11.        Матрицы, линейное пространство матриц порядка m?n. Квадратные матрицы. Нулевая и единичная матрицы. Перемножение матриц.
12.        Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу). Ранг матрицы.
13.        Невырожденная квадратная матрица. Понятие обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Матричная запись решения системы n уравнений с n неизвестными.
14.        Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли о существовании решения системы n уравнений с m неизвестными.
15.        Однородная систем линейных уравнений. Пространство решений. Размерность пространства решений. Общее решение однородной системы линейных уравнений.
16.        Неоднородная система линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
17.        Линейный оператор над векторным пространством и его матрица. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
18.        Преобразование поворота декартовой прямоугольной системы координат. Понятие вектора как инвариантного объекта.
19.        Полярная система координат на плоскости. Связь между координатами точки в полярной и декартовой системе координат.
20.        Цилиндрическая и сферическая система координат в пространстве. Формулы связи между координатами.
21.        Мнимая единица. Комплексные числа. Решение квадратных уравнений. Действия над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Формула Эйлера. Тригонометрическая и показательная форма записи. Комплексная плоскость.
22.        Многочлен. Корень многочлена. Теорема Безу. Сопряженные комплексные корни и разложение на линейные и квадратичные множители. Основная теорема алгебры.
23.        Деление многочленов. Дробная рациональная функция. Правильные и неправильные дроби. Выделение целой части из неправильной дроби. Простейшие дроби. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
24.        Эллипс, гипербола, парабола. Определение и геометрические свойства. Канонические и параметрические уравнения этих кривых. Траектории планет.
25.        Поверхность вращения. Цилиндрические и конические поверхности. Конусы и цилиндры. Канонические уравнения поверхностей второго порядка – сферы, эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов.
26.        Решение задач.


Функции одной переменной. Ряды.

1.        Натуральные, целые, рациональные, иррациональные числа. Числовая прямая. Открытые и замкнутые интервалы. Окрестность точки. Символы общности, существования, принадлежности элемента множеству. Модуль числа. Свойства модуля.
2.        Числовая последовательность как функция целочисленной переменной. Примеры числовых последовательностей. Факториал. Предел числовой последовательности. Теорема об ограниченности последовательности, имеющей предел. Единственность предела.
3.        Функция. Способы задания функций. Параметрически и неявно заданные функции. Основные элементарные функции и их графики (линейная, степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические и логарифмические функции).
4.        Предел функции в точке. Определение Коши и Гейне. Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. Пределы сумм, произведений и частного функций, имеющих пределы.
5.        Бесконечно малые функции. Функция как сумма постоянной и бесконечно малой. Сравнение и свойства бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые функции.
6.        Ограниченные и неограниченные функции. Пределы функции на бесконечности и бесконечно большие функции.
7.        Замечательные пределы. Пределы слева и справа. Практические приемы вычисления пределов. Предельные переходы в неравенствах.
8.        Непрерывность функции в точке и на интервале. Локальные свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.
9.        Свойства функций, непрерывных на отрезке. Непрерывность сложной и обратной функции.
10.        Производная функции. Мгновенная скорость. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Необходимое условие дифференцируемости функции.
11.        Касательная к графику функции. Тангенс угла наклона касательной. Уравнение касательной и нормали. Линеаризация дифференцируемых функций. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
12.        Правила дифференцирования. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производные основных элементарных функций.
13.        Производные и дифференциалы высших порядков. Ускорение точки.
14.        Теоремы о дифференцируемых функциях: Ролля, Лагранжа, Коши.
15.        Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей вида.
16.        Монотонность функции. Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
17.        Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты. Исследование функции.
18.        Формулы Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для функции. Остаточный член. Формула Маклорена.
19.        Числовые ряды. Частичные суммы, сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Апории Зенона.
20.        Исследование сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.
21.        Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.
22.        Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Исследование сходимости на концах интервала.
23.        Ряды Тейлора и Маклорена. Единственность. Биноминальный ряд. Разложение элементарных функций в ряд.
24.        Применение рядов Тейлора и Маклорена для вычисления пределов, приближённых вычислений и исследование поведения функции в критических точках.
25.        Решение задач и контрольной работы.


Функции нескольких переменных.

1.        Точечные множества в пространстве R2 . Окрестности точки в R2; предельная, внутренняя, изолированная и граничные точки множества, открытые и замкнутые множества, связные множества. Область пространства.
2.        Функция двух переменных. Линии уровня. Графическое изображение функции двух переменных. Распределение температур, плотности и т. п. величин на плоскости. Предел и непрерывность функций двух переменных.
3.        Производная по направлению и частные производные. Формула, выражающая производную по направлению через частные производные.
4.        Дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал.
5.        Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Применение дифференциала для приближённых вычислений.
6.        Производные сложных функций. Дифференцирование функций одной переменной, заданных неявным образом.
7.        Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных.
8.        Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
9.        Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой ограниченной области.
10.        Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
11.        Распределение скалярной физической величины в пространстве и времени. Функции трех и более переменных. Многомерный континуум – пространство Rn. Поверхности уровня. Пределы, непрерывность, дифференцируемость.
12.        Обсуждение и обзор пройденного материала.


Интегрирование.

1.        Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства первообразной и неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
2.        Методы интегрирования: подведение под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям.
3.        Интегрирование рациональных функций.
4.        Интегрирование иррациональных, тригонометрических и гиперболических функций. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
5.        Определенный интеграл. Задачи определения массы стержня с переменной плотностью и площади криволинейной трапеции. Свойства определённого интеграла. Теорема о среднем.
6.        Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям.
7.        Вычисление площадей плоских фигур в декартовой и полярной системе координат.
8.        Площадь неограниченной области. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Дирихле. Интегральный признак сходимости ряда.
9.        Несобственные интегралы от неограниченных функций. Теоремы сравнения.
10.        Длина дуги. Вычисление длины дуги плоской кривой в декартовой и полярной системе координат.
11.        Кривизна кривой. Радиус кривизны. Центр кривизны.
12.        Геометрические и механические приложения определённого интеграла.
13.        Приближенное вычисление определённых интегралов при помощи степенных рядов. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона.
14.        Обсуждение и обзор пройденного материала.

Второй семестр

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1.        Обыкновенные дифференциальные уравнения. Порядок уравнения. Общее и частное решения. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Уравнения 1-го порядка. Интегральные кривые. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
2.        Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным.
3.        Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли и метод Лагранжа. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.
4.        Огибающая семейства решений. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка.
5.        Дифференциальное уравнение второго и высших порядков. Общее решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
6.        Уравнения, допускающие понижение порядка. Задача о второй космической скорости.
7.        Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Гармонические колебания.
8.        Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Общее решение. Выбор частного решения в зависимости от вида правой части. Задачи о колебаниях маятника, пружины и т.п. при наличии трения и вынуждающей силы.
9.        Задача об устойчивости стержня. Интегрирование дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции.
10.        Общий случай неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Суперпозиция решений.
11.        Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
12.        Задача о движении материальной точки в пространстве. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, частные и общее решения.
13.        Интегрирование системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
14.        Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Траектория дифференциального уравнения в окрестности особой точки.
15.        Приложение степенных рядов к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
16.        Обсуждение и обзор пройденного материала.


Кратные интегралы и векторный анализ.

1.        Двойной интеграл. Определение и свойства. Задачи о массе пластины с переменной плотностью. Объём тела. Масса пространственного тела.
2.        Тройной интеграл. Обобщение на n-мерный случай. Свойства кратных интегралов.
3.        Правильная область. Повторный интеграл. Свойства повторного интеграла.
4.        Вычисление двойных и тройных интегралов посредством сведения к повторным.
5.        Криволинейные координаты на плоскости. Якобиан и его геометрический смысл.
6.        Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным и обобщённым полярным координатам.
7.        Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам.
8.        Геометрические и механические приложения кратных интегралов. Статический момент, моменты инерции, изгибающий и крутящий моменты.
9.        Масса дуги кривой с переменной линейной плотностью. Криволинейный интеграл по длине дуги.
10.        Площадь поверхности. Поверхностный интеграл по площади поверхности. Определение заряда, распределённого по поверхности с переменной поверхностной плотностью.
11.        Векторная функция скалярного аргумента. Годограф. Движение точки в пространстве. Траектория, скорость и ускорение. Предел и непрерывность векторной функции.
12.        Производная векторной функции. Правила дифференцирования векторов.
13.        Касательная, главная нормаль и бинормаль кривой. Соприкасающаяся плоскость.
14.        Поле температуры сплошной среды, поле вектора скорости. Скалярные и векторные поля. Векторные линии. Уравнение векторной линии.
15.        Градиент скалярного поля. Свойства градиента. Связь градиента и производной по направлению.
16.        Поток векторного поля. Определение. Примеры: поток жидкости через поверхность. Магнитный поток.
17.        Вычисление потока.
18.        Формула Остроградского. Дивергенция. Соленоидальное векторное поле. Векторная трубка.
19.        Криволинейный интеграл в векторном поле. Циркуляция. Работа векторного поля вдоль ориентированной кривой. Вычисление криволинейного интеграла.
20.        Формула Грина. Формула Стокса. Ротор векторного поля.
21.        Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования. Безвихревое векторное поле. Потенциальное векторные поля. Потенциал. Эквипотенциальные поверхности. Электростатическое и гравитационное поля. Работа потенциального векторного поля. Закон сохранения энергии.
22.        Обсуждение и обзор пройденного материала.

Практические занятия

(разбивка по парам)

Первый семестр.

Алгебра и аналитическая геометрия.

1.        Векторы. Длина вектора. Координаты вектора. Направляющие косинусы. Сложение векторов и умножение вектора на число. Коллинеарные и компланарные векторы. Орт вектора.
2.        Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Разложение вектора по базису.
3.        Линейное пространство. Базис и размерность линейного пространства.
4.        Определители второго и третьего порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей.
5.        Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Вычисление площади параллелограмма. Условие коллинеарности. Смешанное произведение векторов. Вычисление объёма параллелепипеда. Условие компланарности векторов.
6.        Уравнение прямой на плоскости.
7.        Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
8.        Система линейных уравнений. Правило Крамера.
9.        Матрицы. Действия над матрицами. Транспонирование матриц. Ранг матрицы. Способы отыскания ранга матрицы.
10.        Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).
11.        Умножение матриц. Обратная матрица.
12.        Матричные уравнения. Решение систем линейных уравнений матричным методом.
13.        Условие совместности системы. Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
14.        Общее решение однородной системы n уравнений с m неизвестными. Общее решение неоднородной системы n уравнений с m неизвестными.
15.        Линейный оператор и его матрица в данном базисе. Собственные векторы линейного оператора.
16.        Комплексные числа. Действия над комплексными числами. Решение квадратных уравнений. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы записи. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Формула Муавра.
17.        Многочлен. Корень многочлена. Разложение многочлена на линейные и квадратичные множители. Деление многочленов. Дробная рациональная функция. Выделение целой части из неправильной дроби. Простейшие дроби. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
18.        Эллипс, гипербола, парабола. Построение. Геометрические свойства. Канонические и параметрические уравнения этих кривых.
19.        Изображение поверхностей второго порядка. Поверхности вращение. Конусы и цилиндры. Сфера. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды.
20.        Полярная система координат на плоскости. Построение линий в полярной системе координат. Связь между координатами точки в полярной и декартовой системе координат. Цилиндрическая и сферическая система координат в пространстве. Формулы связи между координатами.
21.        Контрольная работа.


Функции одной переменной. Ряды.
Ответы на экзаменационные вопросы по Высшей математике
1.        Предел последовательности. Вычисление пределов последовательности.
2.        Графики основных элементарных функций. Основные приёмы построения графиков. Гиперболические функции и их графики.
3.        Функции. Способы задания и исследования функций, их ограниченность и неограниченность. Основные элементарные функции и их графики (линейная, степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические и логарифмические функции).
4.        Предел функции в точке. Вычисление пределов. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые функции.
5.        Пределы на бесконечности. Замечательные пределы. Односторонние пределы. Приёмы вычисления пределов.
6.        Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
7.        Производная. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций.
8.        Касательная и нормаль к графику функции. Задачи на применение производных в механике, физике и геометрии.
9.        Дифференциал. Применение дифференциала к приближённым вычислениям.
10.        Производная обратной функции. Производная сложной функции.
11.        Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций заданных параметрически.
12.        Повторное дифференцирование. Производные и дифференциалы высших порядков.
13.        Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей.
14.        Исследование функции с помощью производной первого порядка. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
15.        Исследование функции с помощью производных первого и второго порядков.
16.        Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты. Построение графика функции при помощи асимптот
17.        Общая схема исследования функции. Построение графиков.
18.        Формулы Тейлора и Маклорена. Применение к исследованию локального поведения функции. Вычисление пределов. Приближённые вычисления.
19.        Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Оценка остаточного члена ряда.
20.        Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов. Оценка остаточного члена ряда.
21.        Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Исследование сходимости степенного ряда на концах интервала.
22.        Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функции в ряд. Область сходимости.
23.        Контрольная работа и решение задач.


Функции нескольких переменных.

1.        Функции двух переменных. Область определения. График. Линии уровня. Предел функции. Непрерывность.
2.        Частные производные, производные по направлению. Дифференцируемость функции, полный дифференциал.
3.        Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Применение полного дифференциала к приближённым вычислениям.
4.        Производные сложных функций. Производные неявных функций.
5.        Частные производные и дифференциалы высших порядков.
6.        Формула Тейлора. Применение формулы Тейлора к приближённым вычислениям.
7.        Экстремумы функции. Исследование на экстремум.
8.        Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой ограниченной области.
9.        Функция трёх переменных. Область определения. Поверхности уровня. Частные производные. Производная по направлению. Дифференциал. Производные высших порядков.
10.        Контрольная работа.


Интегрирование.

1.        Простейшие приёмы интегрирования: подведение под знак дифференциала; выделение полного квадрата.
2.        Замена переменной в неопределённом интеграле. Формула интегрирования по частям.
3.        Интегрирование рациональных выражений.
4.        Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений.
5.        Определённый интеграл. Теорема о среднем. Площадь криволинейной трапеции. Производная интеграла по верхнему и нижнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
6.        Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям.
7.        Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат.
8.        Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат. Вычисление объёмов.
9.        Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Исследование сходимости.
10.        Вычисление длины дуги плоской кривой в декартовой и полярной системе координат.
11.        Приближенное вычисление определённых интегралов при помощи степенных рядов. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона.
12.        Контрольная работа.

Второй семестр

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1.        Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным.
2.        Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли и метод Лагранжа. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.
3.        Дифференциальное уравнение второго и высших порядков. Методы понижения порядка.
4.        Решение некоторых задач приводящих к дифференциальным уравнениям.
5.        Однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
6.        Неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Общее решение. Выбор частного решения в зависимости от вида правой части.
7.        Суперпозиция решений. Метод Лагранжа.
8.        Задачи о колебаниях маятника, пружины и т.п. при наличии трения и вынуждающей силы. Резонанс.
9.        Интегрирование дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями. Устойчивость стержня. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции.
10.        Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
11.        Интегрирование системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
12.        Приложение степенных рядов к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
13.        Контрольная работа.


Кратные интегралы и векторный анализ.

1.        Криволинейный интеграл по длине дуги.
2.        Двойной интеграл в декартовых координатах. Вычисление двойного интеграла посредством сведения к повторному. Перемена порядка интегрирования.
3.        Вычисление объёмов тел, моментов инерции и статических моментов сечений. Вычисление массы плоской пластины.
4.        Двойной интеграл в полярных и обобщённых полярных координатах.
5.        Тройной интеграл в декартовых координатах. Вычисление тройного интеграла посредством сведения к повторному.
6.        Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Геометрические и механические приложения.
7.        Площадь поверхности. Поверхностный интеграл по площади поверхности.
8.        Производная векторной функции. Правила дифференцирования векторов. Уравнение векторной линии.
9.        Градиент скалярного поля. Оператор «набла».
10.        Поток векторного поля. Вычисление потока.
11.        Формула Остроградского. Дивергенция.
12.        Криволинейный интеграл в векторном поле. Циркуляция. Работа векторного поля вдоль ориентированной кривой. Вычисление криволинейного интеграла. Формулы Грина и Стокса.
13.        Потенциальное векторное поле. Криволинейный интеграл в потенциальном векторном поле.
14.        Контрольная работа.

Чтобы освоить решение задач по Векторной алгебре необходимо знать следующие темы.

Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций. Понятие базиса на прямой, на плоскости, в пространстве. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов и его свойства. Ортогональные и ортонормированные векторы. Проекция вектора на ось. Координаты вектора в ортогональном и ортонормированном базисах.

Декартовы прямоугольные координаты вектора и его направляющие косинусы. Длина вектора. Угол между векторами. Векторное и смешанное произведения векторов и их свойства.

Чтобы освоить решение задач на составление уравнений плоскости и прямой необходимы знания вопросов:

Определение плоскости. Общее уравнение плоскости. Теорема о нормальном векторе плоскости. Понятия о полном и неполном уравнениях плоскости. Различные виды уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Различные виды уравнения прямой на плоскости. Общее и нормальное уравнения прямой на плоскости. Различные виды уравнения прямой в пространстве. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Условия принадлежности прямой к плоскости.

Чтобы решить задачу по линейной алгебре необходимы следующие знания.

Понятие матрицы. Различные виды матриц. Действия над матрицами. Понятие определителя. Свойства определителей. Миноры и их алгебраические дополнения. Ранг матрицы. Разложение определителя по элементам строки и по элементам столбца.

Присоединенная матрица. Обратная матрица, условие её существования. Вычисление обратной матрицы. Преобразование матриц. Ступенчатая матрица. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы. Основные понятия. Отыскание решений линейной системы уравнений методом Гаусса. Определение линейного пространства. Понятие подпространства и линейной оболочки. Примеры линейных пространств. Свойства произвольных линейных пространств. Понятие линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Размерность и базис линейного пространства. Теорема о разложении элемента пространства по данному базису и о единственности такого разложения.

Система линейных однородных уравнений. Система линейных неоднородных уравнений.

Понятие линейного оператора. Пространство линейных операторов. Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение. Алгоритм нахождения собственных векторов.

О преобразовании декартовых прямоугольных координат на плоскости. Линии 2го порядка. Квадратичная форма от двух переменных. Классификация линий 2го порядка. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения.

Для решения задач на числовые множества и последовательности необходимо закрепить следующие понятия.

Числовые последовательности. Основные понятия. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Сходящиеся последовательности. Основные теоремы о числовых последовательностях.

Задачи по высшей математике на темы: Функции одной переменной. Предел и непрерывность.

Функция одной переменной. Основные понятия. Предел функции в бесконечности. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах функций. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций. Основные теоремы о бесконечно малых функциях. Асимптотические формулы для бесконечно малых функций. Бесконечно большие функции. Асимптоты графика функции.

Непрерывность функции. Три определения непрерывности функции в точке. Точки разрыва функции. Основные свойства непрерывных функций: теоремы БольцаноКоши, теоремы Вейерштрасса. Сложная функция. Теорема о непрерывности сложной функции. Обратная функция. Теорема о непрерывности обратной функции.

Задачи по математике на темы: Функции одной переменной. Дифференцирование.

Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной. Понятие дифференцируемости функции. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного. Понятие обратной функции. Теорема о существовании обратной функции и теорема о производной обратной функции. Геометрический смысл производной обратной функции. Вычисление производных функций ах, arcsinx, arctgx. Правило дифференцирования сложной функции. Логарифмическая производная. Производные показательностепенной и гиперболических функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Параметрическое задание функции. Теорема о дифференцировании функции, заданной параметрически. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Геометрический смысл теорем Ролля и Ферма. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Неопределенности. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена. Разложение функций ех, sinx, cosx, (1+x)c, где c – вещественное число, по формуле Маклорена. Примеры вычисления пределов с использованием формулы Маклорена. Признак монотонности функции. Точки локального экстремума функции. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума. Теорема о направлениях выпуклости графика функции

Решение задачи по математике на темы: Функции одной переменной. Интегрирование.

Первообразная и неопределённый интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям. Три группы интегралов, интегрируемых по частям.

Определение определенного интеграла. Суммы Дарбу. Условие существования определенного интеграла. Классы интегрируемых функций. Основные свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Понятие рациональной функции от двух аргументов. Интегрирование рациональных функций. Интегралы от дробно-линейной и квадратичной иррациональностей. Интегрирование биномиальных и трансцендентных выражений. Неберущиеся интегралы. Полярная система координат. Квадратура криволинейной трапеции и криволинейного сектора. Длина дуги кривой. Площадь поверхности и объем тела вращения.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

Основные понятия и простейшие свойства. Методы интегрирования и признаки сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Абсолютная сходимость. Признак сходимости несобственного интеграла от бесконечно малой функции. Понятие о несобственном интеграле от неограниченной функции.

Решение задач по высшей математике из области функции нескольких переменных. Предел и непрерывность.

Арифметическое n-мерное пространство. Открытая и замкнутая области. Сходимость в n-мерном пространстве. Понятие функции многих переменных. Поверхности и линии уровня. Предел функции в точке. Непрерывность функции многих переменных. Основные свойства непрерывных функций.

Задачи по высшей математике на тему: Дифференцирование функций нескольких переменных.

Полное и частные приращения функции. Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции. Производные сложных функций.

Дифференциал функции. Полный и частные дифференциалы функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Инвариантность формы полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Неявные функции. Теорема существования неявной функции одной переменной. Вывод формулы для нахождения производной неявной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Условия равенства смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Символическая запись n-го дифференциала. Формула Тейлора для функции одной переменной и для функции двух переменных. Экстремумы функции нескольких переменных. Обобщенная теорема Ферма (необходимое условие экстремума). Критические и стационарные точки. Теорема об экстремуме функции двух переменных. Условные (относительные) экстремумы. Условные стационарные точки. Метод отыскания условных экстремумов (метод Лагранжа). Функция Лагранжа.

Задач по математике на тему: Интегрирование функций нескольких переменных.

Определение и условия существования двойного и тройного интегралов. Геометрическая трактовка двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Координатные линии. Криволинейные координаты. Полярные координаты, как один из видов криволинейных координат.

Теорема о замене переменных в двойном интеграле. Якобиан. Переход к полярным координатам. Вычисление тройных интегралов. Приложения двойных и тройных интегралов. Криволинейные интегралы первого рода и их вычисление. Криволинейные интегралы второго рода и их вычисление. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Поверхностные интегралы первого рода и их вычисление. Двусторонняя и односторонняя поверхности. Поверхностные интегралы второго рода. Общий поверхностный интеграл второго рода и его вычисление. Связь с поверхностным интегралом первого рода.

Элементы векторного анализа.

Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность и дифференцируемость векторфункции. Правила дифференцирования векторфункции. Производные и дифференциалы высших порядков векторфункции. Формула Тейлора. Скалярное и векторное поля. Потенциальное поле. Условия потенциальности векторного поля. Поток векторного поля. Дивергенция. Соленоидальное векторное поле. Формула Остроградского в векторной и скалярной формах. Циркуляция векторного поля. Ротор. Формула Стокса в векторной и скалярной формах. Формула Грина. Операторы Гамильтона и Лапласа. Применение их в векторном анализе.

Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения (общие понятия). Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. О решении задачи Коши. Теорема Коши и её геометрическое содержание.

Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения в полных дифференциалах. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные уравнения первого порядка. Методы Лагранжа и Бернулли решения линейного неоднородного уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков.

Методы понижения порядка трёх типов уравнений. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (основные понятия). Линейная зависимость и линейная независимость функций. Вронскиан. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теоремы о пространстве решений однородного уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема об общем решении неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения однородного уравнения в случае, когда его характеристический многочлен содержит кратные корни. Структура общего решения однородного уравнения в случае, когда его характеристический многочлен содержит комплексные корни. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Системы дифференциальных уравнений.Устойчивость. Динамические системы.

Системы дифференциальных уравнений (основные понятия). Задача Коши. Системы линейных дифференциальных уравнений. Теорема Коши. Вронскиан системы вектор-функций. Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной линейной системы. Об общем решении неоднородной линейной системы. Дифференциальная однородная система с постоянной матрицей. Метод Эйлера. Устойчивость (по Ляпунову) решений дифференциальной системы (общие понятия). Устойчивость линейных систем. Устойчивость по первому приближению точек покоя нелинейных систем. Динамические системы дифференциальных уравнений.

Ряды.

Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. Достаточные признаки сходимости рядов. Признаки сравнения рядов. Признаки Д’Аламбера, радикальный и интегральный признаки Коши. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Теорема Лейбница.

Функциональный ряд.

Область сходимости. Равномерная сходимость. Степенной ряд. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена. Биноминальный ряд. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Применение рядов в приближённых вычислениях.

Высшая математика. Решение задач на тему: Комплексные числа.

Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Формула Эйлера. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула Муавра.

Математика. Решение задач на тему: Функции комплексного переменного.

Расширенная комплексная плоскость. Множества точек на плоскость. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного.

Ряды с комплексными членами. Представление экспоненциальной, тригонометрических и гиперболических функций при помощи рядов. Показательная и логарифмическая функции. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Производная. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.

Интеграл от функции комплексного переменного.

Первообразная и неопределённый интеграл. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Теорема Коши для односвязной области. Теорема Коши для многосвязной области. Интегральная формула Коши. Теорема Морера. Ряд Тейлора.

Ряд Лорана. Вычеты.

Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Свойства ряда Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки. Вычет функции. Теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.

Высшая математика. Решение задач на тему: Операционное исчисление.

Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и изображение. Дифференцирование и интегрирование изображения. Функция Хевисайда. Теорема смещения. Теорема запаздывания. Теорема подобия. Свёртка функций. Изображение основных элементарных функций. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

Ряды Фурье. Интеграл Фурье.

Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Интеграл Фурье в комплексной форме.

Элементы дискретной математики.

Множества и основные операции над множествами. Отношения и функции. Мощность множества. Конечные и бесконечные множества.

Бинарные отношения. Матрица бинарного отношения. Отношение эквивалентности. Фактор-множества. Отношение порядка. Алгебраические системы. Натуральные числа. Принцип математической индукции. Системы счисления. Элементы теории графов. Ориентированные и неориентированные графы. Матрица смежности. Матрица инцидентности. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Некоторые задачи теории графов. Алгебра логики. Формулы алгебры логики. Высказывания. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность. Функции алгебры логики. Эквивалентность формул. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Совершенные нормальные формы. Минимизация булевых функций. Карты Карно. Принцип двойственности. Полные системы булевых функций. Функциональная декомпозиция. Логические сети. Мультиплексоры.

Основные классические уравнения математической физики. Статистические и феноменологические модели.

Волновое уравнение колебаний струны. Уравнение колебаний мембраны. Уравнение теплопроводности. Уравнение диффузии. Уравнения Лапласа и Пуассона. Классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения характеристик. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду. Каноническая форма уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа. Начальные и граничные условия. Понятие корректности поставленной краевой задачи. Аналитические методы решения волнового уравнения гиперболического типа. Метод Даламбера. Метод разделения переменных Фурье для волнового уравнения. Метод Римана решения волнового уравнения. Телеграфное уравнение. Решение уравнения распространения электромагнитных колебаний в длинном проводнике методом Римана. Метод Пуассона решения волнового уравнения. Формула Пуассона. Система уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Уравнение распространения звуковых волн. Аналитические методы решения уравнения Лапласа эллиптического типа. Примеры задач, сводящихся к решению уравнения Лапласа и Пуассона. Уравнение Лапласа в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Решение уравнения Лапласа методом разделения переменных Фурье. Интегральное представление решения уравнения Лапласа для круга. Интеграл Пуассона. Решение задачи Дирихле для шара. Формула Пуассона для шара. Метод функций Грина для уравнения Лапласа. Уравнение Гельмгольца. Решение уравнения Гельмгольца методом разделения переменных Фурье в цилиндрической системе координат. Аналитические методы решения уравнений параболического типа. Обзор решений уравнения теплопроводности: стержень конечной длины и пластина без внутренних источников тепла и с внутренними источниками тепла; бесконечный цилиндр. Решение уравнения теплопроводности для пластинки прямоугольной формы методом разделения переменных Фурье. Математические модели механики сплошной среды. Понятие тензора напряжений и вектора напряжений на ориентированной площадке. Численные методы решения уравнений математической физики. Метод конечных разностей. Шаблоны сеток. Сеточные операторы уравнения теплопроводности и волнового уравнения. Сеточный оператор уравнения Лапласа в двумерной области. Разностная задача Дирихле в прямоугольнике.

Решение задач по математике предполагает знание тем из следующего списка.

Вектор, его координаты, длина, направляющие косинусы. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису. Коллинеарные векторы. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Уравнение прямой на плоскости.

Определители и их основные свойства. Разложение определителя по элементам строки и столбца. Правило Крамера решения системы линейных уравнений. Контрольная работа «Аналитическая геометрия». Действия с матрицами. Обратная матрица. Матричные уравнения.Решение систем уравнений матричным методом. Ранг матрицы. Метод Гаусса решения системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы уравнений. Линейное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и размерность линейного пространства. Структура общего решения однородной системы линейных уравнений. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений.Линейный оператор и его матрица в данном базисе. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Контрольная работа «Линейная алгебра». Квадратичные формы. Уравнения линии второго порядка.Эллипс. Гипербола. Парабола.Поверхности второго порядка.Предел функции на бесконечности. Предел числовой последовательности. Предел функции в точке. Простейшие приёмы вычисления пределов. Бесконечно малые функции, их свойства. Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение при вычислении пределов. Бесконечно большие функции.Односторонние пределы функции в точке. Непрерывность функции в точке. Условие непрерывности. Виды точек разрыва. Асимптоты графика функции.Комбинирование приёмов вычисления пределов. Контрольная работа «Пределы».Понятие производной. Таблица производных. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного. Геометрический и механический смысл производной. Производная сложной функции. Дифференциал функции. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.Исследование функций с помощью производных первого и второго порядка. Наибольшее и наименьшее значения функции. Общая схема исследования функции и построение её графика. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Исследование кривых, заданных параметрическими уравнениями и уравнениями в полярных координатах.Формула Тейлора. Контрольная работа «Дифференцирование. Графики». Простейшие приемы интегрирования. Метод подведения под знак дифференциала. Метод выделения полного квадрата.Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле.Определенный интеграл. Производные интеграла по верхнему и нижнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница. Теорема о среднем. Вычисление определённого интеграла по частям. Замена переменной в определённом интеграле.Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических выражений.Интегрирование иррациональностей.Вычисление площадей плоских фигур.Вычисление длин дуг плоских кривых. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Исследование на сходимость.Несобственный интеграл от функции с бесконечными разрывами. Исследование на сходимость. Контрольная работа «Интегралы».Функции нескольких переменных, её область определения, график. Поверхности и линии уровня. Предел. Непрерывность функции. Частные производные. Производные по направлению. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал. Производные сложных функций. Производные неявно заданных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения. Условные экстремумы. Формула Тейлора. Контрольная работа «Функции нескольких переменных». Двойной интеграл в декартовых координатах. Расстановка пределов интегрирования и вычисление. Перемена порядка интегрирования. Двойной интеграл в полярных координатах. Обобщенные полярные координаты. Геометрические приложения двойного интеграла. Тройной интеграл в декартовых координатах. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Тройной интеграл в сферических координатах.Криволинейные интегралы по длине дуги кривой.Поверхностный интеграл по площади поверхности.Контрольная работа «Кратные интегралы». Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Градиент.Поток векторного поля через поверхность. Формула Остроградского. Криволинейный интеграл в векторном поле. Циркуляция. Формула Стокса. Потенциальное поле. Криволинейный интеграл в потенциальном поле. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные. Дифференциальные уравнения высших порядков. Методы понижения порядка уравнения. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора. Определение вида частного решения. Принцип суперпозиции решений линейных дифференциальных уравнений. Метод Лагранжа. Системы дифференциальных уравнений. Структура общего решения однородной и неоднородной линейных систем. Критерий устойчивости и неустойчивости решения системы дифференциальных уравнений по первым приближениям. Числовой ряд. Вычисление суммы ряда. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Гармонический ряд. Ряд Дирихле. Исследование сходимости ряда при помощи признаков сравнения. Исследование сходимости ряда при помощи признаков Д’Аламбера, радикального и интегрального признаков Коши. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Исследование сходимости ряда при помощи теоремы Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Вычисление суммы знакочередующегося ряда с заданной точностью. Исследование сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Исследование сходимости ряда на концах интервала. Разложение функции в ряды Тейлора и Маклорена. Использование рядов для приближённых вычислений интегралов и решения дифференциальных уравнений. Контрольная работа “Ряды”.Действия над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Первообразная и неопределённый интеграл. Вычисление контурных интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Разложение функции в ряд Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки. Вычет функции. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Логарифмический вычет. Контрольная работа «ТФКП» Преобразование Лапласа и его свойства. Отыскание изображения функции. Восстановление оригинала по известному изображению. Дифференцирование оригиналов и изображений. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом. Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Контрольная работа «Операционное исчисление. Ряды Фурье». Основные операции над множествами. Бинарные отношения. Матрица бинарного отношения. Отношение эквивалентности. Системы счисления. Переход из одной системы счисления в другую. Графы. Матрица смежности. Матрица инцидентности. Алгебра логики. Формулы алгебры логики. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность. Составление таблиц истинности. Доказательство эквивалентности. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Совершенные нормальные формы. Приведение формул к ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ. Минимизация булевых функций. Карты Карно. Метод Квайна. Полнота системы функций. Уравнение функций Бесселя первого рода и модифицированных функций Бесселя. Наблаоператор Гамильтона. Нахождение характеристик для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов. Приведение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами к каноническому виду. Построение профиля струны по формуле Даламбера. Определение собственных чисел и собственных функций для струны конечной длины в методе разделения переменных Фурье. Уравнения характеристик для волнового уравнения. Контрольная работа. Метод Римана решения волнового уравнения. Решение уравнения распространения электромагнитных колебаний в длинном проводнике методом Римана. Определение собственных чисел и собственных функций для уравнения Лапласа в методе Фурье. Решение уравнения Лапласа в прямоугольной области при неоднородных граничных условиях методом разделения переменных Фурье. Решение уравнения теплопроводности для пластинки прямоугольной формы методом разделения переменных Фурье. Расчет подшипника скольжения цилиндрической формы. Шаблоны сеток. Сеточные операторы уравнения теплопроводности и волнового уравнений.

I семестр

Вводная лекция.

Математика в инженерных задачах.

Математическое моделирование физических явлений и химических процессов. Примеры.
Элементы линейной алгебры.

Матрицы.

Основные операции над матрицами. Определители матриц n-го порядка и их свойства.
Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Теория Кронекера-Капелли. Решение и исследование СЛАУ методом Гаусса. Однородные системы.
Векторная алгебра.

Векторы.

Линейное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Базис в . Теорема разложения. Евклидово пространство. Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный и ортонормированный базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Элементы линейной аналитической геометрии. Соответствие между геометрическими образами и уравнениями. Плоскость. Прямая и плоскость в пространстве. Различные виды уравнений. Основные задачи на прямую и плоскость. Плоскость и прямая в .
Кривые и поверхности 2-го порядка. Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Преобразование систем координат. Приведение уравнений к каноническому виду. Поверхность 2-го порядка в трехмерном пространстве. Исследование формы методом параллельных сечений. Полярная и цилиндрическая системы координат.


Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Взаимно-однозначное соответсвие. Числовые множества. Теорема Кантора.
Комплексные числа.

Алгебраическая и тригонометрическая форма.

Формула Муавра. Показательная форма.
Предел числовой последовательности и предел функции одной переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых функций. Теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые. Односторонние пределы. Непрерывность функции.
Точки разрыва, их классификация. Теоремы о функциях, непрерывных в точке и на отрезке.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная функции. Производные элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференциал функции.
Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке.
Необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость кривой в точке и на отрезке.
Асимптоты кривой. Общая схема построения графика. Формула Тейлора. Представление важнейших элементарных функций с помощью формулы Тейлора. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Открытые и замкнутые множества. Метрическое пространство. Сходимость в метрическом пространстве. Предел и непрерывность функции. Частные производные и производная по направлению. Градиент скалярного поля. Дифференцируемая функция.
Дифференциал функции. Касательная и нормаль к поверхности. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения функций в области. Условный экстремум.
Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность. Дифференцирование функции. Условия Коши-Римана.
Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница.

II семестр
Неопределенные интегралы. Свойства неопределенных интегралов. Методы замены переменной и интегрирования по частям. Интегрирование рациональных дробей, алгебраических рациональностей, тригонометрических функций.
Определенный интеграл и его приложения. Химические задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям.
Несобственные интегралы, их свойства и вычисление. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда. Приложения определенных интегралов (вычисление площади, объемов, длины дуги, площади поверхности вращения, центра тяжести, моментов инерции). Приближенные методы интегрирования.
Функциональные ряды. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора. Ряды Фурье по ортогональной системе функций. Тригонометрические ряды Фурье.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Задача Коши. Химическая задача с дифференциальными уравнениями. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающих понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теоремы о структуре общего решения ЛОДУ и ЛНДУ. Метод вариации постоянных. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Системы дифференциальных уравнений. Методы интегрирования.
Линейная однородная и неоднородная системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.
Кратные и криволинейные интегралы. Интегральная сумма и определенный интеграл по фигуре. Основные свойства. Геометрический смысл. Вычисление криволинейных интегралов по дуге. Двойной интеграл в декартовой и полярной системах координат. Тройной интеграл.
Вычисление поверхностных интегралов. Формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса.
Векторный анализ и теория поля. Скалярное и векторное поля. Скалярные и векторные поля могут использоваться при решении задачи по физике. Поток вектора через ориентированную поверхность. Дивергенция векторного поля. Солиноидальные поля. Теорема Остроградского Гаусса в векторной записи. Циркуляция. Потенциальное векторное поле. Потенциал. Ротор векторного поля. Теорема Стокса в векторной записи. Потенциальное несжимаемое векторное поле. Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Гамильтона. Задача Дирихле для круга.

III семестр
Системы множеств и элементы комбинаторики. Операции над множествами. Кольцо множеств. Алгебра множеств. -алгебры. Основной принцип комбинаторики. Сочетания, перестановка, размещения.
Случайные события в теории вероятностей. Стохастический эксперимент, пространство элементарных событий. Операции над событиями. Относительна частота события. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство. Статистический и геометрический методы определения вероятности. Условные вероятности. Формула умнолжения. Теорема о полной вероятности. Формула Байеса. Независимые случайные события. Последовательные испытания. Схема Бернули. Предельные теоремы в схеме Бернули.
Случайные величины и функции распределения. Функция распределения и ее свойства. Дискретные случайные величины и формы задания их распределений. Непрерывные с.в. Плотность распределения и ее свойства. Числовые характеристики с.в. Примеры стандартных моделей распределения дискретных и непрерывных с.в. Нормальное распределение. Совместное распределение с.в. Функция и плотность распределения двумерной случайной величины. Теорема о независимости. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева. Теорема Бернули. Случайные процессы. Понятие о задании случайного процесса. Математическое ожидание и корреляционная функция случайного процесса. Процесс Пуассона. Понятие о процессах Маркова.
Элементы математической статистики. Выборочный метод исследования случайной величины. Генеральная и выборочная совокупность. Статистический закон распределения и его графическое представление. Числовые оценки параметров распределения. Метод моментов. Классификация точечных оценок. Принцип максимального правдоподобия. Проверка статистических гипотез. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона.
Элементы дискретной математики. Введение в математическую логику. Логика высказываний. Алгебра логики. Булевы функции. Исчисление высказываний. Алгебраические структуры. Группы, кольца и поля. Элементы теории кодирования. Основные понятия теории графов. Деревья и циклы. Численные характеристики графов. Матрицы, порождаемые графом.

Решение задач по векторной алгебре предполагает знание следующих тем.

Вектора. Линейные операции над векторами. Базис на прямой, на плоскости, в пространстве. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Координаты вектора и его направляющие косинусы. Длина вектора. Угол между векторами. Векторное и смешанное произведения векторов.

Умение решить задачу на уравнений плоскости и прямой подразумевает знания вопросов:

Плоскость и общее уравнение плоскости. Различные виды уравнения плоскости. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Различные виды уравнения прямой на плоскости. Общее и нормальное уравнения прямой на плоскости. Различные виды уравнения прямой в пространстве. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Условия принадлежности прямой к плоскости.

Чтобы решить задачу по линейной алгебре необходимы следующие знания.

Понятие матрицы. Различные виды матриц. Действия над матрицами. Понятие определителя. Свойства определителей. Миноры и их алгебраические дополнения. Ранг матрицы. Разложение определителя по элементам строки и по элементам столбца.

Присоединенная матрица. Обратная матрица, условие её существования. Вычисление обратной матрицы. Преобразование матриц. Ступенчатая матрица. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы. Основные понятия. Отыскание решений линейной системы уравнений методом Гаусса. Определение линейного пространства. Понятие подпространства и линейной оболочки. Примеры линейных пространств. Свойства произвольных линейных пространств. Понятие линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Размерность и базис линейного пространства. Теорема о разложении элемента пространства по данному базису и о единственности такого разложения.

Система линейных однородных уравнений. Система линейных неоднородных уравнений.

Понятие линейного оператора. Пространство линейных операторов. Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение. Алгоритм нахождения собственных векторов.

О преобразовании декартовых прямоугольных координат на плоскости. Линии 2го порядка. Квадратичная форма от двух переменных. Классификация линий 2го порядка. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения.

Для решения задач на числовые множества и последовательности необходимо закрепить следующие понятия.

Числовые последовательности. Основные понятия. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Сходящиеся последовательности. Основные теоремы о числовых последовательностях.

Задачи по высшей математике на темы: Функции одной переменной. Предел и непрерывность.

Функция одной переменной. Основные понятия. Предел функции в бесконечности. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах функций. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций. Основные теоремы о бесконечно малых функциях. Асимптотические формулы для бесконечно малых функций. Бесконечно большие функции. Асимптоты графика функции.

Непрерывность функции. Три определения непрерывности функции в точке. Точки разрыва функции. Основные свойства непрерывных функций: теоремы БольцаноКоши, теоремы Вейерштрасса. Сложная функция. Теорема о непрерывности сложной функции. Обратная функция. Теорема о непрерывности обратной функции.

Задачи по математике на темы: Функции одной переменной. Дифференцирование.

Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной. Понятие дифференцируемости функции. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного. Понятие обратной функции. Теорема о существовании обратной функции и теорема о производной обратной функции. Геометрический смысл производной обратной функции. Вычисление производных функций ах, arcsinx, arctgx. Правило дифференцирования сложной функции. Логарифмическая производная. Производные показательностепенной и гиперболических функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Параметрическое задание функции. Теорема о дифференцировании функции, заданной параметрически. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Геометрический смысл теорем Ролля и Ферма. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Неопределенности. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена. Разложение функций ех, sinx, cosx, (1+x)c, где c – вещественное число, по формуле Маклорена. Примеры вычисления пределов с использованием формулы Маклорена. Признак монотонности функции. Точки локального экстремума функции. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума. Теорема о направлениях выпуклости графика функции

Решение задачи по математике на темы: Функции одной переменной. Интегрирование.

Первообразная и неопределённый интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям. Три группы интегралов, интегрируемых по частям.

Определение определенного интеграла. Суммы Дарбу. Условие существования определенного интеграла. Классы интегрируемых функций. Основные свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Понятие рациональной функции от двух аргументов. Интегрирование рациональных функций. Интегралы от дробно-линейной и квадратичной иррациональностей. Интегрирование биномиальных и трансцендентных выражений. Неберущиеся интегралы. Полярная система координат. Квадратура криволинейной трапеции и криволинейного сектора. Длина дуги кривой. Площадь поверхности и объем тела вращения.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

Основные понятия и простейшие свойства. Методы интегрирования и признаки сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Абсолютная сходимость. Признак сходимости несобственного интеграла от бесконечно малой функции. Понятие о несобственном интеграле от неограниченной функции.

Решение задач по высшей математике из области функции нескольких переменных. Предел и непрерывность.

Арифметическое n-мерное пространство. Открытая и замкнутая области. Сходимость в n-мерном пространстве. Понятие функции многих переменных. Поверхности и линии уровня. Предел функции в точке. Непрерывность функции многих переменных. Основные свойства непрерывных функций.

Задач по высшей математике на тему: Дифференцирование функций нескольких переменных.

Полное и частные приращения функции. Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции. Производные сложных функций.

Дифференциал функции. Полный и частные дифференциалы функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Инвариантность формы полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Неявные функции. Теорема существования неявной функции одной переменной. Вывод формулы для нахождения производной неявной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Условия равенства смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Символическая запись n-го дифференциала. Формула Тейлора для функции одной переменной и для функции двух переменных. Экстремумы функции нескольких переменных. Обобщенная теорема Ферма (необходимое условие экстремума). Критические и стационарные точки. Теорема об экстремуме функции двух переменных. Условные (относительные) экстремумы. Условные стационарные точки. Метод отыскания условных экстремумов (метод Лагранжа). Функция Лагранжа.

Задач по математике на тему: Интегрирование функций нескольких переменных.

Определение и условия существования двойного и тройного интегралов. Геометрическая трактовка двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Координатные линии. Криволинейные координаты. Полярные координаты, как один из видов криволинейных координат.

Теорема о замене переменных в двойном интеграле. Якобиан. Переход к полярным координатам. Вычисление тройных интегралов. Приложения двойных и тройных интегралов. Криволинейные интегралы первого рода и их вычисление. Криволинейные интегралы второго рода и их вычисление. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Поверхностные интегралы первого рода и их вычисление. Двусторонняя и односторонняя поверхности. Поверхностные интегралы второго рода. Общий поверхностный интеграл второго рода и его вычисление. Связь с поверхностным интегралом первого рода.

Элементы векторного анализа.

Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность и дифференцируемость векторфункции. Правила дифференцирования векторфункции. Производные и дифференциалы высших порядков векторфункции. Формула Тейлора. Скалярное и векторное поля. Потенциальное поле. Условия потенциальности векторного поля. Поток векторного поля. Дивергенция. Соленоидальное векторное поле. Формула Остроградского в векторной и скалярной формах. Циркуляция векторного поля. Ротор. Формула Стокса в векторной и скалярной формах. Формула Грина. Операторы Гамильтона и Лапласа. Применение их в векторном анализе.

Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения (общие понятия). Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. О решении задачи Коши. Теорема Коши и её геометрическое содержание.

Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения в полных дифференциалах. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные уравнения первого порядка. Методы Лагранжа и Бернулли решения линейного неоднородного уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков.

Методы понижения порядка трёх типов уравнений. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (основные понятия). Линейная зависимость и линейная независимость функций. Вронскиан. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теоремы о пространстве решений однородного уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема об общем решении неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения однородного уравнения в случае, когда его характеристический многочлен содержит кратные корни. Структура общего решения однородного уравнения в случае, когда его характеристический многочлен содержит комплексные корни. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Системы дифференциальных уравнений.Устойчивость. Динамические системы.

Системы дифференциальных уравнений (основные понятия). Задача Коши. Системы линейных дифференциальных уравнений. Теорема Коши. Вронскиан системы вектор-функций. Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной линейной системы. Об общем решении неоднородной линейной системы. Дифференциальная однородная система с постоянной матрицей. Метод Эйлера. Устойчивость (по Ляпунову) решений дифференциальной системы (общие понятия). Устойчивость линейных систем. Устойчивость по первому приближению точек покоя нелинейных систем. Динамические системы дифференциальных уравнений.

Ряды.

Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. Достаточные признаки сходимости рядов. Признаки сравнения рядов. Признаки Д’Аламбера, радикальный и интегральный признаки Коши. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Теорема Лейбница.

Функциональный ряд.

Область сходимости. Равномерная сходимость. Степенной ряд. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена. Биноминальный ряд. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Применение рядов в приближённых вычислениях.

Высшая математика. Решение задач на тему: Комплексные числа.

Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Формула Эйлера. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула Муавра.

Математика. Решение задач на тему: Функции комплексного переменного.

Расширенная комплексная плоскость. Множества точек на плоскость. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного.

Ряды с комплексными членами. Представление экспоненциальной, тригонометрических и гиперболических функций при помощи рядов. Показательная и логарифмическая функции. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Производная. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.

Интеграл от функции комплексного переменного.

Первообразная и неопределённый интеграл. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Теорема Коши для односвязной области. Теорема Коши для многосвязной области. Интегральная формула Коши. Теорема Морера. Ряд Тейлора.

Ряд Лорана. Вычеты.

Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Свойства ряда Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки. Вычет функции. Теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.

Высшая математика. Решение задач на тему: Операционное исчисление.

Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и изображение. Дифференцирование и интегрирование изображения. Функция Хевисайда. Теорема смещения. Теорема запаздывания. Теорема подобия. Свёртка функций. Изображение основных элементарных функций. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

Ряды Фурье. Интеграл Фурье.

Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Интеграл Фурье в комплексной форме.

Элементы дискретной математики.

Множества и основные операции над множествами. Отношения и функции. Мощность множества. Конечные и бесконечные множества.

Бинарные отношения. Матрица бинарного отношения. Отношение эквивалентности. Фактор-множества. Отношение порядка. Алгебраические системы. Натуральные числа. Принцип математической индукции. Системы счисления. Элементы теории графов. Ориентированные и неориентированные графы. Матрица смежности. Матрица инцидентности. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Некоторые задачи теории графов. Алгебра логики. Формулы алгебры логики. Высказывания. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность. Функции алгебры логики. Эквивалентность формул. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Совершенные нормальные формы.

Основные классические уравнения математической физики. Статистические и феноменологические модели.

Волновое уравнение колебаний струны. Уравнение колебаний мембраны. Уравнение теплопроводности. Уравнение диффузии. Уравнения Лапласа и Пуассона. Классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения характеристик. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду. Каноническая форма уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа. Начальные и граничные условия. Понятие корректности поставленной краевой задачи. Аналитические методы решения волнового уравнения гиперболического типа. Метод Даламбера. Метод разделения переменных Фурье для волнового уравнения. Метод Римана решения волнового уравнения. Телеграфное уравнение. Решение уравнения распространения электромагнитных колебаний в длинном проводнике методом Римана. Метод Пуассона решения волнового уравнения. Формула Пуассона. Интегральное представление решения уравнения Лапласа для круга. Интеграл Пуассона. Решение задачи Дирихле для шара. Формула Пуассона для шара. Метод функций Грина для уравнения Лапласа. Уравнение Гельмгольца. Решение уравнения Гельмгольца методом разделения переменных Фурье в цилиндрической системе координат. Аналитические методы решения уравнений параболического типа. Обзор решений уравнения теплопроводности: стержень конечной длины и пластина без внутренних источников тепла и с внутренними источниками тепла; бесконечный цилиндр. Решение уравнения теплопроводности для пластинки прямоугольной формы методом разделения переменных Фурье. Математические модели механики сплошной среды. Понятие тензора напряжений и вектора напряжений на ориентированной площадке. Численные методы решения уравнений математической физики. Метод конечных разностей. Шаблоны сеток. Сеточные операторы уравнения теплопроводности и волнового уравнения. Сеточный оператор уравнения Лапласа в двумерной области. Разностная задача Дирихле в прямоугольнике.

Решение задач по математике предполагает знание тем из следующего списка.

Вектор, его координаты, длина, направляющие косинусы. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису. Коллинеарные векторы. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Уравнение прямой на плоскости.

Определители и их основные свойства. Разложение определителя по элементам строки и столбца. Правило Крамера решения системы линейных уравнений. Контрольная работа «Аналитическая геометрия». Действия с матрицами. Обратная матрица. Матричные уравнения.Решение систем уравнений матричным методом. Ранг матрицы. Метод Гаусса решения системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы уравнений. Линейное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и размерность линейного пространства. Структура общего решения однородной системы линейных уравнений. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений.Линейный оператор и его матрица в данном базисе. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Контрольная работа «Линейная алгебра». Квадратичные формы. Уравнения линии второго порядка.Эллипс. Гипербола. Парабола.Поверхности второго порядка.Предел функции на бесконечности. Предел числовой последовательности. Предел функции в точке. Простейшие приёмы вычисления пределов. Бесконечно малые функции, их свойства. Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение при вычислении пределов. Бесконечно большие функции.Односторонние пределы функции в точке. Непрерывность функции в точке. Условие непрерывности. Виды точек разрыва. Асимптоты графика функции.Комбинирование приёмов вычисления пределов. Контрольная работа «Пределы».Понятие производной. Таблица производных. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного. Геометрический и механический смысл производной. Производная сложной функции. Дифференциал функции. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.Исследование функций с помощью производных первого и второго порядка. Наибольшее и наименьшее значения функции. Общая схема исследования функции и построение её графика. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Исследование кривых, заданных параметрическими уравнениями и уравнениями в полярных координатах.Формула Тейлора. Контрольная работа «Дифференцирование. Графики». Простейшие приемы интегрирования. Метод подведения под знак дифференциала. Метод выделения полного квадрата.Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле.Определенный интеграл. Производные интеграла по верхнему и нижнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница. Теорема о среднем. Вычисление определённого интеграла по частям. Замена переменной в определённом интеграле.Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических выражений.Интегрирование иррациональностей.Вычисление площадей плоских фигур.Вычисление длин дуг плоских кривых. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Исследование на сходимость.Несобственный интеграл от функции с бесконечными разрывами. Исследование на сходимость. Контрольная работа «Интегралы».Функции нескольких переменных, её область определения, график. Поверхности и линии уровня. Предел. Непрерывность функции. Частные производные. Производные по направлению. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал. Производные сложных функций. Производные неявно заданных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения. Условные экстремумы. Формула Тейлора. Контрольная работа «Функции нескольких переменных». Двойной интеграл в декартовых координатах. Расстановка пределов интегрирования и вычисление. Перемена порядка интегрирования. Двойной интеграл в полярных координатах. Обобщенные полярные координаты. Геометрические приложения двойного интеграла. Тройной интеграл в декартовых координатах. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Тройной интеграл в сферических координатах.Криволинейные интегралы по длине дуги кривой.Поверхностный интеграл по площади поверхности.Контрольная работа «Кратные интегралы». Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Градиент.Поток векторного поля через поверхность. Формула Остроградского. Криволинейный интеграл в векторном поле. Циркуляция. Формула Стокса. Потенциальное поле. Криволинейный интеграл в потенциальном поле. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные. Дифференциальные уравнения высших порядков. Методы понижения порядка уравнения. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора. Определение вида частного решения. Принцип суперпозиции решений линейных дифференциальных уравнений. Метод Лагранжа. Системы дифференциальных уравнений. Структура общего решения однородной и неоднородной линейных систем. Критерий устойчивости и неустойчивости решения системы дифференциальных уравнений по первым приближениям. Числовой ряд. Вычисление суммы ряда. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Гармонический ряд. Действия над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Первообразная и неопределённый интеграл. Вычисление контурных интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Разложение функции в ряд Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки. Вычет функции. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Логарифмический вычет. Контрольная работа «ТФКП» Преобразование Лапласа и его свойства. Отыскание изображения функции. Восстановление оригинала по известному изображению. Дифференцирование оригиналов и изображений. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом. Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Контрольная работа «Операционное исчисление. Ряды Фурье».

Помощь в решении задач по математике

Содержание учебной дисциплины “Высшая математика”

I семестр

Вводная лекция.

Математика в инженерных задачах.

Математическое моделирование физических явлений и химических процессов. Примеры.
Элементы линейной алгебры.

Матрицы.

Основные операции над матрицами. Определители матриц n-го порядка и их свойства.
Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Теория Кронекера-Капелли. Решение и исследование СЛАУ методом Гаусса. Однородные системы.
Векторная алгебра.

Векторы.

Линейное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Базис в . Теорема разложения. Евклидово пространство. Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный и ортонормированный базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Элементы линейной аналитической геометрии. Соответствие между геометрическими образами и уравнениями. Плоскость. Прямая и плоскость в пространстве. Различные виды уравнений. Основные задачи на прямую и плоскость. Плоскость и прямая в .
Кривые и поверхности 2-го порядка. Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Преобразование систем координат. Приведение уравнений к каноническому виду. Поверхность 2-го порядка в трехмерном пространстве. Исследование формы методом параллельных сечений. Полярная и цилиндрическая системы координат.


Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Взаимно-однозначное соответсвие. Числовые множества. Кольцо множеств. Алгебра множеств. -алгебры. Теорема Кантора.
Комплексные числа.

Алгебраическая и тригонометрическая форма.

Формула Муавра. Показательная форма.
Предел числовой последовательности и предел функции одной переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых функций. Теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые. Односторонние пределы. Непрерывность функции.
Точки разрыва, их классификация. Теоремы о функциях, непрерывных в точке и на отрезке.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная функции. Производные элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференциал функции.
Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке.
Необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость кривой в точке и на отрезке.
Асимптоты кривой. Общая схема построения графика. Формула Тейлора. Представление важнейших элементарных функций с помощью формулы Тейлора. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Открытые и замкнутые множества. Метрическое пространство. Сходимость в метрическом пространстве. Предел и непрерывность функции. Частные производные и производная по направлению. Градиент скалярного поля. Дифференцируемая функция.
Дифференциал функции. Касательная и нормаль к поверхности. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения функций в области. Условный экстремум.
Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность. Дифференцирование функции. Условия Коши-Римана.
Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница.

Векторный анализ и теория поля. Скалярное и векторное поля. Скалярные и векторные поля могут использоваться при решении задачи по физике. Поток вектора через ориентированную поверхность. Дивергенция векторного поля. Солиноидальные поля.

Методы оптимизации.

Лекции

1. Решение задачи оптимизации. Параметры оптимизации. Критерий оптимальности. Решение задачи оптимального проектирования. Задачи оптимального планирования. Классы задач оптимизации. Общая задача математического программирования. Допустимые решения. Оптимальное решение задачи. Задача линейного программирования. Целевая функция. (2 часа)

2. Решение задачи нелинейного программирования. Различные задачи математического программирования. Одномерная оптимизация. Методы прямого поиска. Пассивный и последовательный поиск. Методы последовательного поиска. Методы полиномиальной аппроксимации. (2 часа)

3. Минимизация выпуклых функций. Выпуклое множество. Выпуклая функция. Симплекс. Условия минимума выпуклых функций. Матрица Гессе. Критерий Сильвестра. Сильно выпуклые функции. (2 часа)

4. Численные методы безусловной оптимизации. Релаксационная последовательность. Методы спуска. Метод градиентного спуска. (2 часа)

5. Алгоритмы метода градиентного спуска. Метод сопряжённых направлений.

6. Метод Ньютона. Модификации метода Ньютона. (2 часа)

7. Алгоритмы прямого поиска. Использование регулярного и нерегулярного симплексов. (2 часа)

8. Аналитические методы нелинейного программирования. Двойственная функция. Геометрическое программирование. Численные методы нелинейного программирования. (2 часа)

9. Задача оптимальное управление. Методы динамического программирования. Принцип максимума Понтрягина. (2 часа)

Практика

1. Постановка задач оптимизации. Задачи оптимального проектирования. Задачи оптимального планирования. Примеры задач оптимизации. Транспортная задача. (2 часа)

2. Решение задачи линейного программирования. Целевая функция. Графический метод решения задач линейного программирования. (2 часа)

3. Решение задача методами прямого поиска. Метод дихотомии. Метод золотого сечения. Метод Фибоначчи. Полиномиальная аппроксимация. Метод Ньютона. Кубическая аппроксимация. (2 часа)

4. Решение задачи выпуклого программирования. Условия минимума выпуклых функций. Минимизация квадратичных функций. Минимизация позиномов. (2 часа)

5. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом. Различные модификации и компьютерная реализация симплекс-метода. (2 часа)

6. Алгоритмы метода градиентного спуска. (2 часа)

7. Метод Ньютона. (2 часа)

8. Построение вычислительных алгоритмов метода градиентного спуска и метода Ньютона. (2 часа)

9. Решение задачи оптимальное управление. Методы динамического программирования. Принцип максимума Понтрягина. (2 часа)

Математический анализ

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные числа. Числовая прямая. Открытые и замкнутые интервалы. Окрестность точки, ?- и ?-окрестность точки на прямой. Символы общности, существования, принадлежности элемента множеству. Модуль числа. Свойства модуля.

Числовая последовательность

как функция целочисленной переменной. Примеры числовых последовательностей. Факториал. Предел числовой последовательности. Теорема об ограниченности последовательности, имеющей предел. Единственность предела.
Понятие числового ряда, частичные суммы, сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости.

Гармонический ряд

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.
Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Функция. Способы задания и исследования функций, их ограниченность и неограниченность. Основные элементарные функции и их графики (линейная, степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические и логарифмические функции).
Обратные, сложные, параметрически и неявно заданные функции. Векторные функции времени, определяющие движение точки в пространстве.

Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. Пределы сумм, произведений и частного функций, имеющих пределы.
Бесконечно малые функции. Функция как сумма постоянной и бесконечно малой. Сравнение и свойства бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые функции.

на бесконечности и бесконечно большие функции. Замечательные пределы.
Пределы слева и справа. Практические приемы вычисления пределов. Предельные переходы в неравенствах.
Непрерывность функции в точке и на интервале. Локальные свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.
Свойства функций, непрерывных на отрезке. Непрерывность сложной и обратной функции.
Скорость и перемещение точки при движении по прямой. Производная. Дифференцируемость функции.

Дифференциал

Необходимое условие дифференцируемости функции.
Касательная к графику функции. Тангенс угла наклона касательной. Уравнение касательной и нормали. Линеаризация дифференцируемых функций. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Правила дифференцирования. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производные основных элементарных функций.
Ускорение точки, движущейся по прямой. Вторая производная. Второй закон Ньютона. Производные и дифференциалы высших порядков.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей.
Формулы Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для функции. Остаточный член. Формула Маклорена.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций exp х, sin x, cos x, ln (1+x) в ряд Маклорена. Биноминальный ряд.
Монотонность функции. Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты. Исследование функции.
Точечные множества в пространстве R2 и их элементарные топологические понятия и свойства: окрестности точки в R2; предельная, внутренняя, изолированная и граничные точки множества, открытые и замкнутые множества, связные множества. Область пространства.
Распределение температур, плотности и т. п. величин на плоскости. Функция двух переменных. Линии уровня. Графическое изображение функции двух переменных. Предел и непрерывность функций двух переменных.
Производная по направлению и частные производные. Формула, выражающая производную по направлению через частные производные.
Дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Производные сложных функций. Дифференцирование функций одной переменной, заданных неявным образом.
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных.
Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой ограниченной области.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Функции трех и более переменных. Поверхности уровня. Пределы, непрерывность, дифференцируемость.

Интегрирование

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства первообразной и неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
Методы интегрирования: подведение под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям.

Интегрирование рациональных функций

Интегрирование иррациональных, тригонометрических и гиперболических функций. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
Задачи определения массы стержня с переменной плотностью и площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
Свойства определённого интеграла. Теорема о среднем. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям.
Вычисление площадей плоских фигур в декартовай и полярной системе координат.
Площадь неограниченной области. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Дирихле. Интегральный признак Коши.
Несобственные интегралы от неограниченных функций. Теоремы сравнения.
Длина дуги. Вычисление длины дуги плоской кривой в декартовой и полярной системе координат.
Кривизна кривой. Радиус кривизны. Центр кривизны.
Приближенное вычисление определённых интегралов при помощи степенных рядов. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона.

Кратные интегралы и векторный анализ

Масса дуги кривой с переменной линейной плотностью. Криволинейный интеграл по длине дуги.
Задачи о массе пластины с переменной плотностью. Объём тела. Двойной интеграл как пределы интегральных сумм.
Масса пространственного тела. Тройной интеграл.
Свойства кратных интегралов. Обобщение на n-мерный случай.
Правильная область. Повторный интеграл. Свойства повторного интеграла.
Вычисление двойных и тройных интегралов посредством сведения к повторным. Криволинейные координаты на плоскости. Якобиан и его геометрический смысл.
Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным и обобщённым полярным координатам.
Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим координатам и сферическим координатам.
Геометрические и механические приложения кратных интегралов. Статический момент, моменты инерции, изгибающий и крутящий моменты.
Площадь поверхности. Поверхностный интеграл по площади поверхности. Определение заряда, распределённого по поверхности с переменной поверхностной плотностью.
Движение точки в пространстве. Траектория, скорость и ускорение. Векторная функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность векторной функции.
Производная векторной функции. Правила дифференцирования векторов.
Касательная, главная нормаль и бинормаль кривой. Соприкасающаяся плоскость. Поле температуры сплошной среды, поле вектора скорости. Скалярные и векторные поля. Векторные линии. Уравнение векторной линии.
Градиент скалярного поля. Свойства градиента. Связь градиента и производной по направлению.
Векторный оператор «набла». Дифференциальные операторы 2-го порядка. Их механический смысл.
Поток жидкости через поверхность. Магнитный поток. Поток векторного поля.
Вычисление потока.
Закон Остроградского-Гаусса. Формула Остроградского. Дивергенция.
Катушка индуктивности (соленоид). Соленоидальное векторное поле. Векторная трубка.
Работа векторного поля вдоль ориентированной кривой. Криволинейный интеграл в векторном поле. Циркуляция.
Вычисление криволинейного интеграла.
Формула Грина.
Формула Стокса. Ротор векторного поля.
Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования. Безвихревое векторное поле.
Электростатическое и гравитационное поля. Вектор напряжённости и потенциал. Потенциальное векторные поля. Эквипотенциальные поверхности. Работа, потенциальная энергия. Закон сохранения энергии.
Синтетический обзор изученного материала.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Уравнение движения материальной точки под действием силы тяжести и силы сопротивления. Уравнение радиоактивного распада. Уравнения 1-го порядка. Общее и частное решения.
Поле направлений, интегральные кривые. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения приводящиеся к однородным.
Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли и метод Лагранжа. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.
Огибающая семейства решений. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение второго и высших порядков. Общее решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
Задача о второй космической скорости. Уравнения допускающие понижение порядка.
Гармонические колебания маятника и пружины. Электромагнитные колебания. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Общее решение. Выбор частного решения в зависимости от вида правой части.
Задачи о колебаниях маятника, пружины и т.п. при наличии трения и вынуждающей силы. Резонанс.
Задача об устойчивости стержня. Интегрирование дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции.
Общий случай неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Суперпозиция решений.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
Задача о движении материальной точки в пространстве. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, частные и общее решения.
Интегрирование системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Понятие о теории устойчивости Ляпунова.
Траектория дифференциального уравнения в окрестности особой точки.
Приложение степенных рядов к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Уравнения математической физики. Уравнение теплопроводности, волновое уравнение и уравнение Лапласа.

Ряды

1. Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.
2. Признаки сравнения рядов. Признаки Д’Аламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.
3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Теорема Лейбница.
4. Функциональный ряд. Область сходимости. Степенной ряд. Теорема Абеля.
5. Ряды Тейлора и Маклорена. Биноминальный ряд. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Применение рядов в приближённых вычислениях.
Задачи по Кузнецову:4.1; 5.1; 6.1; 7.1; 8.1.

Функции комплексного переменного

6. Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Формула Эйлера.
7. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула Муавра.
8. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного.
9. Ряды с комплексными членами. Представление экспоненциальной, тригонометрических и гиперболических функций при помощи рядов.
10. Показательная и логарифмическая функции. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции.
11. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Производная. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.
12. Интеграл от функции комплексного переменного. Первообразная и неопределённый интеграл. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге.
13. Теорема Коши для односвязной области. Теорема Коши для многосвязной области. Интегральная формула Коши.
14. Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Свойства ряда Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.
15. Вычет функции. Теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов.

Операционное исчисление и ряды Фурье.

16. Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и изображение. Дифференцирование и интегрирование изображения. Функция Хевисайда.
17. Изображение основных элементарных функций. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.
18. Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом .
19. Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье.
Разложить функцию в ряд Фурье на отрезке

Элементы дискретной математикии

20. Множества и основные операции над множествами. Отношения и функции. Мощность множества. Конечные и бесконечные множества.
21. Натуральные числа. Принцип математической индукции.
22. Элементы теории графов. Ориентированные и неориентированные графы. Матрица смежности. Матрица инцидентности. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
23. Алгебра логики. Формулы алгебры логики. Высказывания. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность. Функции алгебры логики.

Вариационное исчисление и теория оптимального управления.

Лекции

1. Функционал. Вариационное исчисление. Вариационная задача. Вариация функционала. Необходимое условие экстремума функционала имеющего вариацию. Экстремали. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Примеры. Различные случаи интегрируемости уравнений Эйлера. Задача о наименьшей поверхности вращения. Задача о брахистохроне. (2 часа)
2. Экстремум функционала, зависящего от нескольких функций и их первых производных. Экстремум функционала, зависящего от функции и её высших производных. Уравнения Эйлера-Пуассона. Экстремум функционала, зависящего от функции нескольких независимых переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского. (2 часа)
3. Вариационные задачи с подвижными границами. Экстремали с угловыми точками. Задача об отражении экстремалей. Задача о преломлении экстремалей. (2 часа)
4. Достаточные условия экстремума. Уравнение Якоби. Функция Вейерштрасса. (2 часа)
5. Прямые методы в вариационных задачах. Метод Эйлера. Метод Ритца. Некоторые приложения вариационного исчисления. (2 часа)
6. Вариационные задачи на условный экстремум функционала. Различные виды связей. Голономные и неголономные связи. Изопериметрические задачи. (2 часа)
7. Задача оптимального управления. Управляющая функция. Принцип максимума Понтрягина. (2 часа)
8. Методы динамического программирования. Некоторые прикладные задачи динамического программирования. (2 часа)

Практические занятия

1. Функционал. Вариационные задачи. Вариация. Задачи на экстремум. Необходимое условие экстремума функционала. Экстремали. Уравнение Эйлера. Задачи на составление и решение уравнения Эйлера. Различные случаи интегрируемости уравнений Эйлера. (2 часа)
2. Экстремум функционала, зависящего от нескольких функций. Экстремум функционала, зависящего от функции и её высших производных. Уравнения Эйлера-Пуассона. Уравнение Эйлера-Остроградского. (2 часа)
3. Функционалы с подвижными границами. Экстремали с угловыми точками. Задачи об отражении и преломлении экстремалей. (2 часа)
4. Определение слабого и сильного экстремумов при помощи достаточных условий. Задачи на составление уравнений Якоби и функции Вейерштрасса. (2 часа)
5. Применение прямых методов для решения вариационных задач. Контрольная работа 1 час. (2 часа)
6. Вариационные задачи на условный экстремум функционала. Изопериметрические задачи. (2 часа)
7. Задача оптимального управления. Управляющая функция. Принцип максимума Понтрягина. (2 часа)
8. Некоторые классические задачи динамического программирования. Прикладные задачи динамического программирования. (2 часа)

Рекомендованная литература

1. Эльсгольц Л. Э., Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, “Наука”,
2. Киселёв А. И., Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Вариационное исчисление. Задачи и упражнения, “УРСС”,

Матанализ

1
Функция нескольких переменных, её область определения, график. Поверхности и линии уровня. 2
Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные. 3
Производная по направлению. Градиент. Производные сложных функций. Производные неявно заданных функций. Полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 4
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. 5
Экстремумы функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения. Условные экстремумы. Контрольная работа «Функции нескольких переменных». 6
Двойной интеграл в декартовых координатах. Расстановка пределов интегрирования. Перемена порядка интегрирования. Вычисление интегралов. 7
Двойной интеграл в полярных координатах. Обобщенные полярные координаты. Геометрические приложения двойного интеграла. 8-9
Тройной интеграл в декартовых координатах. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Тройной интеграл в сферических координатах. 10
Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. 11
Поверхностные интегралы 1-го рода и 2-го рода. 12
Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса. 13
Циркуляция. Ротор. Формула Стокса. 14
Потенциальное поле. Криволинейный интеграл в потенциальном поле. Операторы Гамильтона и Лапласа. Контрольная работа «Интегрирование функций нескольких переменных. Векторный анализ». 15
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах. 16
Дифференциальные уравнения высших порядков. Методы понижения порядка уравнения. 17
Однородные линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа. 18
Метод неопределенных коэффициентов. Принцип суперпозиции при решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений -го порядка. Контрольная работа «Дифференциальные уравнения». 19
Системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей. Критерий устойчивости и неустойчивости решения системы дифференциальных уравнений по первым приближениям.

Теорвер.

Классическое и статистическое определения вероятностей
Геометрические вероятности
2
Теоремы сложения и умножения вероятностей
3
Формула полной вероятности
Формулы Байеса
4
Формулы Бернулли, Пуассона, Муавра-Лапласа
Контрольная работа «Случайные события»
5
Закон распределения дискретной случайной величины
Гипергеометрический и биномиальный законы распределения
Геометрический и Пуассоновский законы распределения
6
Функция распределения вероятностей случайной величины
Плотность распределения непрерывной случайной величины
7
Системы двух случайных величин
Контрольная работа «Закон распределения случайной величины»
8
Функция одной случайной величины
Функция двух случайных величин
9
Числовые характеристики дискретных случайных величин
Моменты распределения
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Неравенство и теорема Чебышева
10
Выборочный метод
Эмпирическая функция распределения
Полигон и гистограмма
11
Функция правдоподобия
Точечные и интервальные оценки
Контрольная работа «Числовые характеристики случайных величин»